Уравнения с переменной под знаком модуля проект

Исследовательская работа по математике на тему: «Способы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля».

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях. Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, возникает проблема: найти разнообразные методы в обучении решению задач с модулем.

Практически у каждого обучающегося вызывают затруднения задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах (в заданиях ЕГЭ это задания С5 и С6).

Считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Цель исследовательской работы определяет следующие задачи:

— показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение линейных уравнений, содержащих знак модуля» в школьной программе;

— разработать алгебраический метод решения линейных уравнений, содержащих знак модуля;

— разработать графический методы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение уравнений с модулями не являются одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины;

предмет исследования – алгебраический и графический методы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля.

Проектная работа 9 класс «Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля»

Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, — прекрасный способ с пользой провести свободное время, тренируя при этом свою логику и математическую интуицию.

Просмотр содержимого документа
«Проектная работа 9 класс «Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля»»

Федеральное государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Омский кадетский военный корпус

Министерства обороны Российской Федерации»

Проектная (исследовательская) работа

Решение уравнений и неравенств,
содержащих переменную
под знаком модуля

Автор: Чугунов Максим, обучающийся 9-2 класса

1. Модуль: определения, свойства. 4

1. 1. История понятия «модуль» 5

1. 2. Основные равносильные преобразования 5

2. Методы решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 6

2.1. Уравнения с модулем 7

2.2. Неравенства с модулем 13

Кто с детских лет занимается математикой,

тот развивает внимание, тренирует свой мозг,

свою волю, воспитывает настойчивость

и упорство в достижении цели.

Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, — прекрасный способ с пользой провести свободное время, тренируя при этом свою логику и математическую интуицию. К сожалению, данный вид математических задач входит в школьную программу в очень «урезанном» формате – в 8 классе на изучение темы «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль» отводится по программе всего 3 урока. Для проекта я выбрал тему «Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля» потому, что посчитал ее очень интересной и актуальной для себя. При подготовке ко второй части ОГЭ по математике мне неоднократно встречались задания с модулями. Заданий в учебнике по данной теме немного, поэтому я планировал также дополнить дидактическую копилку учителя материалом результатами своего проекта и создать интерактивную игру для ребят своей роты, чтобы провести ее на неделе ОД «Математика, информатика и ИКТ».

Нами были определены

Объектная область исследования — учебный предмет «математика».

Объект исследования – решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Предмет исследования – математические задачи определенного типа.

— Повторение, обобщение и систематизация имеющихся знаний по теме «Модуль числа»;

— Расширение и углубление знаний по теме «Решение уравнений и неравенств», выработка навыка решения различных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

— Формирование устойчивого интереса к математике, умения и навыков исследовательской, проектной деятельности; развитие навыков самостоятельного поиска информации, формирование умения отбирать и структурировать материал.

Изучить литературу по теме проекта;

Систематизировать все собранные материалы;

Подготовить подборку задач по теме проекта и представить полученные результаты в виде интерактивной интеллектуально-познавательной игры;

Подготовить мультимедийную презентацию для представления результатов работы над проектом.

по виду деятельности – практико-ориентированный;

по организационной форме – индивидуальный;

по времени выполнения — долговременный.

Этапы работы над проектом

Разработанный нами проект включает два этапа:

1-й этап аналитический

2-й этап обобщения

Основные виды работы над проектом:

Изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии, задачники по математике, Интернет-ресурсы).

Анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, решение задач).

Модуль: определение, свойства.

Определение (алгебраическое). Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется число

Кроме того, иногда удобно так называемое геометрическое определение модуля:

Модулем числа называется расстояние от точки, соответствующей этому числу на числовой прямой, до начала координат.

Для любых действительных чисел a, b справедливы соотношения:

,

,

,

,

Абсолютная величина (модуль) ( , abs(x)). Термин происходит от латинского modulus (мера). Функция встречается впервые у Готфрида Лейбница в форме mol a, moles a (возможно, от лат. moles — сила). Знак , и название absolute Betrag для абсолютного значения придумал Карл Вейерштрасс в 1841 г., а с 1856 г. он употреблял эти термины и обозначения в лекциях, которые читал в Берлинском университете; в печати эти работы (вместе с обозначениями) появились в его «Werke» (Bd. I, 1894). Распространялось обозначение медленно; так, спустя четверть века Риман еще не употребляет знак модуля и говорит описательно: «независимо от знака…». В 1880 г. Липшиц использует обозначение . В курсе Дини (1892) обозначение употребляется с объяснением, как непривычное. Еще более разительный пример: Карл Нейман в работе 1914 года предпочитал обозначение , abs.(K), которое сейчас обычно используется в языках программирования. Огюстен Коши и Жан Роберт Арган в начале XIX века расширили понятие «модуль» на область комплексных чисел, а символика перенесена Хондриком Лоренцом в 1903 г. для обозначения длины вектора.

Рассмотрим основные равносильные преобразования, используемые для решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

4) Уравнения, представляющие собой алгебраическую сумму двух и более модулей, решаются методом разбиения на промежутки (методом интервалов). На практике это делается так:

находят значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в ноль;

разбивают область допустимых значений х на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняют знак;

раскрывают все модули на каждом из найденных промежутков и решают полученные уравнения.

Объединение найденных решений составляет множество решений заданного уравнения.

8) Неравенства, содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решаются методом разбиения на промежутки по той же схеме, что и аналогичные уравнения.

Методы решения уравнений и неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля

Материал проекта представлен в виде практических тестов, которые позволят систематизировать и качественно улучшить уровень решения задач, содержащих неизвестную под знаком модуля. В тестах содержится достаточно большое количество заданий и упражнений, взятых из различных источников, при этом предпочтение отдавалось комбинированным упражнениям, при решении которых используются сведения из различных разделов элементарной математики. Все задания направлены на развитие интереса к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Уравнения с модулем

Для решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, обычно применяется один из методов:

раскрытие модуля по определению;

возведение обеих частей уравнения в квадрат;

метод разбиения на промежутки.

Первый из способов обычно применяется, когда в уравнении встречается лишь одно выражение под знаком модуля; второй – когда обе части уравнения, возводимые в квадрат, неотрицательны; третий – когда в уравнении встречается несколько выражений, стоящих под знаком модуля.

Пример. 1а). Решите уравнение .

Решение: Первый способ: Воспользуемся определением модуля и получим совокупность двух систем:

Из первой системы совокупности находим , из второй – .

Второй способ: Так как обе части данного уравнения неотрицательны, то можно получить равносильное уравнение: . Используя формулу , получаем квадратное уравнение , корни которого и .

Ответ: .

Пример 1б). Сумма корней уравнения равна

А) 4 B) 5 C) –4 D) 3 E) 2

. Уравнение имеет два корня и . Уравнение корней не имеет. Следовательно, сумма корней исходного уравнения равна .

Пример 2. Сумма корней уравнения равна
А) 4 B) –5 C) –4 D) 3 E) 5

Решение. . Уравнение имеет два корня и . Уравнение корней не имеет. Следовательно, сумма корней исходного уравнения равна .

Пример 3а) Решите уравнение .

Решение. Воспользуемся для решения вторым способом. Ясно, что если , то уравнение корней не имеет, так как модуль не может быть равен отрицательному числу. В случае обе части уравнения неотрицательны и их можно возвести в квадрат, освободившись таким образом от знака модуля. При этом получается следующая система:

или

Последняя система корней не имеет, следовательно, и исходное уравнение тоже.

Пример 3б). Произведение корней уравнения равно

А) B) C) D) E) –6

Данное уравнение равносильно системе . Второе уравнение корней не имеет. Решая первое уравнение , находим , . Оба корня удовлетворяют неравенству , а значит, являются решениями исходного уравнения. Следовательно, произведение корней равно .

Пример 3в). Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения .

Решение. Данное уравнение равносильно системе . Решая ее, получим . не удовлетворяет условию , значит, не является корнем. Решением данного уравнения является 4.

При решении уравнений третьим способом находятся те значения переменной, в которых хотя бы одно из выражений, стоящих под знаком модуля, обращается в 0. Этими точками вся числовая прямая разбивается на промежутки (отсюда и название метода). Далее на каждом из полученных промежутков решается исходное уравнение, при этом каждый модуль раскрывается по определению. Для этого удобно заранее оценить знаки каждого из выражений, стоящих под модулем, и полученные результаты свести в таблицу. Полученные ответы проверяются на принадлежность промежутку, на котором велось решение. Множеством решений исходного уравнения является объединение корней, полученных на каждом из промежутков.

Пример 4а) Решите уравнение .

Решение: Применим метод разбиения на промежутки. при ; при . Таким образом, вся числовая прямая разбилась на промежутки , и (граничную точку принято брать в один из промежутков). Возможные случаи раскрытия модулей на промежутках запишем в виде таблицы.

(“+” – выражение на указанном промежутке положительно,
“—“ – отрицательно).

Рассмотрим каждый промежуток:

1) . , или . Получилось верное равенство, следовательно, корнями являются все точки промежутка, на котором велось решение.

2) . , или . Эта точка выбранному промежутку не принадлежит. Однако стоит заметить, что если так называемая “граничная точка” является решением уравнения, то это решение обязательно получится дважды: при рассмотрении левого и правого (от данной точки) промежутков.

3) . , или . Равенство неверное, следовательно, корней на данном промежутке нет.

Объединяя результаты пунктов 1, 2 и 3, получаем ответ.

Ответ: .

Пример 4б). Сумма корней уравнения равна
А) B) C) D) 4 E) –2

Решение. Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках и . Они разбивают числовую ось на три интервала. Решаем данное уравнение на каждом интервале:

Итак, сумма корней данного уравнения , и выбираем ответ С.

Тест «Уравнения с модулем»

Сумма корней уравнения равна

А) – 4 B) 4 C) –3 D) 3 E) 2

Сумма корней уравнения равна

А) 4 B) –5 C) –4 D) 5 E) 3

Сумма корней уравнения равна

А) 0 B) 15 C) 5 D) –5 E) –15

Найдите сумму решений уравнения

А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения

А) 1 B) –2 C) 3 D) –6 E) 8

Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения принадлежит промежутку

А) B) C) D) E)

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна

А) B) C) D) E) 1

Решения уравнения принадлежат промежутку

А) B) C) D) E)

Найдите произведение корней уравнения

А) –480 B) –32 C) –24 D) –20 E) 480

Найдите произведение корней уравнения

Найдите сумму корней уравнения

Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения

Найдите сумму корней уравнения

Найдите наименьший корень уравнения

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций и имеют одну общую точку

А) B) C) D) E)

Укажите все значения параметра , при которых графики функций и имеют только две общие точки

А) B) C) D) E)

При каком значении параметра а уравнение имеет три различных корня?

А) 4 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9

Ответы теста «Уравнения с модулем»

Комментарии к некоторым задачам.

15. Предложим аналитическое решение этой задачи. Преобразуем первую функцию . , Графики должны иметь только одну общую точку: или ; или .

1 6. Решим задачу графически. Рассмотрим график функции . Это парабола с вершиной в точке , следовательно, график функции имеет вид, изображенный на чертеже (при ). Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс. Из чертежа видно, что линии будут пересекаться в двух точках при выполнении условия . При точек пересечения нет.

Неравенства с модулем

Рассмотрим теперь неравенства, в которых переменная стоит под знаком модуля. Начнем с простейших неравенств. Решим неравенство , где . Из геометрического определения модуля следует, что решением данного неравенства является интервал или решение системы Расширим эти выводы на более сложное неравенство. Неравенство вида , где и – некоторые функции, равносильно системе:

Для тех , при которых , эта система, а значит, и данное неравенство решений не имеют.

Пример 1а). Решите неравенство .

Решение: Данное неравенство равносильно системе:

Неравенство выполняется при любом х. Неравенство выполняется при и . Таким образом, множество решений исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков: .

Ответ: .

Пример 1б). Число целых решений неравенства равно

А) 4 B) 5 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству . Двойное неравенство равносильно системе неравенств , которая имеет решения при . Следовательно, число целых решений равно 4.

Пример 1в). Наибольшее целое решение неравенства равно

А) 4 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству . Двойное неравенство равносильно системе неравенств . Следовательно, , и наибольшее целое решение равно 2.

Теперь рассмотрим решение неравенства , где .
Из геометрического определения модуля следует, что решением данного неравенства является объединение интервалов или решение совокупности Аналогично, неравенство вида , где и – некоторые функции, равносильно совокупности двух неравенств:

Пример 2а) Решите неравенство .

Решение: Данное неравенство можно переписать в виде: , и, следовательно, оно равносильно совокупности неравенств:

Поскольку при или , а при или , то множество решений совокупности, а следовательно, и исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков: .

Ответ: .

Пример 2б). Сумма всех целых решений неравенства равна

А) 14 B) 10 C) 8 D) 15 E) 9

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств Множество решений – пустое множество. Множество решений представляет интервал . Следовательно, сумма целых решений равна 9, и выбираем ответ Е.

Пример 3а). Решите неравенство .

Решение: данное неравенство равносильно или . Решением полученного квадратного неравенства являются интервалы: .

Ответ: .

Пример 3б). Число целых решений неравенства равно

А) 4 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству , решениями которого являются . Следовательно, число целых решений равно 1.

Неравенства, в которых под знаком модуля стоит несколько выражений, удобно решать аналогично методу разбиения на промежутки. Так же, как при решении подобных уравнений, находятся все точки смены знака каждого выражения, стоящего под знаком модуля, на каждом из полученных промежутков с учетом знаков указанных выражений модули раскрываются и решается полученное неравенство. Множество решений этого неравенства пересекается с рассматриваемым промежутком. Объединяя найденные множества, получаем множество всех решений исходного неравенства.

Пример 4а). Решите неравенство .

Решение: Так как при , а при , то вся числовая прямая разбилась на промежутки , и . Возможные случаи раскрытия модулей на промежутках запишем в виде

Тема урока: «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации учебного материала.

Форма урока: урок-практикум.

Класс: 11.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Тема: “Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля”

Цели:

1. Актуализировать знания: модуль числа и свойства модуля; совершенствовать умение при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применять методы: раскрытие модуля по определению; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки.
2. Развивать интеллектуально-логические умения и математические способности;
3. Воспитывать адаптивность к современным условиям обучения, воспитывать личность, интегрированную в современное общество.

I. Организационный момент.

II. Мотивация деятельности учащихся.

Сообщение целей и задач урока. Принятие учащимися целей урока.

III. Актуализация опорных знаний.

1. Определение модуля. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х называется само это число, если х > 0, и противоположное ему число –х, если х 0.

-|x| 3 – 15x 2 + x + 7.

По определению модуля

Уравнение |x – 7| = x 3 – 15x 2 + x + 7 равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:





Ответ: 0;

Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.

|x 5 -6x 2 +9x-6| = |x 5 -2x 3 +6x 2 -13x+6|.

|x 5 -6x 2 +9x-6| > 0 и |x 5 -2x 3 +6x 2 -13x+6| > 0.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:



Решив каждое из уравнений, получим:

х = 0; х = ± .

Ответ: 0; ± ; 1; 2; 3.

|2x + 1| + |5 — 3x| + 1 — 4x = 0.

1. По определению модуля



2. Hайдём критические точки:

2х + 1 = 0; 5 — 3х = 0.

3. Hули функции разбивают числовую ось на промежутки.



4. Решим уравнение на каждом из промежутков:

Уравнение, записанное без знака модуля на промежутках х , равносильно совокупности смешанных систем:



Ответ: ; 3.

Ученик может выбрать любой из трёх уровней примеров. Первый уровень оценивается оценкой “3”, второй “4”, третий “5”. Решение в тетрадях с последующим объяснением своего решения в группах. Наиболее сложные задания решаются у доски. Решения проверяются и записываются в тетрадях. Оставшиеся задания выполняются дома.

V. Самостоятельная работа.

Самостоятельная письменная работа по вариантам
на отдельных листах с последующей сдачей учителю вместе с диагностическими листами

Вариант 2

А|x 2 -3x|=2x-4 ( МГУ 2000)

x 2 +|x-1|-5=0. (МФТИ 1999)

Б|x 2 +2x-3|=|x+1|+2 (МФТИ)

|2x+8|-|x-5|=12 (МГУ 2000)

В4|x+1|-1=3|2x+5|-2|x+5| (МГУ 1997)

|6x 3 -2x 2 +4x-33|=10x-35 (МФТИ)

Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Алгоритм решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

VII. Домашнее задание.

Решить три уравнения различного уровня.

Индивидуальные задания.

2. | | 3х + 2| — 5х| = 14;

3. | 2 — | 3х — 1| | = х 2 + 1;

4. | 3х – 1| + | 2х — 4| = | х 2 — 1| + 4;

5. | х + 2| — | 3х — 4| + | 2х + 7| — = | х + 5|.




источники:

http://multiurok.ru/index.php/files/proektnaia-rabota-9-klass-reshenie-uravnenii-i-ner.html

http://urok.1sept.ru/articles/313822