Уравнения с параметром в каком классе

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Разделы: Математика

Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место.
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, относятся, например, задачи, в которых отыскивается решение линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследуется количество их корней в зависимости от значений параметров.
Естественно, что такой небольшой класс задач не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами. В результате, у учащихся возникает психологический барьер уже при «первом» знакомстве с параметрами — это неизвестное и известное, переменная и постоянная. Выход из сложившейся ситуации — включать задачи с параметрами в каждую тему.

• Для решения задач с параметрами требуется:

а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №2.
Выразить х : а) ах = а-1; б) (а+2) х = а-1; в) а х = а -1.
Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение.
Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10.
Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа.
Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1.
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем
при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

• Параметр — это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которойпроводится анализ полученного решения.
• Решить уравнение с параметром — этозначит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

х=а+5 .
Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №5.
Сравнить числа: а) а и 3а;
б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а 3а; если а = 0, то а = 3а; если а > 0, то а 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а -1 уравнение имеет два корня.

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

1. (5а+1)х+25а2+10а+1=0;
2. ах-а=х-1;
3. (а2-4)х=а2+а-2;
4. (а2-1)х-а2+2а-1=0;
5. (а-2в)х+а+в=3;
6. 
7. каких значениях параметра а уравнение а2(х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?
8. каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?
9. каждого значения параметра а определить число корней уравнения |x-1| =а.
10. каждого значения параметра а определить число корней уравнения|5x-3| =а.

Используемая литература.

1. Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.; C.Неделяева, «Особенности решения задач с параметрами» №34, 1999 г.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
3. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.
4. Соколовская С.И., ДухонМ.Ю. Линейные уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

Уравнения с параметрами
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок по теме: «Уравнения с параметрами»

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.

2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.

3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

1. Организационная часть.

2. Повторение пройденных тем.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного.

5. Домашнее задание.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по теме: «Уравнения с параметрами»

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

1. Организационная часть.
2. Повторение пройденных тем.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного.
5. Домашнее задание .

1. Организация урока.

Урок начинается с приветствия. Объявляется тема урока и задачи. Нацелить учащихся на важность изучаемого материала не только для подготовки к экзаменам в школе, но и при подготовке к поступлению в вузы.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.

ах = в — линейное

а 0 х = — один корень,

а = о, в 0 — нет корней,

а = 0, в = 0 — х – любое число.

б) 2х 2 – 3х + 6 = 0

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

ах 2 + вх + с = 0 , а 0 — квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

х при х > 0,
— х при х

2) Чем отличаются уравнения а х = в и 3х = 6, а х 2 + в х + с = 0 и 2х 2 –3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях а х = в и а х 2 + в х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке

3. Изучение нового материала.

1) Определение . Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: а x + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

а x 2 + в x + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Пример: ( а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0

Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а , необходимо найти решения.

Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а ( — , + ) х = а .

б) 5x = а Ответ: при а ( — , + ) х = .

в) x : 2 = а Ответ: при а (- , + ) х = 2 а .

г) [x] = [ а ] Ответ: при а (- , + ) х = ± а .

д) x 3 = а Ответ: при а (- , + ) х = .

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) а x = 10 Ответ: при а 0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а а = 0 х = 0, при а > о х = а.

г) ( а 2 – 4)x = а 2 + а – 6

Решение г). Если а 2 – 4 0, т.е. а ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а ± 2 х = ,

при а = — 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).

Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.

Найдем а , при котором х = 2

Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.

Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.

2) ( а – 2)х 2 + 3х – 4 = 0.

(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).

Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.

Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).

Алгебра. 8 класс

Тема: Уравнения с параметром

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим уравнение
ax + b = 0
Приведем уравнение к виду
ax = —b
Найдём корни уравнения, рассмотрев различные вариант значений параметров a и b.
Рассмотрим случаи

1. a = 0, b = 0 → 0x = 0 → 0 = 0 → x — любое число
2. a = 0, b ≠ 0 → 0x = b → 0 = b → корней нет
3. a ≠ 0 → x = (-b)/a

Решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Впишите верный ответ.

При каком значении a уравнение имеет бесконечное число решений?