Уравнения с переменными в обоих частях

Уравнение с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.

Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac<1><2>$ x-8y = 7

Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.

Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac<1> <3>y+3 \frac<1><3>$

Решение уравнений с двумя неизвестными

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

Решение сложных уравнений с двумя переменными в обеих частях.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

4 класс математика.

Подготовила и провела учитель начальных классов Юрченко Татьяна Леонидовна МБОУ СОШ № 7

Тема: Решение сложных уравнений с двумя переменными в обеих частях.

Урок открытия нового знания.

Цель: актуализировать знания алгоритма решения сложных уравнений, познакомиться с алгоритмом решения сложных уравнений нового вида.

Задачи: актуализировать знание порядка выполнения действий в выражениях, умение решать задачи при помощи уравнений; добиться усвоения алгоритма решения сложных уравнений;

УУД: Предметные : учить решать уравнения с переменной в обеих частях.

Познавательные: овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные: сроить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные: развитие навыков сотрудничества со сверстниками,

воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: презентация, конспект урока, компьютер, проектор.

Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.

Друзья мои! Я очень рада видеть

Приветливый ваш класс.

И для меня уже награда

Сиянье ваших умных глаз.

Пришла пора нам потрудиться,

Ведь без труда талант не впрок.

Давайте вместе дружно

Сегодня проведём урок!

Ребята, сегодня к нам на урок пришли гости. Давайте повернёмся к ним и поприветствуем кивком головы. Садитесь.

На доске эпиграф: «С малой удачи начинается успех»

— Какое ключевое слово в этом высказывании? (УСПЕХ)

— Что необходимо для успешной работы на уроке?

-Я желаю Вам успешно поработать на уроке. Пожмите друг другу руки и пожелайте успеха.

3.Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

Приступим к работе. Посмотрите на доску и подумайте, почему так сгруппированы записи?

b – 45:5 500 • х=1500:3

a • (56 • 40) 5х+15=80-8х

k : (1800:900) х+500 • 3=2000

(выражения с переменной) (уравнения)

— Какое задание можно дать к выражениям с переменной? (назвать порядок действий)

— Какое задание можно дать к уравнениям? (решить уравнения).

Что называется уравнением?

Что называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

— Какое задание можно дать к уравнениям? (решить уравнения).

— Выполняя следующее задание, попробуйте определить тему урока.

— Сравните данные уравнения. Что о них можете сказать? ( для решения первого уравнения нужно выполнить 2 действия, для третьего больше;

Первое и третье уравнения можем решить. 2 – не умеем решать.

— Самостоятельно решите то уравнение, которое умеете решать.( два ученика работают на доске.)

4.Постановка учебной задачи.

— Чем второе уравнение отличается от тех, которые уже решали? (неизвестное число в обеих частях)

— Кто уже может определить тему сегодняшнего урока? (Уравнения с неизвестным в обеих частях).

— Вы правильно определили тему урока.

(Учитель открывает тему на доске).

Уравнения с неизвестным в обеих частях

— Сегодня мы будем учиться решать уравнения с неизвестным в обеих частях.

5.Построение проекта выхода из затруднения и реализация.

— Запишите новое уравнение в тетрадь.

— Для упрощения нового уравнения вам потребуются старые знания.

— Обсудите в парах, какие знания вам потребуются. (1 свойство равенства).

— Первое свойство равенств: Если обе части верного равенства увеличить или уменьшить на одно и то же число, получится тоже верное равенство. — А как короче мы применяем это свойство?

— Переносим число в другую часть равенства с другим знаком.

— Какие есть предположения? (Дети выдвигают предположения, решают уравнение, затем делается общий вывод)

— Как проверить, правильно ли решено уравнение? (Посмотреть в учебнике, какой алгоритм решения такого вида сложных уравнений предлагают учёные-математики)

(Дети читают текст учебника, делают выводы)

Учитель на доске под комментирование учеников:

— Выполним проверку. Что надо помнить? (найденное число подставляем в первое уравнение).

— Подведём итог нашей работе.

— Продолжите фразу: «Теперь я знаю как…»

«Теперь я смогу попробовать самостоятельно …»

— А попробуете вы свои силы в решении новых уравнений после физминутки.

Физминутка «Дотянись до звезды»

— Встаньте поудобнее и закройте глаза. Сделайте 3 глубоких вдоха и выдоха.

— Представьте. что над вами ночное небо, усыпанное звёздами.

— Выберете звёздочку (это ваша мечта).

— Откройте глаза и протяните руки к небу, чтобы дотянуться до своей звезды.

— Снимите её с неба и бережно положите перед собой.

— Я уверена, что мечта у вас не единственная. Сорвите сами ещё несколько звёздочек. Дышите так:

Тянешься за звездой – глубокий вдох.

Выдох- кладёте звезду к первой.

6. Первичное закрепление.

Откройте с.30 № 294 (6 задание).

— Попробуйте самостоятельно решить. Когда закончите работу, проверьте её друг у друга.

— Постарайтесь рассказать, как вы решали уравнение.

— Молодцы, вы замечательно справились с работой, помогая друг другу.

V ). Решение задачи. (Задача – на карточке).

Скорость движения Земли на 6 км/ч больше скорости Марса. С какой скоростью движется каждая планета?

— Прочитайте задачу про себя.

— Что заметили? (не хватает данных)

— Добавьте в условие недостающие данные, чтобы задачу можно было решить.

— Прочитайте получившуюся задачу.

— Запишем её кратко.

— Что обозначает число 54?

— Перефразируйте вопрос задачи.

— Обсудите решение задачи в парах. (удобнее решить уравнением)

— Какое искомое удобно взять за х?

— Так как общая скорость двух планет равна 54км/ч, получаю уравнение:

х=24 (км/ч) – скорость Марса

24+6=30 (км/ч) – скорость Земли.

-Проверьте правильность решения задачи.

— Найдите другой способ проверки правильности решения задачи. (другой способ решения).

— Попробуйте решить эту задачу по действиям.

— Посмотрите, поможет ли вам такая схема краткой записи:

(54-6):2=24 (км/ч) – скорость Марса

24+6=30 (км/ч) – скорость Земли

— Подведите итог.( задача решена верно)

VI ) Новые знания.

— Вы сейчас решили задачу уравнением и по действиям.

У этих способов решения задачи в математике есть свои названия.

— Если для решения задачи используют уравнение –

Алгебра – часть науки математики.

— это когда задачу решают… (по действиям или сложным выражением).
— Арифметика – это тоже часть математики. Многое из того. Что мы изучали в предыдущих классах, тоже относится к арифметике.

VII ). Самостоятельная работа (разноуровневая)

VIII ) Рефлексия УД на уроке.

— Итак, над какой темой мы работали?

— Что можете сказать о сегодняшнем уроке? (Я узнал… Я научился…).

— Продолжите фразу: «Мне ещё сложно…»

— Где можем применить новые знания? (При решении задач)

— Не переживай, над этой темой мы ещё будем работать.

— Ребята, спасибо вам за работу! Я с удовольствием ставлю «5»-….

— Без помощи и поддержки друг друга мы не смогли бы добиться цели.

Домашнее задание (по выбору).

А) Решить задачу №7(в) с. 63 при помощи уравнения

Б) — Составить для партнёра в паре 2 два сложных уравнения

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 865 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 01.03.2016
• 402
• 0

• 01.03.2016
• 413
• 0

• 01.03.2016
• 1000
• 4

• 01.03.2016
• 5165
• 152

• 01.03.2016
• 7385
• 220

• 01.03.2016
• 2545
• 28

• 01.03.2016
• 2145
• 9

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.03.2016 1303
• DOCX 54 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Юрченко Татьяна Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 11 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 24713
• Всего материалов: 35

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.