Уравнения с переносом слагаемых примеры

Решение уравнений на применение правила переноса слагаемых.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Савоськинская средняя школа №5

Урок в 6 классе по теме

«Решение уравнений на применение

правила переноса слагаемых».

Подготовила и провела:

учитель математики СОШ №5

Тема урока : «Решение уравнений на применение правила переноса слагаемых».

Цель урока: создать условия для осознанного и уверенного владения навыком решения уравнений на применение правила переноса слагаемых.

— обучающие: сформировать умение решать уравнения, используя правила переноса чисел и переменных с коэффициентами, тренировать навыки устных и письменных вычислений;

-развивающие: развивать мыслительные операции, память, внимание, культуру математической речи, активность учащихся на уроке;

-воспитательные: воспитывать культуру умственного труда, культуру коллективной работы.

Тип урока: урок закрепления материала.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная.

Техническое оборудование: ПК, проектор, экран.

(Проверить готовность класса к уроку, отметить отсутствующих).

2. Актуализация знаний.

1) Игра «Светофор».

Какое равенство называют уравнением?

— Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Что значит решить уравнение?

— Чтобы решить уравнение надо найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.

Что называется корнем уравнения?

— Корнем уравнения — называется то значение неизвестного, при котором, это уравнение обращается в верное равенство.

Каким правилом пользовались?

— Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

С каким правилом ещё мы познакомились на прошлом уроке?

— Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Сегодня на уроке мы будем применять эти правила при решении уравнений.

Записываем в тетрадь тему урока: «Решение уравнений на применение правила переноса слагаемых».

Выполнение упражнений. №1

а) 6х-12=5х+4 б) -9а+8= -10а-2

6х-5х=4+12 -9а+10а= -2-8

Ответ: х =16 Ответ: а = -10

в)7m+1 = 8m+9 г) -12 n – 3 = 11 n — 3

7m-8m = 9-1 -12 n -11 n = -3+3

Ответ: m = -8 Ответ: n = 0

№ 2. Вставьте пропущенные знаки.

№ 3. Работа в парах.

Раздать конверты с заданием. (Составить решение уранения. Решённое уравнение разрезано построчно.)

2(4х-2) – (4-х)=19 3(2х+6) – 2(5-х)=24

Ответ: х=3. Ответ: х=2.

№ 4. Проверить, верно ли решил задание Незнайка. (условие, решение на слайде). Оформить решение в тетрадях.

№ 5. Решить уравнение.

4. Подведение итогов урока.

-Какое равенство называют уравнением?

-Что значит решить уравнение?

-Объясните, что такое корень уравнения.

-Как проверить, верно ли решено уравнение?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 570 384 материала в базе

Другие материалы

• 04.04.2016
• 473
• 0

• 04.04.2016
• 752
• 2

• 04.04.2016
• 734
• 0

• 04.04.2016
• 1024
• 0

• 04.04.2016
• 5752
• 9

• 04.04.2016
• 34957
• 546

• 04.04.2016
• 21974
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 04.04.2016 10901
• DOCX 811.4 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Никоненко Любовь Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 48287
• Всего материалов: 33

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого.

При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

Примеры переноса слагаемого:

Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую:

Далее переносим (−6) из правой части в левую:

Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:

Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2 ) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅2) и (7x). Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства:

Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.

Основные приемы решения уравнений.

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Переход от уравнения

f(x) = g(x) + m(x) (1)
к уравнению

f(x) — m(x) = g(x) (2)
называют переносом слагаемых из одной части уравнения в другую.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую — это преобразование уравнения всегда приводит к равносильному уравнению, т. е., каковы бы ни были функции f(х), m(х), g(x), мы имеем (1)(2).

В самом деле, пусть a — корень уравнения (1), т. е. соотношение

f(a) + m(a) = g(a) = g(a) + m(a) (3)
представляет собой верное числовое равенство. Это означает, что ринадлежит области определения каждой из функций fa), m(a), g(a), и
2) эти числа связаны соотношением (3).

Прибавляя к обеим частям равенства (3) число -m(a), получаем
f(a) — m(a)+ m(a) = g(a) — m(a),
или
f(a) = g(a) — m(a) — m(a) = g(a) (4)
(поскольку для любого числа b = m(a) верно b — b = 0). Таким образом, (4) есть верное числовое равенство. Но это означает, что a есть корень уравнения (2). Итак, каждый корень уравнения (1) является также корнем уравнения (2), т. е. (1)(2). Аналогично доказывается, что (2)(1). Итак, мы доказали, что при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение.

В частности, мы можем, если нужно, перенести все слагаемые в одну часть уравнения. Иначе говоря,

f(x) = g(x) f(x) — g(x) = 0

что является частным случаем эквивалентности (1)(2). Мы видим, что любое уравнение с одним неизвестным можно заменить эквивалентным уравнением вида h(х) = 0, т. е. уравнением, в левой части которого стоит некоторая функция, а правая часть равна нулю. Указанное преобразование (перенос членов из одной части уравнения в другую) применяется при решении уравнений чрезвычайно часто. Например, при решении иррациональных уравнений применяется «уединение радикала», т. е. перенос всех членов, кроме одного, имеющего радикал (корень n-ой степени), в другую часть уравнения.

Подчеркнем, что в этом пункте шла речь только о перенесении членов из одной части уравнения в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются).

Приведение подобных членов является новым преобразованием (которое может вызвать появление посторонних корней).

2. Приведение подобных членов.

Переход от уравнения

f(x) + m(x) — m(x) = g(x) (5)
к уравнению

f(x) = g(x) (6),
называют приведением подобных слагаемых.

Прежде чем рассматривать переход от уравнения (5) к уравнению (6), сделаем следующее замечание. Согласно сказанному в предыдущем пункте уравнеПрежде чем рассматривать переход от уравнения (5) к уравнению (6), сделаем следующее замечание. Согласно сказанному в предыдущем пункте уравнение (5) равносильно уравнению

f(x) + m(x) = g(x) + m(x) (7).

Поэтому переход от уравнения (1) к уравнению (2) означает то же самое, что и переход от уравнения ( 7 ) к уравнению (2), т. е. во всех рассуждениях уравнение (1) можно заменять равносильным ему уравнением (7). Таким образом, сказанное в этом пункте будет относиться не только к приведению подобных членов в одной части уравнения, но и к вычеркиванию (взаимному уничтожению) одинаковых слагаемых в левой и правой частях. Прежде чем сформулировать общее утверждение, относящееся к переходу от уравнения (1) к уравнению (2) или, что то же самое, от уравнения (7) к уравнению (2), рассмотрим следующие примеры.

Пример 1.. слагаемого — х и — 2 получается равносильное уравнение х 4 = х 2 .

Пример 2.
x 2 + lgx = x + lgx х 2 = х. Уравнение x 2 = х имеет корня х₁ = 1, х₂ = 0, тогда как уравнение x 2 + lgx = x + lgx имеет единственный корень х = 1 (число х = 0 не является корнем уравнения x 2 + lgx = x + lgx, так при х = 0 левая и правая части этого уравнения не определены). Таким образом, уравнение х 2 = х не равносильно уравнению х 2 + lgx = x + lgx, а лишь является следствием этого уравнения. Появление постороннего корня х = 0 при переходе от уравнения x 2 + lgx = x + lgx к уравнению х 2 = х связано с тем, что при этом переходе расширяются множества на которых были определены функции, стоящие в левой и правой частях первого уравнения: в уравнении x 2 + lgx = x + lgx левая и правая части определены при х > 0, а в уравнении х 2 = х,при всех х. Очевидно, обратный переход, т. е. переход от уравнения х 2 = х к уравнению х 2 + lg х = х + lgx вообще недопустим, так как этот переход ведет к потере корня х = 0.

Обозначим через М множество, на котором определены функции f(х) и g(x), стоящие в левой и правой частях уравнения f(x) = g(x) (т.е. пересечение областей определения функций f (х) и g(x). Тогда, если множество М содержится в области определения функции m(х), то уравнение f(x) + m(x) — m(x) = g(x) равносильно уравнению f(x) =g(x). При этих условиях f(x) + m(x) = g(x) + m(x)f(x) = g(x).

3. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

Переход от уравнения

f(x) = g(x) (8)
к уравнению

f(x)p(x) = g(x)p(x). (9)
называют умножением обеих частей уравнения на одно и тоже выражение.

По поводу этого перехода можно высказать следующие утверждения:

1) Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x) (иначе говоря, Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x)), то уравнение (9) является следствием уравнения (8) или (8)(9)

2) Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x) и в каждой точке указанного множества функция p(x) отлична от нуля, то уравнения (8) и (9) равносильны, т. е. (8)(9).

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (9) к уравнению (8) может привести как к появлению посторонних корней, так и к потере корней.

Рассмотрим уравнение x 2 — x = 0. Умножив обе части этого уравнения на, мы получим уравнение= 0, которое не является следствием исходного. В самом деле, исходное уравнение имеет корни х₁ = 0, х₂ = 1, а уравнение= 0 — лишь корень х = 1. Потеря корня связана с тем, что функция — не определена при. х = 0, а как раз это значение х является корнем заданного уравнения.

Такой переход применяется довольно часто при решении уравнений. Естественно, возникает вопрос: можно ли утверждать, что уравнение (*) равносильно дизъюнкции уравнений (**)

Иными словами, можно ли получить «множество всех корней уравнения (*), решив все уравнения (**) и объединив их корни? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Эта теорема лежит в основе часто применяемого метода разложения уравнения на множители.

Пример 4. x 6 + 3x 5 — x 4 — 3x 3 = 0,

x 3 (x 3 + 3x 2 — x — 3) =0,

x 3 ((x 3 + 3x 2 ) — (x + 3)) =0,

x 3 (x 2 (x + 3) — (x + 3)) =0,

x 3 (x + 3)(x 2 — 1) =0,

x 3 (x + 3)(x — 1)(x + 1) =0.

Уравнение x 6 +3x 5 — x 4 — 3x 3 = 0 равносильно дизъюнкции уравнений x 3 = 0, x + 3 =0, x + 1 = 0, x — 1 = 0 и имеет следующие корни:

Следующий пример показывает, что в общем случае уравнение (*) не равносильно дизъюнкции уравнений (**).

Пример 5. Пусть f₁(х) = х 2 — 1, f₂(х) =. Тогда уравнение f₂(х) = 0 не имеет корней, уравнение f₁(х) = 0 имеет два корня х₁ = 1, х₂ = — 1, а уравнение f₁(х) f₂(х) = 0 имеет только один корень х₁ = -1, так как при х = 1 левая часть этого уравнения не определена.

Теорема 2. Каждый корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·. ·f_n(x) = 0 является корнем одного из уравнений f₁(x) = 0, f₂(x) = 0. f_n(x) = 0.

Иначе говоря, дизъюнкция уравнений (**) есть следствие уравнения (*). Из этой теоремы вытекает, что если мы найдем все корни уравнений (**), то среди этих корней будут содержаться все корни уравнения (*) и, быть может, некоторые числа, не являющиеся корнями уравнения (*). Посторонними для уравнения (*) будут те значения х, полученные при решении уравнений (**), для которых хотя бы одна из функций f₁(х), f₂(x), . f_n(x) не определена.

3 а м е ч а н и е. Выше было отмечено, что переход от уравнения
f(x)p(x) = g(x)p(x) к уравнению f(x) = g(x) в общем случае недопустим.

При решении уравнения обычно поступают так. Вместо уравнения
f(x)p(x) = g(x)p(x) рассматривают уравнение (f(x)-g(x))p(x)=0, которое эквивалентно исходному уравнению, т. е. уравнению f(x)p(x) = g(x)p(x).

В свою очередь дизъюнкция уравнений f(x) — g(x) = 0, p(x) = 0 является следствием уравнения (f(x) — g(x))p(x) = 0. Таким образом, если мы решим уравнения f(x) — g(x) = 0, p(x) = 0, а звтем объединим их корни, и проверкой (подстановкой в уравнение (f(x)p(x) = g(x)p(x) отсеем лишние корни, то тем самым мы найдем все корни искомого уравнения.

Пример 6. sinx·ctg2x·arcsin(x — 1)·lg(x — 1) = 0.

Решая каждое уравнение в отдельности, имеем следующее:

sinx = 0, корни этого уравнения x =k, где kZ;

ctg2x = 0, корни этого уравнения: x =+pn, где nZ;

arcsin(x — 1) = 0, корни этого уравнения: x = 1;

lg(x — 1) = 0, корни этого уравнения: x = 2

Те из этих корней, которые принадлежат области определения левой части исходного уравнения, являются корнями исходного урапвнения.

Запишем области определения функций:

M₁ = D(sinx) = (-; +),

M₂ = D(ctg2x) = (-; +), x+m, mZ,

M₄ = D(lg(x — 1)) = (1; +).

Область определения M левой части исходного уравнения является пересечение множеств M₁, M₂, M₃, M₄.
M = (1; )(; 2]. Из всех найденных корней множеству М, т. е. области определения левой части исходного уравнения, принадлежит корень 2. Корнем исходного уравнения является число 2.

5. Переход от уравнения f(x)= g(x) к уравнению [f(х)] n = [g(х)] n . Такой переход нередко используется при решении уравнений, особенно при решении иррациональных уравнений.

Пусть функции f(х) и g(x) определены на множестве М (т. е. множество М содержится в области определения каждой из функций f(x), g(x)) и n — произвольное натуральное число. Будем предполагать, что М — некоторое множество действительных чисел и что на этом множестве функции f (х) и g(x) принимают действительные значения. Мы можем утверждать следующее:

В общем случае переход от уравнения [f(x>] n = [g(x)] n к уравнению f(x) = g(x) не допустим, так как такой переход может привести к потере корней.

Пример 7. Решите уравнение= x + 1.

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

2x 2 + 5x — 3 = x 2 + 2x + 1, являющееся следствием уравнения. Полученное уравнение равносильно уравнению х 2 + 3х — 4 = 0, корнями которого являются числа х₁ = -4, х₂ = 1. Проверка показывает, что корень x₁ = — 4 является посторонним для уравнения исходного иррационального уравнения, а корень х₂= 1 удовлетворяет уравнению обоим уравнениям. Таким образом, уравнение исходное заданное уравнение имеет единственный корень х = 1.

Более общим, чем рассмотренный в пятом примере, является переход от уравнения f(x) = g(x) к уравнению m(f(x)) = m(g(x)), где m(t) — некоторая заданная функция. Заметим сразу, что в общем случае такой переход недопустим. В самом деле, пусть Е₁ и Е₂,—множества значений соответственно функций f(x) и g(x) и Е — общая часть (т. е. пересечение) множеств E₁ и Е₂. Если функция m(t) не определена на множестве Е, то уравнение m(f(x)) = m(g(x))не имеет решений, в то время как исходное уравнение могло иметь решения. Если же множество Е содержится в области определения функции m(t), то, как легко доказать, f(x) = g(x)m(f(x)) = m(g(x)). Если же, кроме того, функция m(t) монотонна, то f(x) = g(x) m(f(x) = m(g(x)).

Пример 8. Уравнение — x 4 = — x 2 имеет корни х₁ = 0, x₂ = 1, х₃ = — 1, а уравнение
lg(-х 2 ) = lg(-х 4 ) не имеет решений. Произошло это потому, что обе функции
f; 0], а на этом множестве функция lgx не определена.

6. Метод замены неизвестного. Метод замены неизвестного применяется при решении уравнений вида f(g(x)) = 0.

Он основывается на следующей теореме.

Теорема 3. Рассмотрим уравнение f(t) = 0, где t — вспомогательное неизвестное, и пусть t₁, t₂,₃. t_k — все корни уравнения. Тогда для решения уравнения f(g(x)) = 0 достаточно найти все корни каждого из уравнений g(x) = t_m (m = l, 2, . k) и объединить множества корней этих уравнений.

Иначе говоря, f(g(x)) = 0g(x) = t₁, g(x) = t₂, . g(x) = t_k.

Эта теорема позволяет свести решение уравнения вида f(g(x))= 0 к решению нескольких более простых уравнений f(t) = 0, g(x) = t_k, где k = 1, 2. m.

Обычно эта теорема применяется следующим образом.

Дано некоторое уравнение f(x) = 0. Задача заключается в том, чтобы умело подобрать функцию g(x), позволяющую ввести новое неизвестное t = g(x), и затем выразить функцию f(х) через t, т. е. представить ее в виде f(x) = h(g(x)). В результате данное уравнение запишется в виде h(g(x))= 0, и для его решения можно будет применить доказанную теорему. Такой прием решения уравнений и называется методом замены неизвестного (поскольку вначале решается уравнение f(t) = 0, в котором неизвестное х заменено новым, вспомогательным неизвестным t.

Пример 9. Решить уравнение х 2 += х —+ 4.

Введем новое неизвестное t = х —.

Тогда заданное уравнение примет вид t 2 — t = 0.

Уравнение t 2 — t = 0 имеет корни t₁ = 0, t₂ = 1. Следовательно, х 2 += х —+ 4х —= 0, х —= 1.

Решив теперь уравнения

х —= 0, x₁ =, x₂ = —.

х —= 1, x₃ = — 1, x₄ = 2.

Исходное уравнение имеет четыре корня: — 1, —,, 2.