Уравнения с параметрами 11 класс

Урок по теме: «Уравнения с параметрами». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цели:

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Ход урока

1. Организация урока.

На классной доске — дата, тема урока, оформлены записи (элементы опорного конспекта), опорный конспект по повторению, задачи для устной работы.

На рабочих местах учащихся – опорные конспекты, карточки с заданиями.

Урок начинается с приветствия. Объявляется тема урока и задачи. Нацелить учащихся на важность изучаемого материала не только для подготовки к экзаменам в школе, но и при подготовке к поступлению в вузы.

2. Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.

Работа с опорным конспектом по повторению:

ах = в — линейное

а 0 х = — один корень,

а = о, в 0 — нет корней,

а = 0, в = 0 — х – любое число.

б) 2х 2 – 3х + 6 = 0

Д 2 + вх + с = 0 , а 0 — квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д 0,
— х при х 2 + вх + с = 0 и 2х 2 –3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = в и ах 2 + вх + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке. Работать будем с опорными конспектами.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

аx 2 + вx + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Пример: (а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0

Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а, необходимо найти решения.

Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Работа с опорными конспектами. Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а ( — , + ) х = а.

б) 5x = а Ответ: при а ( — , + ) х = .

в) x : 2 = а Ответ: при а (- , + ) х = 2а.

г) [x] = [а] Ответ: при а (- , + ) х = ± а.

д) x 3 = а Ответ: при а (- , + ) х = .

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а 0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а о х = а.

Решение г). Если а 2 – 4 0, т.е. а ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а ± 2 х = ,

при а = — 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

= 1

Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.

Найдем а, при котором х = 2

Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.

Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.

2) (а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0.

(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).

Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.

Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).

2) = 0,

Урок алгебры и начал анализа на тему «Уравнения и неравенства с параметрами», 11 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Уравнения и неравенства с параметрами

систематизировать и обобщить знания о решении уравнения с параметром;

показать основные приемы решения таких уравнений.

Развивающая: расширить и углубить изучение различных приемов решения уравнений с параметром.

Воспитательная: показать значимость зависимости ответа в задаче с параметром от выбранного значения параметра.

Введение . Вступительное слово учителя .

Уравнения стали привычной частью вариантов вступительных экзаменов ЕНТ.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера.
Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Поэтому возникает необходимость в рассмотрении системы понятий и поиске методов решения уравнений с параметрами (линейных, рациональных и т.д.)

Пусть дано уравнение F(х;а) = 0. Если придать параметру а какое – либо фиксированное значение, то данное уравнение можно рассматривать как «обычное» уравнение с одной переменной.

Поставим задачу : Выяснить, какой может быть ситуация при выбранном значении параметра?

Работа с учащимися в диалоговом режиме.

Итак, при выбранном значении параметра возможна одна из ситуаций;
Уравнение (система):

не имеет смысла;

не имеет корней (решений);

имеет одно, два, три….. корня (решения);

имеет бесконечное множество (решений).

Таким образом, ответ в задаче с параметром существенно зависит от выбранного значения а.

Обозначим основные проблемы:

Установить основные понятия уравнений с параметрами.

Для каждого вида уравнений школьного курса математики установить общий метод решения соответствующих уравнений с параметрами – единый как для одного, так и для двух параметров.

Рассмотреть примеры заданий на исследование уравнений.

Каково установление числа корней уравнений.

Нахождение общего корня двух уравнений – в чем его суть?

I этап – решение первой проблемы .

Работа с учащимися в диалоговом режиме .

Какие вопросы вы себе определите для установления основных понятий?

Что такое задача с параметром?

Что является областью допустимых значений параметра?

Что значит решить задачу с параметром?

Сколько видов задач с параметрами существует?

Что необходимо учитывать при их решении?

Появляется слайд и конспект
— Задача с параметром – это множество задач, каждая из которых получается из условия подстановкой конкретного значения параметра.
— Область допустимых значений параметра – это множество значений параметра, при подстановке которых получается задача, имеющая смысл.
— Решить задачу с параметром означает для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данной задачи.
— Рассматривать мы с вами будем задачи с параметром двух основных типов.
В задачах I типа требуется для каждого значения параметра решить задачу.
Для этого необходимо:

разбить ОДЗ параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить одним и тем же способом;

на каждой из полученных частей решить задачу.

В задачах II типа требуется найти все значения параметра, при которых выполнены те или иные заданные условия.
— Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученных при конкретных значениях параметра.

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение . Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление?

Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен о. Получим:

а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х – любое число;

а = 0, тогда 0∙х = — 1 – уравнение корней не имеет;

а 0, а 1, тогда а (а – 1)·х = а – 1 х = .

Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение . Рассмотрим два случая:

а = 1 – получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = — 3,5;

а 1 – получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1) 2 – (а – 1)(4а + 3) = — 3а + 4.

Далее, если а > , то D

Если же а , то х _1,2 = .

Ответ: 1) если а > , то корней нет;

2) если а = 1, то х = — 3,5;

3) если а и а 1, то х _1,2 = .

II этап – решение второй проблемы .

Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.
Появляется слайд.

Например. В рациональном уравнении функция f ₁ (а) = является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку

общее решение уравнения на А _f1 = >.

Функция f ₂ (а) = есть общее решение уравнения на множестве А _f2 = .
Построим модель общих решений в следующем виде

На модели выделяем все типы частных уравнений: ; ; .

Итак, на примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений; область определения; общие решения; контрольные значения параметров; типы частных уравнений.

На базе введенных параметров определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х) = 0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;

определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;

для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;

находятся общие решения х = f ₁ (а), …, f _k (а) уравнения F(а;х) =0 на соответствующих множествах А _f1 , ……, А _fk значений параметра;

составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (на слайде);

на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми решениями (области однотипности);

для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных решений.

III этап – примеры заданий на исследование уравнений.

Рассмотрим примеры решения задач с параметрами 2 типа.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение . Пусть f(х) = (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а 2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (х)

Решая неравенство f(1) = а 2 + 4а – 7 .

Ответ : -2 — .

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х 2 – 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение . Пусть f(х) = (m-1)х 2 — 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:

Рассмотрим 2 случая:

1) если 1,5 m > 0, тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;

2) если m 0 получим, что m-1

Ответ : m (- ; -3)

IV этап — рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos 2 x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у 2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у ₁ = а, у ₂ = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ : (- ; -1) (1; ).

Пример 2 . Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение . Данное уравнение равносильно системе: .

Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и

Ответ: .

Пример 3 . При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение . Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а 2 -1 = 0, и а = 1.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 1, то х 2 — = 0 – корней три;

2). Если а = -1, то то х 2 + = 0, х = 0 — единственный корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?

Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х 2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.

Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если

0 > а > — .

Ответ : (- ; 0] .

Во многих случаях при установлении числа корней уравнении имеет значение симметрия.

V этап — нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 + 3х + 7а -21 =0 и х 2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы. Для этого первое уравнение умножим на -5, второе — на7, а результаты сложим. Получим: 2х 2 + 27х +63 =0, корни которого х ₁ = -3, х ₂ = -10,5. Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ : 3 и – 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – ах + 2 = 0 и 3х 2 + (а — 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение . Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .

VI этап – геометрические интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1 . Решите уравнение в зависимости от параметра а: .

Решение. Понятно что при а 0:

.

Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а = .
Количество корней можно увидеть на рисунке:

если а = 0 и а > 0, то 2 корня.

Найдем эти корни.

При а = 0 получим х 2 – 2х – 3 = 0 и х ₁ = -1, х ₂ = 3; при а > 4 это корни уравнения х 2 – 2х – 3 – а = 0.

Если а = 4 – три корня:
Ответ : 1) если а

2) если а = 0, то х ₁ = -1, х ₂ =3;

3) если 0 _1,2,3.4 = 1 ;

4) если а = 4, то х ₁ = 1; х _2,3 = 1 ;

5) если а > 4, то х _1,2 = 1 .

Пример 2 . При каких значениях а уравнение имеет более двух корней?

Решение . Если подставить х = 0 в исходное уравнение, то получим 6 = 6, это означает, что х = 0 является решением уравнения при любом а.

Пусть теперь х 0, тогда можно записать . Выясним знаки выражений 2х + 3 и 2х – 3.

Раскроем модули: а = (1)

В плоскости х0а построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению (1).

Если а = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях а число решений уравнения не превышает двух.

1) Решите уравнение: 0 · х = а

Ответы : а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R

б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет

в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =

1) Решить уравнение: а х = а.

Ответы : а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R

б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет

в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ;

б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х =

в) при в = -1 нет корней, при а ≠ — 1

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в .

а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ;

б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х =

в) при в = -1 нет корней, при а ≠ — 1

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

Ответ : а) при с = -1, х R,

б) при с = 2, х R,

в) при с = — 1, х R,

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

Ответ : а) при с = -1, х R,

б) при с = 2, х R,

в) при с = — 1, х R,

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

.

Ответы : а) при m = 6 нет корней;

б) при m = 7 нет корней;

в) при m = 8 нет корней.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

.

Ответы : а) при m = 6 нет корней;

б) при m = 7 нет корней;

в) при m = 8 нет корней.

5) Решить уравнение .

а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = — 2а.

5) Решить уравнение .

а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = — 2а.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ;

б) при n = 0 х = — , при n = 1 х = 2, при n = — 4 х = ;

в) при n= 0 х = — , при n = 1 х = — 2, при n =4 х = — .

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ;

б) при n = 0 х = — , при n = 1 х = 2, при n = — 4 х = ;

в) при n= 0 х = — , при n = 1 х = — 2, при n =4 х = — .

1. На листке записать фамилию, номер варианта и код ответов.

2. Проверить правильность своего кода с ключом учителя.

Домашнее задание : решить самостоятельно:

1. При каких значениях а уравнение а = имеет более трех корней?

Ответ : а [3; 5).

2. При каждом значении параметра а решите уравнение = х – а.

Ответ : если а (- , решений нет

если а [- ] (- 3; 3], то х = ;

если а (- 3 ], то х = .

3. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение n х = а?

Ответ : если а ( , то уравнение имеет два решения;

если а , то уравнение имеет одно решение;

если а ( — ; ), то уравнение не имеет решений.

Рефлексия . Выбери для себя цвет и определи

1) Предложенный тестовый контроль помог выявить результаты:

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

Т.к. , получим:

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения . Это и

Разложим левую часть неравенства на множители:

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую