Алгебраические уравнения высших степеней с параметрами
Разделы: Математика
1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами
Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)
если ставится задача для каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение
то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.
1.2. Использование параметра как равноправной переменной
Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.
Пример 1. Решить уравнение с параметром.
2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)
Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:
а 2 – х(х+1)а – 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)
Найдем дискриминант D.
D = х 2 (х+1) 2 – 8(х 3 – х 2 ) = х 4 — 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 — 6х + 9) = х 2 (х — 3) 2 .
Найдем корни уравнения (2).
; а2 = 2х.
Получим уравнение (а – х 2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности
Рассмотрим уравнение х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.
D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2
D 0 при а > -1/4 два корня
Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.
Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,
при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х 2 = ½
при а 4 – (а+2)х 3 – (а – 1)х 2 + (а 2 – 1) = 0;
1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.
Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.
x 4 – 10х 3 – 2(а — 11)х 2 + 2(5а + 6)х + 2а + а 2 = 0;
Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.
а 2 + 2а(1 + 5х – х 2 ) + (х 4 – 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;
D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х – 10х 3 – 2х 2 – х 4 + 10х 3 – 22х 2 – 12х = х 2 – 2х +1 = = (х – 1) 2
Найдем а1 и а2 ; а1 = х 2 -5х – 1 + х – 1 = х 2 — 4х – 2;
а2 = х 2 -5х – 1 — х + 1 = = х 2 – 6х.
Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).
х 2 — 4х – 2 = х 2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.
Ответ: если а -5, то четыре решения.
Упражнения
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.
- (х 2 – 12а) 2 – 24х 2 + 32х + 96а = 0;
- (2х 2 – а) 2 – 24х 2 + 16х + 4а = 0;
- (2х 2 – а) 2 = 13х 2 + 6х – 2а = 0.
1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений
На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.
Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.
Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 = 5 иметь 5 корней?
Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Пример 2. При каком значении а уравнение х 10 – а|х| + a 2 – а = 0 имеет единственное решение?
Решение. Обозначим f(x) = х 10 – а|х| + a 2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х0 = 0. В этом случае из уравнения получим: a 2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,
при а = 0, х 10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.
при а = 1, х 10 — |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.
Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.
Упражнения
- Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – х 4 – ах 2 = 1 иметь три корня?
- Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – 2ах 4 + 3х 2 = 4 иметь пять корней?
- При каком значении а уравнение имеет единственное решение?
1.5. Метод замены
Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.
Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а 2 х 2 ,
где а – параметр.
Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида
(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх 2 (см. п. 2.5 (3))
Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:
(х 2 + 14ах +24а 2 )( х 2 + 11ах +24а 2 ) = 4а 2 х 2
Если а = 0, то х = 0.
Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.
Разделим обе части этого уравнения на а 2 х 2 , будем иметь
В полученном уравнении сделаем подстановку и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у 2 + 25у + 150 = 0, у1 = — 15, у2 = — 10.
Таким образом, получим два уравнения
и
Решим первое уравнение х 2 + 15ах + 24а 2 = 0, D = 129a 2 , х1,2
Решим второе уравнение х 2 + 10ах + 24а 2 = 0, D = 4a 2
х 3 = -6а, х 4 = -4а
Ответ: если а = 0, то х = 0
если а ≠ 0, то х1,2, х 3 = -6а, х 4 = -4а
Упражнения
- Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а 2 имеет четыре действительных корня.
- Решить уравнение х 4 + а 4 – 3ах 3 + 3а 2 х = 0.
- При каких значениях а уравнение (х 2 – 2х) 2 — (а + 2)(х 2 – 2х) + 3а – 3 = 0 имеет четыре корня?
- Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а 4
Линейные уравнения с параметром
Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида: $$p(a)x-q(a)=0,$$ где \(p(a)\) и \(q(a)\)- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все \(x\) при всех значениях параметра \(a\). Приведем наше уравнение к виду: $$p(a)x=q(a),$$ Отсюда единственное решение: \(x=\frac \) при \(p(a)≠0.\) Если же \(p(a)=0\) и \(q(a)=0\), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда \(p(a)=0\),а \(q(a)≠0\), то уравнение не имеет решений. Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с \(x\) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились. Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров: Решить уравнение \(ax-5a=7x-3\) при всех возможных \(a\). Перенесем все одночлены с \(x\) влево, а оставшиеся члены – вправо. И вынесем \(x\) за скобку, как общий множитель: $$x(a-7)=5a-3;$$ Первый случай, когда \((a-7)≠0\). Тогда мы можем поделить все уравнение на \(a-7\) и выразить: $$x=\frac<5a-3> Найдите все \(a\), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число. Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие \(x\), влево, а остальные – вправо. $$ax-6x+5x=-5a+4+a^2$$ Приведем подобные: $$ax-x=a^2-5a+4$$ И вынесем за скобку \(x\) и разложим квадратный многочлен на множители: $$x(a-1)=a^2-5a+4$$ $$x(a-1)=(a-1)(a-4)$$ Первый случай: \((a-1)=0\),т.е. \(a=1\) $$x*0=(a-1)(a-4)$$ $$x*0=0.$$ Решением уравнения будет любое число. Из ОДЗ видно, что \(5a+x≠0\) и \(x-5a≠0,\) таким образом, \(x≠±5a.\) Приведем уравнение к общему знаменателю \(x^2-25a^2\) и умножим на него все уравнение: $$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$ $$-15ax=-75a^2$$ $$ax=5a^2.$$ После преобразований получили линейное уравнение. Первый случай: \(a=0.\) Получаем уравнение \(0*x=0.\) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме \(x=0\) (ОДЗ \(x≠±5a\)). Ответ: При \(a=0\) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме \(x=0.\) Если \(a≠0,\) то решений нет. Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5 Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x) Список математических функций и констант : • ln(x) — натуральный логарифм • sh(x) — гиперболический синус • ch(x) — гиперболический косинус • th(x) — гиперболический тангенс • cth(x) — гиперболический котангенс • sch(x) — гиперболический секанс • csch(x) — гиперболический косеканс • arsh(x) — обратный гиперболический синус • arch(x) — обратный гиперболический косинус • arth(x) — обратный гиперболический тангенс • arcth(x) — обратный гиперболический котангенс • arsch(x) — обратный гиперболический секанс • arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс http://sigma-center.ru/linear_equation_with_parametr http://mathdf.com/dif/ru/
Ответ: При \(a=7\) \(x∈∅;\)
при \(a≠7\) \(x=\frac<5a-3>
Второй случай: \((a-1)≠0\), т.е. \(a≠1\) $$x=\frac<(a-1)(a-4)>
Ответ: \(a=1.\)Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)