Уравнения с параметром 9 класс примеры самостоятельная работа

урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с параметрами»
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Урок в 9 классе «уравнения и неравенства с параметрами»

Скачать:

Вложение	Размер
razrabotka_uroka.doc	658 КБ

Предварительный просмотр:

Урок в 9 классе «Решение уравнений и неравенств с параметром»

Тема: Решение уравнений и неравенств с параметром

Тип урока: урок–лекция, материал концентрируется в блоки и преподносится как единое целое, контроль проводится по предварительной подготовке уч-ся.

1. Расширить и с истематизировать знания учащихся
2. Рассмотреть приёмы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр
3. Н аправить на углубленное изучение предмета и овладение его содержанием на повышенном уровне сложности
4. Приобрести в рамках предпрофильной подготовки навыки решения задач, содержащих параметры .

1. расширение и углубление сложности задач, решаемых учащимися.

1. развитие логического мышления, интуиции, познавательных и творческих способностей учащихся,
2. развитие умения анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить рассуждения, обоснования.

1. повышение интереса к математике,
2. расположение к самостоятельной организации работы.

Формы и методы работы:

1. Использование приёмов, активизирующих работу школьников свободный выбор заданий для самостоятельной работы, дифференцированные задания для домашней работы;
2. Использование групповых форм работы;
3. Формой контроля обучающая самостоятельная работа, итоговое тестирование, исследовательская работа.

1. Постановка цели урока.
2. Актуализация знаний, умений и навыков.

Учитель: Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.

Решить уравнение (неравенство) с параметром – это значит установить соответствие, позволяющие для любого значения параметра найти соответствующее множество решений уравнения (неравенства).

Можно выделить различные типы уравнений и неравенств с параметром:

Линейные уравнения и неравенства. (1 блок)

Рассмотрим примеры решения:

1. Решить уравнение: ax=2x+5.

Переносим неизвестные слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: ( a–2)x=5.

Чтобы найти корни необходимо поделить уравнение на ( a–2) , при а=2 , выражение а–2=0, т. к. делить на нуль нельзя, то данное уравнение имеет решение только при :

Ответ: при а=2 решений нет, при :;

2.При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 не имеет решений?

Решений не имеет уравнение 0·х=b, где . Поэтому 2а(a–2)=0 , а , отсюда следует, что а=0

3. При каком значении параметра а уравнение (а 2 –4)х=а 2 +а–6 имеет бесконечно много решений?

Уравнение будет иметь бесконечно много решений при:

Решив первое уравнение системы, получим а 1,2 = . Корни 2-го уравнения: а 1 =–3, а 2 =2.

Таким образом, одновременно оба равенства обращаются в 0 при а=2

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащимся на выбор предлагаются задания. Каждый выбирает любые 1–2 или несколько заданий для решения.

1. При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении параметра (а 2 –4)х=а 2 +а–6 уравнение не имеет решений?
3. Решить неравенство ax
4. При каком значении параметра а неравенство 2aх
5. При каком значении параметра a неравенство a 2 x

Обсуждение решений вместе с учащимися. При необходимости проверить с помощью проектора. Оформить решения в виде слайдов.

Квадратные уравнения и неравенства. (2 блок)

Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

Если D>0 то уравнение имеет два различных корня;

Если D=0 то уравнение имеет один корень (или два совпадающих);

Это правило используется и при решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр.

1. При каких значениях параметра а уравнение 4x 2 –4ax+1=0 имеет два корня?

Найдем дискриминант исходного выражения.

D=16а 2 –4·4·1=16а 2 –16 ; Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то D=16а 2 –16≥0, а 2 –1≥0

2. При каких значениях параметра b уравнение(b-1)x 2 +(b+4)x+b+7=0 имеет один корень?

При b=1 уравнение становится линейным . Подставив b=1 в исходное уравнение, и получим : 5x +8=0; x=16 .

При b 1 имеем квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет один корень при D=0. Находим дискриминант и приравниваем его к нулю. D=(b+4) 2 –4(b-1)( b+7)=–3 b 2 +16 b+44=0.

Решаем уравнение 3 b 2 –16 b–44=0, находим корни b=2; b= .

Ответ: При b=1; b=2; b= уравнение имеет только один корень.

3.При каких значениях параметра неравенство а x 2 –4ax+5 0не имеет решений?

При а=0 получаем :5 0. Это неверно. Значит при а=0 исходное неравенство не имеет решений.

При а исходное неравенство будет квадратным. Графиком функции у= а x 2 –4ax+5 является парабола. Чтобы неравенство а x 2 –4ax+5 не имело решений нужно чтобы парабола была полностью расположена выше оси абсцисс. Условия соответствующие данному расположению параболы:

Решением системы является промежуток (0;1,25). Объединяя решения получаем ответ.

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащиеся выборочно решают самостоятельно задания:

1.При каком значении параметра а уравнение x 2 –ax+16=0 не имеет корней.

2. При каких значениях параметра b уравнение(2b–5)x 2 –2(b–1)x+3=0 имеет два различных корня?

3. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0не имеет решений?

4. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0 выполняется при любых значениях х?

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформить я в виде слайдов.

Применение теоремы Виета. (3 блок)

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет положительные корни?

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета x 1 + x 2 =2b и x 1 x 2 = b+6. Имеем систему неравенств:

Решением системы неравенств будет промежуток

Ответ: b уравнение имеет положительные корни.

2.Найти все значения p, при которых разность корней уравнения x 2 +px+12=0 равна 1 .

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета имеем систему:

Из первого и третьего уравнений выразим параметр p и подставим во второе уравнение:

Решаем квадратное уравнение: ; 1– p 2 =–48; p 2 =49; Уранение имеет два корня 7 и –7

Ответ: p= разность корней равна 1.

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет отрицательные корни?

2. Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет корни разных знаков?

3. Найти все значения p, при которых разность корней уравнения 2x 2 –px+1=0 равна 1 .

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформлены на слайдах.

1. Создание проблемной ситуации.

Учитель: Теперь исследуем расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

На экране запись:f(x)=ax 2 +bx+c

–Какую информацию о графике функции можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

–если а 0, то ветви параболы направлены вверх, если а

– если а=0, то графиком будет являться не парабола, а прямая и соответствующее уравнение нужно решать как линейное;

–если D>0, то парабола пересекает ось абсцисс в 2-х точках

–абсцисса параболы равна

Эти свойства используются нами при решении задач о расположении корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

Задача: При каких значениях параметра а оба корня уравнения x 2 –ax+7=0 меньше 7.

Учитель: Попробуйте схематически изобразить параболу записать необходимые условия соответствующие этому расположению параболы. Учащиеся пытаются составить соответствующую систему неравенств и схематически изобразить график.

Проверка с помощью проектора y

Решаем соответствующую систему неравенств. Учащиеся самостоятельно находят решение системы неравенств. Сверяют ответы.

Ответ: При а оба корня уравнения меньше 7.

Учитель: Решим ещё одну подобную задачу:

Задача: При каких значениях параметра а число 7 находится между корнями уравнения x 2 –ax+7=0 ?

Учитель: Попробуем схематически изобразить график и составить соответствующую систему неравенств.

Проверка с помощью проектора : y

Находим решение системы неравенств.

Ответ: При а 8 число 7 находится между корнями уравнения.

Учитель: Сегодня на уроке мы разобрали основные приёмы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр, научились использовать теорему Виета при решении задач с параметрами, научились получать геометрическую интерпретацию задачи с параметром, составлять подходящую систему неравенств. Для решения данной задачи.

Домашнее задание состоит из 3-х разделов, различного уровня сложности.

Линейные уравнения и неравенства

1. 1.При каком значении а неравенство a x 8 не имеет решений?
3. 2. При каком значении а неравенство a x 8 имеет бесконечно много решений?

3.Решить неравенство a x 1– x для различных значений a.

1. 1. При каком значении а уравнение
2. 2a(а–2) x= а–2 не имеет решений?
4. 2. При каком значении а уравнение 2a(а–2) x= а–2 имеет бесконечно много решений?

2a(а–2) x а–2 различных значений a.

1.При каком значении а система уравнений не имеет решений?

2. При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решении?

Квадратные уравнения и неравенства. Применение теоремы Виета.

1.При каком значении параметра а уравнение ax 2 +2ax+1=0 имеет 2 корня?

2.При каком значении а неравенство x 2 –3ax+4 0 имеет бесконечно много решений?

3. Найти все значения а при которых сумма корней уравнения

2x 2 +ax+1=0 положительна?

1.При каком значении а неравенство аx 2 –4ax–3 0 выполняется при любых значениях х?

2. При каком значении параметра а уравнение ax 2 +(2a+3) x+а–1=0 не имеет корней?

3. Найти все значения а при которых отношение корней уравнения

x 2 + p x+2=0 равно 2?

1. При каком значении параметра а решение неравенства ax 2 +2ax+1 0 состоит из одной точки?

2. Найти все значения а при которых число 2разделяет корни уравнения аx 2 +x+1=0.

3.При каком значении а сумма + где –корни уравнения 4 x 2 –11x+а 2 =0 принимает наибольшее значение?

Учащиеся получают домашнее задание на карточках. Достаточно выполнить любые 6 заданий. При оценивании работы учитывается раздел уровня сложности, из которого были решены задачи.

Анализ усвоения материала учащимися.

Учащиеся проявляют интерес к предложенной теме, так как задачи с параметрами нечасто встречаются при изучении курса алгебры 7–9 классов. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики. Трудности при изучении данного вида заданий связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений и неравенств данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами.

Материал урока позволил обобщить и систематизировать задачи с параметрами, встречавшиеся ранее в курсе алгебры 7–9 классов. Были выработаны навыки решения простейших линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Учащиеся получили представление о разнообразии задач такого рода и разнообразии методов их решения, научились использовать при решении графические представления. Знакомясь условием задачи, научились применять теоретические разделы математики, необходимые для решения данной задачи.

Эти навыки безусловно будут полезны в первую очередь учащимся в рамках предпрофильной подготовки особенно тем, кто ориентирован на профиль обучения, связанный с математикой.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Уравнения и неравенства с параметрами

На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно предлагаются так называемые задачи с параметрами: уранения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С).

Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»

9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»Чехолкова Алла ВладимировнаЦель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Разв.

Урок по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами».Элективный курс.

Урок обобщения и повторения. Основная цель: Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами;закрепить умения применять знания при решении конкретн.

Конспект урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)

Тема урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)Цели урока:- обобщить материал по данной теме и применить его для выполнения заданий более высокого уровня сложности;- развивать память, мышле.

Урок алгебры «Ограниченность тригонометрических функций в уравнениях и неравенствах с параметром» 10 класс

Цели урока:-сформировать понятие об ограниченности синуса и косинуса как о свойстве, дающем возможность перехода к исследованию новой функции на отрезке;-актуализировать знания о методах решения задач.

Урок-семинар по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами», 11 класс

Представлена разработка урока-семинара по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами» , 11 класс, подготовка к ЕГЭ.

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Найдите, при каких значениях а уравнение log ₂ (4 x – a) = x имеет единственный корень.

При каких значениях а уравнение х – log ₃ (2а – 9 х ) = 0 не имеет корней.

Ответы:

при а 16.06.2009

Самостоятельная работа «уравнения с параметром»

Самостоятельная работа по теме «Уравнения с параметром» 7 кл

При каком значении а уравнение

При каких значениях а уравнение

не имеет корней.

При каких значениях а уравнение

имеет бесконечно много корней.

1. При каком значении а уравнение

При каких значениях а уравнение

не имеет корней.

При каких значениях а уравнение

б) (13-а)х + 6х = 12-5х

имеет бесконечно много корней.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Андропова Светлана Евгеньевна

09.01.2018

Алгебра

Самостоятельная работа

3378

5113

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.