Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
если а = 5, то х = = ;
Дидактический материал
3. а = +
4. + 3(х+1)
5. = –
6. =
Ответы:
- При а1 х =;
- При а3 х = ;
- При а1, а-1, а0 х = ;
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
- При а2, а0 х = ;
- При а-3, а-2, а0, 5 х =
- При а + с0, с0 х = ;
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
х = –
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
a =
a =
Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,
х =
х = – = –
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0 | а 6 а > — 1 а > 5/9 | 6 |
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х 2 – хlog32 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >
а – положительное число.
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Ответ:
- 0 25/2
- при а = 1, а = -2,2
- 0 0, х1/4 (3)
х = у
Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2
а0 =
Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.
Ответы:
- при а 16.06.2009
Задачи с параметрами для 10-11 класса
Задачи с параметрами
(10 – 11 классы)
Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: — уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 – 4)x = a + 2
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , то уравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение: .
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнениене имеет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение:
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же
, то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же
, то решением является любой . Сформируем
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство:
При уравнение не имеет решений.
Ответ: а Î (-5, 4).
Линейные неравенства с параметрами
Пример 1. Решить неравенство:
Если , то . Если , то . Если , то при решением является любой , а при решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. . Если скобка перед положительна, т.е. при , то . Если скобка перед отрицательна, т.е. при
, то . Если же или , то решений нет.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить неравенство
Просмотр содержимого документа
«Задачи с параметрами для 10-11 класса »
Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: — уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси .
Линейные уравнения с параметрами
Уравнение
Если , уравнение имеет единственное решение.
Если , то уравнение не имеет решений, когда , и уравнение имеет бесконечно много решений, когда .
Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a 2 – 4)x = a + 2
Решение: Разложим коэффициент при на множители. .
Если , уравнение имеет единственное решение: .
Если , уравнение не имеет решений.
Если , то уравнение имеет бесконечно много решений .
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение: .
Решение: ОДЗ: . При этом условии уравнение равносильно следующему: . Проверим принадлежность к ОДЗ: , если . Если же , то уравнениене имеет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение:
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если . Найденный будет решением, если .
2) , если . Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же
, то решением является любой .
3) , если . Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же
, то решением является любой . Сформируем
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом . , если . Решим неравенство:
При уравнение не имеет решений.
Линейные неравенства с параметрами
Пример 1. Решить неравенство:
Если , то . Если , то . Если , то при решением является любой , а при решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. . Если скобка перед положительна, т.е. при , то . Если скобка перед отрицательна, т.е. при
, то . Если же или , то решений нет.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить неравенство
Решение. При имеем неверное неравенство , т.е. решений нет. Пусть , тогда при оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство , т.е. решений нет. Если , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство , т.е. , т.е., решением является любой . Если оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство , т.е. , решением является любой . Объединяя оба ответа, получим, что при .
Пусть , тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа . Т.о., при решений нет.
Ответ. При , при решений нет.
Замечание. Решении данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и -а .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства удовлетворяют неравенству .
Решение. Решением неравенства является множество , а решением неравенства является множество . Чтобы
удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В ( ). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда
Пример 5. Найти все значения a , при которых неравенство выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .
Решение. Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо
выяснить, какой корень больше. и
. Т.о., при и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
При и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы .
При (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид : .
Пример 6. При каких значениях параметра а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение. Функция монотонно возрастает, если коэффициент при неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при отрицательный.
Выясним знак коэффициента при . . .
Пусть . Тогда функция монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если
. Вместе с условиями получим : .
Пусть . Тогда функция монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
2. Векторы на плоскости
Пусть два вектора на плоскости заданы своими координатами:
Модуль (длина) вектора: .
где — угол между векторами.
Условие параллельности двух векторов: . Т.е.
у параллельных векторов координаты пропорциональны.
Условие перпендикулярности двух векторов: . Т.е. два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если вектор задан своими концами и , то вектор .
Задача 1. Через точку провести прямую, параллельную вектору .
Решение. Пусть точка — текущая точка искомой прямой. Тогда вектор параллелен вектору . Тогда выписывая условие параллельности, получим уравнение искомой прямой:
Переписав в виде , получим уравнение с угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку .
Задача 2. Через точку провести прямую, перпендикулярную вектору . Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к прямой илинормалью к прямой.
Решение. Пусть точка — текущая точка искомой прямой. Тогда вектор перпендикулярен вектору . Тогда выписывая условие перпендикулярности, получим уравнение искомой прямой:
Раскрыв скобки и обозначив число , получим так называемое общее уравнение прямой:
В этом уравнении коэффициенты при и являются координатами нормального вектора прямой.
Всякая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, где с одной стороны прямой и с другой стороны. При этом точки той
части плоскости, куда смотрит вектор , удовлетворяет неравенству . Поэтому:
В направлении вектора функция возрастает, а в направлении вектора она убывает.
Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Решение. У параллельных прямых нормальные вектора тоже параллельны, т.е. . Согласно задаче 2 получим искомое уравнение: или .
3. Системы двух линейных уравнений с параметрами
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений
Решение. Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Получим: .
Если — единственное решение. Если , то если , то решений бесконечно много: . Если
же , то решений нет.
Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений
Решение. Система не имеет решений, если .
Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
Прямые параллельны , если . При этом прямые не совпадают, поэтому при решений нет.
Если , то выражая из второго уравнения и подставляя в первое, получим: .
Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b
найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Прямые не параллельны, если
В этом случае система имеет единственное решение при любом c.
По условию задачи система должна иметь решение при всех b.
Если то система принимает вид: . Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
Аналогично, если то система принимает вид: Чтобы при система также имела решения, нужно, чтобы уравнение
относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
4. Системы двух линейных неравенств с параметрами
Пример 1. При каких значениях а система неравенств
не имеет решений?
Решение. Система имеет решения только если .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 2. При каких значениях а система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение. При первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений, так как , а . Пусть , тогда т.е.
решения есть при , и , так как при выполнено неравенство , то решение запишется в виде .
Ответ: при решением будет любой ;
при решений нет.
Пример 3. При всех значениях а решить систему
Решение. Перепишем систему неравенств в виде . Рассмотрим все возможные случаи.
1) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
2) . Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
3) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем:
4) . Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
5) . Тогда система неравенств принимает вид . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: при
при и при решений нет.
Пример 4. При всех значениях а решить систему
При система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система не имеет решений.
Пусть , тогда и эта система будет иметь решения, если выполнено неравенство: .
Разработка урока «Уравнения с параметрами». 10 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
І-ІІІ ступеней №2 отдела образования администрации города Кировское,
10 класс. Алгебра
Тема урока: Решение уравнений с параметрами в программе Advanced Grapher.
Обучающая — организова ть работу учащихся по закреплению знаний, умений и навыков решения уравнений с параметрами. Показать на примере применение программы Advanced Grapher с использованием метода самостоятельной практической деятельности.
Развивающая — обеспечить получение новых знаний и развитие в учащихся навыков, способствующих применению полученных знаний и умений для решения более сложных уравнений с параметрами.
Воспитательная — формирование информационной культуры, умения и навыков самостоятельного овладения знаниями.
Оборудование:
компьютеры с установленной операционной системой Advanced Grapher компьютер учителя -1 шт, компьютер ученика -12 шт;
учебник Нелин Е.П., Алгебра и начало анализа, профильный уровень, 10 класс. – Харьков: Издательство «Гимназия», 2010.
Тип урока: урок усовершенствования знаний и умений учащихся по теме «Решение уравнений с параметрами».
Ход урока
І .Организационный момент.
Сообщение темы, целей и задач урока.
ІІ .Объяснение учителя.
Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значения одного или нескольких параметров, обозначенных буквами (а, в , с и т.д.).
Решить уравнение с параметром означает:
Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Задачи, связанные с решением уравнений с параметрами, часто встречаются на олимпиадах разных уровней, на различных конкурсах. Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдаче Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.
Значительный вклад в изучение вопроса методики решения уравнений с параметрами сделали такие ученые как Горнштейн П.И., Полонский В.Б., М.С., Цыпкин А.Г., Пинский А.И., Новоселов С.И., Никонов Е.Ю., Ткачук В.В., Локоть В.В., Мордкович А.Г и др.
Универсального метода решения задач с параметрами не существует.
Часто пользуются аналитическим (с использованием формул, свойств функций) и графическими методами.
Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.
ІІІ. Решение упражнений.
Задание №1. Решить уравнение
При решении данного уравнения необходимо рассмотреть случаи, когда (это происходит, когда а = 2, или а = -2) и случай, когда .
Если а = 2, уравнение имеет вид 0 · х = 0, тогда х – любое число.
Если а = — 2, уравнение имеет вид 0 · х = — 4, тогда уравнение не имеет решений.
Если а 2, а -2, тогда уравнение имеет вид
Ответ: если а = 2, то х – любое число; если а = — 2, то уравнение не имеет решений; если а 2, а -2, то
Пользуясь собственным опытом, выполните решение предложенной ниже турнирной задачи.
Задача. «Количество решений». Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет один корень.
, ОДЗ: х R , а R .
Решим уравнение графическим способом. Для этого рассмотрим функции
у = | x + 3| — 1 и у = |2х — а|. Построим графики функций в одной системе координат.
Алгоритм построение графика у = | x + 3| — 1.
1 шаг: у = х + 3 – графиком является прямая, сдвинутая вверх по оси ОУ на 3 единицы. Точки пересечения с ОХ (у = 0), х = — 3.
2 шаг: у = | x + 3| — часть прямой, которая расположена выше оси ОХ остается без изменения. Часть прямой, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично этой оси вверх.
3 шаг: у = | x + 3| — 1 — полученный график опускаем вниз на 1 единицу.
Точки пересечения с ОХ (у = 0) Точки пересечения с ОУ (х = 0) у = 2.
Алгоритм построения графика у = |2х — а|.
1 шаг: у = 2х – графиком является прямая пропорциональность. График проходит через начало координат.
2 шаг: у = 2х – а. В зависимости от параметра а график сдвигается параллельным переносом вдоль оси ОУ вверх (если а 0).
3 шаг: у = |2х — а|. Часть графика, находящаяся выше оси ОХ остается без изменения, часть графика, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично оси ОХ вверх.
При построении графиков в одной системе координат видно, что они будут иметь одну общую точку (одно решение уравнения) при Значит:
Если , то уравнение имеет одно решение.
Если х( — уравнение имеет 2 решения.
Если х(-4;-2) – уравнение не имеет решений.
Графически это выглядит так:
Найдем значение параметра а, при котором
Если х = -2, то у = 0, имеем |-4-а| = 0, а = -4.
Если х = -4, то у = 0, имеем |-8-а| = 0, а = -8.
Ответ: уравнение имеет одно решение, если а= -4 или а= -8.
І V . Домашнее задания
Используя программу Advanced Grapher, найдите все значения параметра а, при котором уравнение имеет больше двух решений.
В программе Advanced Grapher строим график функции у = |х-1| + |х-3|.
В этой же системе координат строим графики у = а, если а = 5; 2; -3. Это используем для того, чтобы показать, количество возможных решений:
-если а = 2, то уравнение имеет бесконечное множество решений;
-если а > 2, то уравнение имеет два решения.
http://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/zadachi-s-paramietrami-dlia-10-11-klassa
http://infourok.ru/razrabotka-uroka-uravneniya-s-parametrami-klass-731241.html