Уравнения с одной переменной как предикат

Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения

Дата добавления: 2014-09-06 ; просмотров: 2771 ; Нарушение авторских прав

Определение. Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда предикат f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.

Определение. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения или его решением.

Решить уравнение – это значит найти множество его корней.

Пример. 1) 7х + 5 = 3х + 13, х ÎR. Это уравнение обращается в истинное равенство при х = 2, следовательно, множество его решений есть <2>.

2) (х – 3)(х + 3) = 0 – множество решений есть <–3; 3>.

Т.к. уравнение есть предикат, то с каждым уравнением связаны два множества:

1) множество Х допустимых значений переменной (множество определения предиката),

2) множество Т корней уравнений (множество истинности предиката).

Определение. Пусть на множестве Х заданы два уравнения f₁(x) = g₁(x) и f₂(x) = g₂(x) и известно, что Т₁ – множество решений первого уравнения (Т₁Ì Х), Т₂ – множество решений второго уравнения (Т₂Ì Х). Если Т₁ = Т₂, то эти уравнения называются равносильными на множестве Х.

Другими словами: два уравнения называются равносильными на множестве Х, если множества решений этих уравнений, принадлежащих множеству Х, совпадают.

Определение. Если множество решений уравнения f₁(x) = g₁(x) (1) является подмножеством множества решений уравнения f₂(x) = g₂(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Другими словами: уравнение (2) есть следствие уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пример. (х + 2) 2 = 25 является следствием уравнения х + 2 = 5, т.к. уравнение х + 2 = 5 имеет только один корень 3, подставляя который в уравнение (х + 2) 2 = 25, получаем истинное равенство (3 + 2) 2 = 25, показывающее, что 3 удовлетворяет уравнению (х + 2) 2 = 25.

Два уравнения равносильны в том и только том случае, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы о равносильности уравнений

Теорема 1. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) + h(х) = g(x) + h(х) (2) равносильны.

Другими словами: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве Х, получим новое уравнение, равносильное данному.

При решении уравнений чаще используются следствия из теоремы.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) ∙ h(х) = g(x) ∙ h(х) (2) равносильны на множестве Х.

Другими словами: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращающееся на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х, f(x) ³ 0, g(x) ³ 0 на множестве Х и п – четное натуральное число. Тогда уравнения f(x) = g(x) и f п (x) = g п (x) равносильны.

Другими словами: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное данному при условии, что обе части уравнения неотрицательны.

Замечание. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение будет следствием исходного. Если п нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и f п (x) = g п (x) равносильны.

Пример. Равносильны ли уравнения?

1) (4х + 3) ∙ х = 11х и 4х + 3= 11. Нет, т.к. мы разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т₁ = <0; 2>, Т₂ = <2>.

2) (4х + 3)(х 2 + 2) = 11(х 2 + 2) и 4х + 3= 11 равносильны, т.к. х 2 + 2 ¹ 0 ни при каких действительных х.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнения является взаимосвязь между компонентами и результатом действий.

Раздел 1. Общие понятия математики. 2

Глава 1. Высказывания. 2

§ 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания. 2

§ 2. Законы алгебры высказываний. 4

Глава 2. Элементы теории множеств. 6

§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество. 6

§ 2. Способы задания множеств. 6

§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств. 7

§ 4. Операции над множествами. 8

§ 5. Законы операций над множествами. 9

§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств. 10

§ 7. Понятие разбиения множества на классы.. 11

Глава 3. Соответствия. 13

§1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств. 13

§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий. 14

§ 3. Взаимно однозначное соответствие. 15

§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. 15

§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций. 16

§ 6. Виды функций. 18

§ 7. Обратная функция. 20

Глава 4. Отношения на множестве. 22

§ 1. Понятие отношения. Способы задания отношений. 22

§ 2. Свойства отношений. 23

§ 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы.. 25

§ 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества. 26

Глава 5. Предикаты и теоремы.. 27

§ 1. Предикаты и операции над ними. 27

§ 2. Высказывания с кванторами и их отрицания. 28

§ 3. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие. 29

§ 4. Строение и виды теорем.. 30

Глава 6. Математические понятия. 32

§ 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. 32

§ 2. Определение понятия. Требования к определению понятия. 33

Глава 7. Математические доказательства. 35

§ 1. Умозаключения и их виды.. 35

§ 2. Схемы дедуктивных умозаключений. 36

§ 3. Проверка правильности умозаключений. 37

§ 4. Способы математического доказательства. 39

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) ; в этом случае корень уравнения равен ;

2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.

Пример 2.

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Квадратные уравнения

где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:

Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.

Пример 1.

Решение:

Здесь . Имеем:

Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Итак, — корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, — корень хотя бы одного из уравнений

Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда

Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решение:

Положив , получим уравнение

откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решение:

Положим , тогда

и уравнение примет вид

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Решив это уравнение, найдем

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

в) учитывая, что , получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка:

1) При х = 5 имеем

— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим и мы получаем уравнение , откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

где равносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим

Пример 2.

Решение:

Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

где нужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Из последнего уравнения находим

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решение:

Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив Получим

Но ; из уравнения находим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

равносильное уравнению (1). Далее имеем

Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Пример 2.

(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Полагая , получим уравнение корнями которого являются

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Так как , а -1 0 и мы получаем

если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .

Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то

Пример 3.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем

Значит, должно выполняться неравенство

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Так как, по условию, , то и

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Логика предикатов с одним переменным

Министерство Образования Российской Федерации

Поморский Государственный Университет им.

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО

Логика предикатов с одним переменным

Выполнил студент II-го курса

СОДЕРЖАНИЕ

Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§1. Логика предикатов с одним переменным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул, содержащих предикаты от одного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

ВВЕДЕНИЕ

Проблема разрешимости — эта проблема ставится для формул исчисления предикатов, лишённых символов постоянных предметов и символов индивидуальных предикатов. В последующем изложении предполагается, что рассматриваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок).

Каждая такая формула представляет собой определённое утверждение, истинное или ложное, когда оно относится к определённому полю M.

Если такая формула истинна для некоторого поля M и некоторых предикатов, на нём определённых, мы будем называть её выполнимой.

Если формула истинна для данного поля M и для всех предикатов, определённых на M, мы будем называть её тождественно истинной для поля M.

Если формула истинна для всякого поля M и для всяких предикатов, будем называть её тождественно истинной или просто истинной.

Формула называется ложной или невыполнимой, если ни для какого поля ни при каких замещениях предикатов она не является истинной. Легко показать, что если формула U тождественно истинна, то формула ложна, и наоборот.

Постановка проблемы разрешимости для логики предикатов аналогична постановке этой проблемы для алгебры высказываний. Её решение и является целью данной курсовой работы. Итак, проблема ставится следующим образом: дать эффективный способ для определения — является ли данная формула выполнимой или нет.

Умея решать вопрос о выполнимости, мы тем самым сможем решать и вопрос об истинности любой формулы. В самом деле, если формула U истинна, то формула невыполнима, и обратно. Поэтому, доказав выполнимость или невыполнимость , мы тем самым проверим истинность U. Проблема разрешимости для логики предикатов является усилением проблемы разрешимости для исчисления высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число формул логики предикатов. Однако в то время как решение проблемы разрешимости для исчисления высказываний никаких трудностей не представляет, проблема разрешимости для логики предикатов оказалась связанной с серьёзными трудностями.

Современные исследования пролили свет на природу этих затруднений. В настоящее время представляется достаточно ясным, что решение этой проблемы в указанном смысле вообще невозможно. Иначе говоря, не может существовать никакого конструктивного правила, которое позволяло бы определять для любой формулы логики предикатов, является ли она тождественно истинной или нет. Для некоторых частных типов формул, однако, проблема разрешимости решается. Мы рассмотрим наиболее важный тип формул, для которых решение проблемы разрешимости может быть осуществлено, это формулы логики предикатов, зависящие от одного переменного.

Основные понятия

Пусть M — некоторое множество предметов и a, b, c, d — какие-то определённые предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде

P(a), Q(b), R(c, d) и т. д.

P(a) обозначает высказывание о предмете a, Q(b) — высказывание о предмете b, R(c, d) — высказывание о предметах c и d и т. д.

Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны, обозначаемые соответственно символами И и Л. Эти значения ставятся в соответствие определённым предметам или группам предметов.

Пусть M — произвольное непустое множество, а x представляет собой произвольный предмет из этого множества. Тогда выражение F(x) обозначает высказывание, которое становится определённым, когда x замещено определённым предметом из M. F(a), F(b), . уже представляют собой вполне определённые высказывания. Например, если M натуральный ряд, то F(x) может обозначать: » x есть простое число».

Это неопределённое высказывание становится определённым, если x заменить некоторым числом, например: «3 простое число», «4 простое число» и т. д.

Пусть S(x, y) обозначает: » x меньше y».

Это высказывание становится определённым, если x и y заменить числами: «1 меньше 3», «5 меньше 2» и т. д.

Так как с нашей точки зрения каждое определённое высказывание представляет собой И или Л, то выражение F(x) означает, что каждому предмету из M поставлен в соответствие один из двух символов И или Л. Иначе говоря, F(x) представляет собой функцию, определённую на множестве M и принимающую только два значения И и Л. Таким же образом неопределённое высказывание о двух и более предметах H(x, y), G(x, y, z) и т. д. предвтавляет собой функцию двух, трёх и т. д. переменных. При этом переменные x, y, z пробегают множество M, а функция принимает значения И и Л. Эти неопределённые высказывания, или функции одного или нескольких переменных, мы будем называть логическими функциями или предикатами. Предикатом с одним переменным можно выразить свойство предмета, например » x есть простое число», » x — прямоугольный треугольник» и т. д.

Все понятия, которые мы будем вводить, относятся всегда к некоторому произвольному множеству M, которое мы будем называть полем. Элементы этого поля будем обозначать малыми латинскими буквами (иногда эти буквы мы будем снабжать индексами). Буквы конца латинского алфавита

x, y, z, u, v, x1, x2, .

обозначают неопределённые предметы поля. Их мы будем называть предметными переменными. Буквы начала алфавита

обозначают определённые предметы поля. Их мы будем называть индивидуальными предметами или предметными постоянными.

Большими латинскими буквами

A, B, . X, A1, A2, .

мы будем обозначать переменные, принимающие значения И и Л. Их мы назовём переменными высказываниями. Мы будем также рассматривать и постоянные высказывания. Их мы будем также обозначать большими латинскими буквами, как-нибудь отмеченными или просто с дополнительной оговоркой.

Большие латинские буквы и символы предикатов как индивидуальных предметов, так и от предметных переменных мы будем называть элементарными формулами.

Мы будем говорить, что в формулах

кванторы (∀х) и (∃х) относятся к переменному х или что переменное х связано соответствующим квантором.

Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем называть свободным переменным.

Формулы, в которых из операций алгебры высказываний имеются только операции , и , а знаки отрицания относятся только к элементарным предикатам и высказываниям, будем называть приведёнными формулами.

Приведённая формула называется нормальной, если она не содержит кванторов или если при образовании её из элементарных формул операции связывания квантором следуют за всеми операциями алгебры высказываний.

Если две формулы U и B, отнесённые к некоторому полю M, при всех замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определёнными на M, индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из M, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле M.

Если две формулы равносильны на любых полях M, то мы будем их называть просто равносильными.

Нормальную формулу, равносильную некоторой формуле U, мы будем называть нормальной формой формулы U.

§1. Логика предикатов с одним переменным

Мы будем рассматривать формулы логики предикатов, содержащие предикаты, которые зависят только от одного переменного. Логика, в которой употребляются только такие выражения, соответствует той, которая описана Аристотелем и вошла как традиционный элемент в систему гуманитарного образования. Известные формы высказываний этой логики и формы умозаключений, так называемые «модусы силлогизмов», выражаются полностью в символике логики предикатов от одного переменного.

Теорема. Если формула логики предикатов, содержащая только предикаты от одного переменного, выполнима на некотором поле M, то она выполнима на поле , содержащем не более элементов, где n — число предикатов, входящих в рассматриваемую формулу.

Пусть формула U(A1, . An), содержащая только символы предикатов A1, . An, каждый из которых зависит от одного переменного, выполнима на некотором поле M. эту формулу мы можем предполагать представленной в нормальной форме, а все предметные переменные в ней связанными. В самом деле, какова бы ни была формула U, мы можем, произведя над ней преобразования, привести её к виду, в котором все кванторы предшествуют остальным символам формулы, при этом состав её предикатов и предметных переменных не изменяется. Если в U есть свободные предметные переменные, то можно связать их квантором общности.

Итак, допустим, что U – нормальная формула. Тогда мы можем представить её следующим образом:

(σ x1)(σ x2). (σ xp) B(A1, . An, x1, . xp),

где каждый из символов (σ xi) обозначает квантор (∀xi) или (∃xi), а формула

B(A1, . An, x1, . xp)

кванторов не содержит.

В формуле B(A1, . An, x1, . xp) все переменные x1, . xp входят в предикаты A1, . An, и её можно записать в виде

B(A1(), . An()),

где i1, . in – числа от 1 до p. Однако, будет удобнее пользоваться выражением

B(A1, . An, x1, . xp),

если иметь в виду, что B является логической функцией предикатов Ak, а каждый предикат Ak зависит от какого-то одного переменного.

Покажем, что если для некоторого поля M существуют индивидуальные предикаты

для которых формула U(. ) истинна, то эта формула истинна и на некотором подмножестве этого поля, содержащем не более элементов, так как иначе наше утверждение тривиально. Разобьём элементы множества M на классы следующим образом. Для каждой последовательности, содержащей n символов И и Л в произвольном порядке (И, Л, Л, . И,), существует часть (может быть, пустая) множества M, содержащая те и только те элементы x, для которых последовательность значений предикатов (x), (x), . (x) совпадает с данной последовательностью символов И и Л.

Обозначим через 1, 2, . n

последовательность символов И и Л, где i представляет собой И или Л, а соответствующий этой последовательности класс элементов x обозначим

Некоторые из этих классов могут оказаться пусты, так как может случиться, что для некоторой последовательности 1, 2, . n не существует такого элемента, для которого предикаты, , . принимают соответствующие значения 1, 2, . n. Вместе с тем каждый элемент множества M принадлежит одному из классов, и различные классы общих элементов не имеют. Число всех классов (пустых и непустых) равно числу последовательностей 1, 2, . n, т. е. . Следовательно, число q непустых классов не превышает. Выберем из каждого непустого класса по одному элементу и обозначим эти элементы

Множество всех этих элементов обозначим .докажем, что если формула U(, . ) истинна на поле M, то она истинна и на поле (так как –­ часть поля M, то предикаты определены на ). каждому элементу x поля M поставим в соответствие элемент из , принадлежащий тому же классу, что и х. В существует один и только один такой элемент. Элемент из , поставленный в соответствие х, обозначим (х). Можно сказать, что мы построили функцию, определённую на множестве M и принимающую значения из множества .

Легко видеть, что имеет место следующая равносильность:

Действительно, (x) принадлежит тому же классу, что и x. Но, по определению, для элементов одного и того же класса каждый предикат принимает одно и то же значение. Отсюда следует, что если в формуле U(, . ) для каждого предметного переменного t заменить каждое выражение (t) через ((х)), то формула U(, . ) перейдёт в формулу (, . ), равносильную первой. Написание формулы отличается от U только тем, что все предметные переменные x, y, z, …, u формулы U замещены соответственно через (х), (y), . (u). Это следует из того, что по условию формула U(, . ) содержит только предикаты, и поэтому всякое предметное переменное входит только под знаком одного из этих предикатов.

Пусть R (x, y, . u) – предикат, определённый на поле M. Введём обозначение

R (x, y, . u).

Под этим выражением мы будем понимать предикат, зависящий от y, z, . u (или высказывание, если, y, z, . u отсутствуют) и принимающий значение И, когда R (y, z, . u) имеет значение И для данных y, z, . u и для всех x, принадлежащих полю , и принимающий значение Л в противоположном случае. Введём также выражение

R (x, y, . u),

которое представляет собой предикат от y, . u и принимает значение И, когда R (x, y, . u) имеет значение И для y, . u и по крайней мере для одного значения x из поля , и значение Л в противоположном случае. Знаки и будем называть ограниченными кванторами. Если мы все переменные предиката R (x, y, . u) свяжем ограниченными кванторами, например

. R (x, y, . u),

то получим формулу, отнесённую к полю . покажем, что выражение

R (x, y, . u).

Пусть (∀x) R ((х), y, . u) имеет значение И. В таком случае R ((х), y, . u) имеет значение И для данных y, . u и для каждого x. Но так как функция (х) пробегает всё поле , когда x пробегает поле M, то R (x, y, . u) имеет значение И для данных y, . u и для всех x из . В силу определения R (x, y, . u) также принимает значение И. Обратно, если R (x, y, . u) принимает значение И, то R (x, y, . u) имеет значение И для данных y, . u и для каждого x из . В таком случае выражение R ((х), y, . u) имеет значение И для данных y, . u и для каждого x из M, так как (х) для любого x принадлежит .

Аналогичным образом можно показать, что выражения

() R ((х), y, . u) и () R (x, y, . u)

Рассмотрим формулу U(, . ), которую можно представить в форме

(σ x1)(σ x2). (σ xp) B(, . , x1, . xp).

представляет собой предикат, определённый на поле M и зависящий от p переменных x1, . xp. Каждое из этих переменных входит в формулу B только через предикаты, . . С другой стороны, мы видели, что предикаты (х) и ((х)) равносильны. Поэтому если в формуле B(, . , x1, . xp) мы заменим xi на (хi), то получим равносильное выражение:

B(, . , x1, . xp)

Отсюда следует, что

(σ xp) B(, . , x1, . xp)

(σ xp) B(, . , (x1), . (xp)).

Далее можно заключить, что

(σ xp) B(, . , (x1), . (xp))

Рассуждая аналогичным образом, мы получим

(σ xp-1) (σ xp) B(, . , x1, . xp-1 , xp)

B(, . , (x1), . (xp-2), xp-1, xp)

и, наконец, придём к следующему:

(σ x1)(σ x2). (σ xp) B(, . , x1, . xp)

Правая часть последней равносильности, согласно смыслу символа, представляет не что иное, как формулу

(σ x1). (σ xp) B(, . , x1, . xp),

отнесённую к полю .

Таким образом, мы доказали, что формула U(, . ) сохраняет своё значение, если её отнести к полю , и теорема, таким образом, доказана.

С л е д с т в и е. Если формула U, содержащая только предикаты, зависящие от одного переменного, является тождественно истинной для всякого поля, не превышающего элементов, где n – число предикатов в U, то формула U тождественно истинна (т. е. истинна для любого поля). В самом деле допустим, что U не является тождественно истинной формулой. В таком случае её отрицание выполнимо на некотором поле. Так как также удовлетворяет условиям теоремы, то найдётся поле, содержащее не более элементов, на котором формула выполнима. Следовательно, U не может быть истинной на этом поле, что противоречит условию. Итак, предположение, что U не является тождественно истинной, приводит к противоречию, что и требовалось доказать.

§2. Практика по решению проблемы разрешимости формул,

содержащих предикаты от одного переменного

Доказанная (в предыдущем параграфе) теорема позволяет решать проблему разрешимости для формул, содержащих только предикаты, зависящие от одного переменного. Из следствия видно, что для того, чтобы установить, является ли формула U тождественно истинной или нет, достаточно проверить, является ли она тождественно истинной для всякого поля, содержащего не более чем элементов.

Заметим, что достаточно проверить, является ли данная формула U тождественно истинной на поле, состоящем ровно из элементов. Это следует из того, что для формул рассматриваемого типа имеет место следующее: если формула U тождественно истинна на некотором поле, то она тождественно истинна на всякой его части.

Рассмотрим произвольное поле, содержащее ровно элементов: , , . . Легко видеть, что всякая формула, имеющая вид:

отнесённая к данному полю, равносильна формуле

B() & B() & . & B().

А формула, имеющая вид:

B() B() . B().

В таком случае произвольная формула U, отнесённая к полю <, . >, равносильна формуле , в которой все кванторы заменены операциями логического произведения и логической суммы. Если в U входили только предикаты A1, . An, зависящие от одного переменного, то представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями Ai(xj), 1 ? i? n, 1 ? j? . Так как предикаты Ai(x) совершенно произвольны, то выражения Ai(xj) представляют собой совершенно произвольные высказывания. Формулу тогда можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой Ai(xj) являются элементарными переменными высказываниями. Тогда вопрос о тождественной истинности U на поле, , . оказывается эквивалентным вопросу о тождественной истинности , как формулы алгебры высказываний с переменными высказываниями Ai(xj).

Заметим, что формула алгебра высказываний по существу не зависит от того, каковы элементы поля <, . >, а зависит только от их числа, так как если мы возьмём другое поле <′, . ′>, то в произойдёт только перемена обозначений переменных высказываний Ai(xj) на Ai(xj′). В силу этого мы можем сказать, что если тождественно истинна, как формула алгебры высказываний, то формула U тождественно истинна на любом поле из p элементов, и обратно. С другой стороны, был получен конструктивный способ определять – является произвольная формула алгебры высказываний тождественно истинной или нет. Применяя этот критерий, мы можем установить, будет ли произвольная формула U, содержащая только предикаты от одного переменного, тождественно истинной на любом поле, содержащем p = элементов. В таком случае в силу высказанного выше положения мы можем решить также и вопрос о том, будет формула U тождественно истинной или нет.

Разберём это конкретно на примерах.

П Р И М Е Р 1: Итак, пусть дана формула U, имеющая вид:

(∀x)[P(x)( P(x))],

отнесённая к некоторому полю L. Для того, чтобы установить тождественную истинность этой формулы, нам достаточно проверить, является ли она тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов (см. выше). В данном случае число предикатов (n) равно 2, т. е. L может быть представлено как < a1, a2, a3, a4 >.

Легко видеть, что формула U равносильна: (∀x)[P(x)(Q(x)P(x))], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [P()(Q()P())] [P()(Q()P())] [P()(Q()P())] [P()(Q() P())].

Таким образом, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P() и Q(), где i=, т. е. её можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой P() и Q() являются элементарными переменными высказываниями. Значит, ответив на вопрос о тождественной истинности , мы сможем сказать, является ли формула U тождественно истинной или нет.

является тождественно истинной в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.

П Р И М Е Р 2: Доказать, что формула U, отнесённая к некоторому полю L, представленная как

[(∀х)( Q(x)) P(x)],

является тождественно истинной.

Для этого она должна быть тождественно истинной на поле, содержащем ровно элементов. В данном случае n = 2, т. е. L можно опять определить как < a1, a2, a3, a4 >.

Применяя равносильные преобразования над U, можем заключить её равносильность формуле: (∃х)[(Q(x))P(x)], которая, отнесённая к полю L, равносильна : [(Q())P()] [(Q())P()] [(Q())P()] [(Q())P()].

Легко видеть, что , как и в предыдущем примере, представляет собой формулу, образованную только операциями алгебры высказываний над выражениями P() и Q(), где i=, а поэтому её можно отнести к формулам алгебры высказываний, у которой P() и Q() являются элементарными переменными высказываниями. Является ли формула тождественно истинной?

Формула представляет собой дизъюнкции некоторых формул. Поэтому всякий раз, когда одна из них истинна, сама (по определению дизъюнкции) будет тождественно истинной. Составим таблицу истинности:

P Q Q (Q)P

Таким образом, формула (Q)P является выполнимой, следовательно, является тождественно истинной формулой в алгебре высказываний U также тождественно истинная формула на поле, содержащем элементов. Это оэначает, что U тождественно истинна.

ЛИТЕРАТУРА

, “Элементы математической логики”, государственное издательство физико-математической литературы, М., 1959