Уравнения с параметром проект 10 класс

Цель:
• Формирование умения решать квадратные уравнения с параметрами.
• Развивать исследовательскую и познавательную деятельность.

ХОД УРОКА:

I. Введение в тему.
II . Актуализация знаний:
а) Какое уравнение называется линейным?
б) Какое уравнение называется квадратным?

III . Защита исследовательской деятельности учащихся.

Задание I группе:
• Исследовать связь графика квадратичной функции с коэффициентами и корнями, соответствующего квадратного уравнения.

Тест (ответ: ключевое слово ПАРАМЕТР)

Тест (работа с компьютером)

А. Для каждой из квадратичных функций найти на чертеже график.

Введите ответ и прочитайте шифр ( ПАРАМЕТР )

Задание II группе: Решение квадратных уравнений с коэффициентами, зависящими от параметра.

IV .Самостоятельная работа в группах:
Решить уравнение для всех значений параметра

1) Определить условия, при которых корни уравнения будут больше (меньше) заданного числа n . Рассмотреть все случаи.

2) Решение квадратных неравенств с коэффициентами, зависящими от параметра.

3) Решить уравнение для всех значений параметра

Пояснительная записка

Элективный курс профильной подготовки учащихся 10, 11 классов посвящён одной из тем курса алгебры – задачам с параметрами. К сожалению, в средней школе при изучении алгебры практически не рассматриваются (или рассматриваются недостаточно) уравнения с параметрами.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых знаний, и его цель – развитие логической культуры, т. к. очень серьезные трудности логического характера вызывают обычно уравнения, неравенства и системы с параметрами, в которых требуется найти такие значения этих параметров, при которых выполняются некоторые дополнительные требования.

Курс предполагает рассмотрение линейных уравнений и неравенства с параметрами, квадратных уравнений и неравенства с параметрами, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения с параметрами. Организация обучения на занятиях будет направлена на развитие логического мышления, самостоятельной исследовательской деятельности. Программа содержит 8 блоков, связанных единой идеей. Основным направлением работы является подготовка учащихся к экзаменам и их конкурентоспособность.

Организационно-методический раздел

Цель курса: Углубить и расширить знания учащихся о решений уравнений, неравенств и систем с параметрами.

Задачи курса:

1. углубить теоретические знания и сформировать у учащихся навыки решения уравнений, неравенств и их систем с параметрами для любого допустимого значения параметра;

2.формирования опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;

3.развитие логической культуры учащихся.
Решение задач с параметрами в школьной практике позволяет проверить и углубить:
– знание основных разделов школьной математики;
– уровень математического и логического мышления;
– перспективы возможности конкурентно способности учащихся;
– возможности успешно овладения курсом математики Вуза;
– успешности сдачи ЕГЭ.

Методика осуществления учебного проекта

Попытаемся выяснить, как учитель должен организовывать работу над проектом, что происходит с учащимся во время осуществления проекта, какова роль учителя в этой работе.
• Этапы работы методом проектов.
• Погружение в проект.
• Обеспечение осуществления учебного проекта.
• Формы презентации и их учебно-воспитательный эффект.

Этапы работы с использованием метода проектов

В самом общем виде при осуществлении проекта можно выделить следующие этапы:
1-й – погружение в проект;
2-й – организация деятельности;
3-й – осуществление деятельности;
4-й – презентаций результатов.
Что делает каждый участник проектной работы на разных этапах, очень кратко можно пояснить с помощью следующей таблицы.

Проектно-исследовательская работа на тему «УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

Клементьева Екатерина Алексеевна,

средняя общеобразовательная школа

№ 46 с углубленным изучением

отдельных предметов, 9 класс

Кузнецова Елена Борисовна,

высшей квалификационной категории

2017

Выбор темы проекта «Уравнения с параметром» обусловлен желанием научиться решать такие уравнения, так как своевременно не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром, а предстоит изучение еще и квадратных уравнений.

В проекте подробно описаны пять решенных линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем; графики построены с помощью приложения «Живая математика». Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОГЛАВЛЕНИЕ

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 5

2.1. Историческая справка 5

2.2. Линейные уравнения с параметром 5

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром 6

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром 7

2.5. Квадратные уравнения с параметром 9

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с
параметром 10

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с
параметром 11

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметром считаются трудными, так как каждая из них является исследовательской: нужно понять, принять и вычислить две или больше неизвестных в одном уравнении, нужно привыкнуть к тому, что эти неизвестные играют разные роли, могут по-разному обозначаться. Желание научиться решать такие задачи у меня появилось еще в 7 классе, когда мы впервые рассмотрели параметр в линейных уравнениях. Данная тема приобретает для меня все большую актуальность в связи с изучением с этого учебного года квадратных уравнений, биквадратных уравнений и началом подготовки к ОГЭ.

Объект исследования: Уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: Уравнения с параметром.

Проблема: недостаточно знаний и умений по теме «Уравнения с параметром».

не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром при изучении их в седьмом классе;

не изучались квадратные уравнения с параметром в восьмом классе.

Цель: изучить способы решения уравнений с параметром.

Дать определение понятию «Уравнение с параметром»;

Рассмотреть способы решения уравнений с параметром;

Подобрать различные виды заданий для решения;

Представить изученный материал в докладе и презентации.

Гипотеза исследования: Можно предположить, что если изучить различные методы решения уравнений с параметром, то можно найти универсальный метод, позволяющий решать уравнения разных видов.

Эмпирические (изучение литературы по теме исследования, самостоятельное решение уравнений);

Обобщения и систематизации математического материала;

Экспериментально-теоретические (анализ, моделирование, сравнение).

Данная тема открыла мне новые виды уравнений с параметром, позволила познакомиться с доступными способами их решения.

Практическая значимость проекта:

Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к олимпиадам.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Историческая справка

«Все математики знали,

что под алгеброй были скрыты

но не умели их найти.»

Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготье

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой [7].

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx 2 + bx = c.

Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения уравнений с параметром.

Понятие переменной величины было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему – основа графического метода решения уравнений с параметром.

2.2. Линейные уравнения с параметром

Рассмотрим линейные уравнения: 5х +1 = 2, 1 + 2х = 2, — 0,5х + 1 = 2. В общем виде эти уравнения можно записать так: ах + 1 = 2, где а – некоторое число, х – переменная. Приведем еще примеры уравнений, в которых коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами: 5х = р, ах =1, с + d х = 10, k х – 3 = 0,5. Такие буквы называют параметрами.

Определение 1: Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству[2].

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательной левой части уравнения |х| = а – 1 не следует неотрицательность значений выражения а – 1, если а – 1

Определение 2: Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все значения параметра, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждого найденного значения параметра, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

К основным методам решения линейных уравнений с параметром относятся аналитический метод и графический метод.

2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром

Определение: Аналитический метод – это способ «прямого» решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Аналитический метод решения задач с параметром самый трудный способ, требующий высокой математической грамотности.

Рассмотрим решение линейного уравнения ах = b , где а и b – некоторые действительные числа, х — переменная. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

Пример 1[9, с.3]. Решить уравнение ах=1.

Решение: при а=0, то есть 0 ⋅ х=1, уравнение корней не имеет; при а≠0 уравнение имеет корень х = .

Ответ: если а=0, то корней нет; если а≠0, то х = .

Пример 2[4]. Решить уравнение +3=5-х

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: +х=2;

х (+1) =2; х× =2.

При а = 0 уравнение не имеет смысла.

При а ≠ 0 и а + 1 = 0 (а = – 1) уравнение примет вид 0·х = 2, т. е. не имеет решений.

При а ≠ 0, а≠– 1 уравнение имеет единственный корень х =

Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла; если а ≠ 0 и а = – 1, то корней нет; если а ≠ 0 и а ≠ – 1, то х =.

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение а 2 х+2=4х+а имеет бесконечно много корней?

Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: а 2 х — 4х = а — 2; (а 2 —
– 4) х = а – 2; (а-2) (а+2) х = (а-2). При а = 2 данное уравнение принимает вид 0·х = 0, значит х – любое число.

Ответ: а = 2.

2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром

Графический метод решения задач с параметром исключительно наглядный способ решения. В любом классе задач есть задачи, которые блестяще решаются данным способом и трудоемко другими.

Часто в линейных уравнениях с параметром переходят к линейным функциям вида у = kx + b, где k и b – коэффициенты. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.

Геометрически каждое уравнение представляет прямую на плоскости, поэтому возможны три случая расположения двух прямых, то есть три случая решения: 1) прямые пересекаются — уравнение будет иметь один корень; 2) прямые параллельны — уравнение не имеет корней; 3) прямые совпадают — уравнение имеет бесконечно много решений.

Возможно при использовании графического метода возникает вопрос о строгости решения. Поэтому, когда результат, полученный с помощью графического метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Рассмотрим решение двух линейных уравнений с параметром графическим методом с построением графиков в координатной плоскости Оху.

Пример 1 . Решить уравнение ах = 1.

Решение: запишем уравнение в виде системы у=1,

Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а ≠ 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень х = .

Ответ : если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х = .

Пример 2. Решите уравнение |х| = х – а.

Решение: снова запишем уравнение в виде системы: у= │х│,

В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе – семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Видно, что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при а

х = — .

Ответ : если а > 0, то нет корней;

если а = 0, то решений бесконечно много;

если а .

2.5. Квадратные уравнения с параметром

Общий вид квадратного уравнения с параметром: α x 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа.

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Выражение D = b 2 – 4 α c называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня [5, с.292].

Рассмотрим решение квадратного уравнения αx 2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок – схемы:

2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[9, с.6] . Найдите все значения параметра a , при которых уравнение:

(2a – 1) x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не менее одного корня.

При 2 a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a = разбираем отдельно.

Если a = , то уравнение принимает вид x – 3 = 0, оно имеет один корень: х = 6.

Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не менее одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

D = a 2 – 4(2 a – 1) (2 a – 3) = -15 a 2 + 32 a – 12≥0

16+2 √19

-15 а 2 + 32 а — 12 ≥ 0 15

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли а=

полученному условию: сравним и ; и , > и
.

Ответ : если а ≠ , то х ⋲ (-∞; ) U < > U ( ; +∞);

если а = , то х = 6.

Пример 2. Один из корней уравнения x 2 + bx + 6 = 0 равен 2. Найдите коэффициент b и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

2+х ₂ = — b ,

2х ₂ = 6,

х ₂ =3 ⇒ 2 + 3 = 5 = — b ⇒ b = — 5.

Ответ : х ₂ = 3, b = — 5.

Пример 3. Один из корней уравнения x 2 + kx – 2k + 5 = 0 равен 1. Найдите значение параметра k и другой корень уравнения.

Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета

1+ x ₂ = — k ,

1 ⋅ x ₂ = -2k + 5 , 1 – 2 k + 5 = — k , — k = — 6, k = 6 ⇒ x ₂ = — 7

Ответ: x ₂ = — 7, k = 6.

2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1[3] . Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а.

Заметим, что количество решений уравнения ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ = а равно количеству точек пересечения графиков функций у= ∣ х 2 — 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ и y = a.

График функции у = х 2 – 7х + 6 показан на рис.1.

График функции у = х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 показан на рис.2.

График функции у = ∣ х 2 – 7 ∣ х ∣ + 6 ∣ показан на рис.3.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

при a = 0 и a = – четыре решения;

при 6 – шесть решений; при a > – два решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выбор темы обусловлен желанием научиться решать уравнения с параметрами не только простые, но и повышенного уровня сложности. В результате можно отметить:

решены пять линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено модулем;

решения всех уравнений подробно описаны в работе;

графики построены с помощью приложения «Живая математика».

В ходе выполнения данной работы выдвинутая гипотеза подтвердилась. Существуют задачи с параметрами, при решении которых используются только аналитические методы. Но иногда можно решить задачу и аналитически, и графически. Таким образом, аналитический метод – универсальный.

Считаю, что мне удалось справиться с поставленной целью и задачами, разрешить проблему. Кроме того, я научилась пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное. Могу отметить, что новые знания уже пригодились мне на некоторых уроках.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] — Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/

Голубев В., Гольдман А. О задачах с параметром. Первоначальные сведения. // Математика – 2002 — № 23 – с.27-32;

Информационный источник сложной структуры «Виртуальная математика. Задачи с параметрами. 7 – 11 кл.». [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/ df 413 b 15-266 b -4 a 0 a — bdb 228 fc 41140 ab 2/;

Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. // Математика – 2001 — № 36 – с. 19-22;

Макарычев Ю.Н. Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2010, — 384 с.;

СтудопедиЯ. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://studopedia.ru/4_94223_analiticheskiy-metod-resheniya-zadach-s-parametrami.html;

Уравнения с параметрами в школьном курсе математики. [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://qp1qp.narod.ru/istoriya.html;

Феоктистов И. Е. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. — М.: Мнемозина, 2013. – 173 с.;

Чикунова О.И. Практикум. Задачи с параметрами: учебно – методическое пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2015. – 64 с.