Уравнения с отбором корней 10 класс

Урок в 10 классе по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Геометрический метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Школа : МАОУ Лицей №1, г. Балаково.

Учитель : Ремезова Елена Николаевна, учитель высшей категории.

Предмет : алгебра и начала анализа.

Учебный план :5 часов в неделю.

Класс : 10 (химико-биологический профиль).

Тема . Отбор корней при решении тригонометрических уравнений.

Место урока в теме. Второй урок из четырех запланированных по данной теме.

Дата проведения урока. 29 января 2013 год.

Урок рассчитан на 45 минут.

Тип урока : комбинированный .

1. дидактические: сформировать умения применять геометрический метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений; совершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений различными методами;
2. развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь;
3. воспитательные: воспитывать у учащихся потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений», листы на каждого ученика для математического диктанта с заготовками числовых окружностей, листы самооценки.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Урок по алгебре и началам анализа на тему «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» (10класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «Ташлинская средняя общеобразовательная школа»

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Урок по алгебре и началам анализа

Учитель первой категории

Самсонова Ирина Анатольевна

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Название УМК «А. Г. Мордкович» Предмет алгебра и начала анализа Класс 10

Тема урока Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Место и роль урока в изучаемой теме: раздел «Методы решения тригонометрических уравнений», подготовка к единому государственному экзамену

Тип урока Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности

ЦЕЛЬ: рассмотреть применение арифметического, геометрического, алгебраического способов отбора корней в тригонометрических уравнениях (задания С₁ ЕГЭ)

обобщить, систематизировать и углубить знания о разнообразии способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;

развивать логическое мышление учащихся, потребность к самообразованию; воспитание познавательной активности, уверенности в себе

Литература: «Первое сентября», журнал «Математика»

Учитель. Задание С₁ КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.

2. Актуализация опорных знаний

1. Расставьте в порядке убывания числа:

3 ; ; ; ; 2,5; .

2. Расставьте в порядке возрастания числа:

— ; — ; — ; — ; — 2.

3. Какие частные случаи существуют при решении простейших тригонометрических уравнений?

4.Когда уравнение sin x = a не имеет решений?

Учитель. Задание С₁ КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.

Тема нашего урока « Отбор корней в тригонометрических уравнениях в заданиях типа С₁ . Сформулируйте цель урока. Какие задачи для себя на уроке поставим?

Изучения новых знаний и способов деятельности, закрепления изученного.

Учитель. Какие способы вы примените к отбору корней в следующих задачах?

+2 sin x = 0.

Найти все решения уравнения sin 2 x = cosx , принадлежащие отрезку [- ; ].

3. Определить количество корней уравнения

ctg 3 x sin 6 x – cos 6 x – cos 12 x = 0 на промежутке [0; 2

Способы разрешения проблемы

Ученики предлагают свои версии.

Пример 1. 1 СПОСОБ (арифметический)

Решение. Перепишем уравнение в виде

= — 2 sin x .

Это уравнение равносильно системе

Решим уравнение системы:

5 cos x – (2 cos 2 x – 1) = 4(1 – cos 2 x ),

2 cos 2 x + 5 cosx – 3 = 0.

Отсюда cosx = 0,5 или cos x = — 3 (нет корней).

Из уравнения cosx = 0,5получим:

x = + 2 n , n Z , или x = — + 2 n , n Z .

Проверим для полученных значений x выполнение условия

Для первой серии получаем:

sin ( + 2 n ) = sin = 0.

Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем

sin ( + 2 n ) = — sin = — 0.

Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.

Ответ: — + 2 n , n Z .

Учитель. Нахождение значений тригонометрического выражения непосредственно подстановкой при проверке корней ( Пример 1.) и перебор значений целочисленного параметра относятся к арифметическому способу

отбора корней в тригонометрических уравнениях.

А если последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических, входящих в серии решений не являются табличными?

Пример 2. 1 СПОСОБ (алгебраический)

Решение. Приведем уравнение к виду

cos x (2sin x – 1) = 0.

cos x = 0 и sin x = 0, 5.

cos x = 0, x = + n , n Z . Так как решения должны удовлетворять неравенству — + n ≤ , то, сократив на , получим:

-1 ≤ + n ≤ или — ≤ n ≤ .

С учетом того, что n Z , получаем два значения: n = -1 и n = 0. Если n = 0, то x = , если n = -1, то x = .

x = или x = , n Z

Так как должно выполняться условие — x ≤ , то для первой серии имеем:

— ≤ ,

— ≤

— n ,

следовательно, n = 0.

Отсюда получаем: x = .

Для второй серии имеем:

— ≤ ,

— ≤

— n .

Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.

Ответ: ; .

В этом примере мы применили решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра n и вычислении корней – это алгебраический способ отбора корней.

Снятие напряжения – «Тряпочная кукла»

«Кто быстрее?» с разрезанием листа Мёбиуса.

4. Применения изученного, обобщение и систематизация

(Самостоятельная работа учащихся)

Учитель. Какие идеи у вас имеются для решения Примера 3?

Ученики выполняют самостоятельно, затем делают вывод, что в данном задании удобно использовать при отборе корней числовую окружность.

Учитель. Так как длина промежутка не превосходит 2 этот способ эффективнее, он относится к геометрическим способам отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Решение. Умножая обе части уравнения на sin 3 x ≠ 0, получаем:

sin3x – sin3x cos12x = 0,

sin3x (1 – cos12x) = 0.

n , k Z .

Функции cos 12 x и sin 3 x , входящие в уравнение, имеют основной период, не превосходящий 2 , поэтому проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности ( на Макете ) и в ответ запишем количество точек серии решений, не совпавших с точками серии ограничений.

5. Информация о домашнем задании

1. Дифференцированные задания для каждого ученика

2. Из различных сборников заданий для подготовки к ЕГЭ 2012 выбрать три задачи, в которых можно применить: С1

способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решить одну из них.

6. Подведение итогов

С какими способами отбора корней в тригонометрических уравнениях мы познакомились на уроке?

Ученики высказывают свои мнения об оптимальности применения различных способов отбора корней при выполнении заданий.

Оценки учителя и самооценка каждого ученика работы на уроке.

Свою деятельность на уроке прошу вас оценить