Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №44. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) показательные уравнения и неравенства;
2) логарифмические уравнения и неравенства;
3) системы уравнений.
Глоссарий по теме
Показательными называются уравнения и неравенства, у которых переменная содержится в показатели степени.
Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы уже умеете решать все виды уравнений и неравенств. Наша задача обобщить изученное, привести знания в систему. Начнем с показательных уравнений.
a х =b. где a>0, a≠1
Если b>0, уравнение имеет один корень: x=loga b. График функции y=a x пересекает прямую y=b в одной точке.
Если b≤0 корней нет. График функции y=a x не пересекает прямую y=b.
При решении неравенств, обращаем внимание на основание. Если а>0, знак неравенства сохраняется. Если а 0, a≠1.
Логарифмическое уравнение logax=b имеет один положительный корень x=a b при любом значении b.
График функции пересекает прямую y=b в одной точке.
Уравнение имеет один положительный корень x=a b при любом b. График функции у= logax пересекает прямую y=b в одной точке.
При решении логарифмических неравенств обращаем внимание на область допустимых значений. Затем с учетом ОДЗ и значения решаем неравенство.
Теперь рассмотрим методы решения. Основных приема два: приведение к одинаковому знаменателю и замена переменной.
1 прием. Как в показательном, так и в логарифмическом уравняем основания. Затем сравним показатели или числа, стоящие под знаком логарифма.
2 прием. Замена переменных.
Находим корни и делаем обратную замену. При решении неравенств применяем те же самые приемы.
При решении логарифмических уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо по области определения, либо непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Решить уравнение:
При х= -2 выражение lg(x-1) не имеет смысла, т.е. х=-2 посторонний корень. Ответ: х=2.
Пример 2. Найти значение выражения (х+у). x
Найдем область определения: х>0, у>0.
- lg(xy)=lg100 ↔ xy=100 ↔ 2xy=200
- сложим два уравнения: х 2 +2ху+у 2 =425+200=625 ↔ (х+у) 2 =625
Показательные и логарифмические уравнения с параметром
Показательные уравнения c параметром
Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.
Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^<-x>)=5\) имеет единственное решение.
Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^ <-x>> 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac<1>
Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$ $$a+1=±\frac<5><2>$$ \(a=-3.5 -\) не подходит;
\(a=1.5;\)
Логарифмические уравнения с параметром
Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.
Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).
Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:
При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0 0\).
При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac<1><2>-\frac<\sqrt<1+4a>><2>$$ не подходит, так как \( x>0.\)
Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.
При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:
Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)
Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 0, \\D≥0, \\D>0, \\
Репетитор по математике
Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».
Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]
Стоимость занятий
Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.
Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021
Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.
Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.
Группа Вконтакте
В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.
Преимущества
Педагогический стаж
Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.
Собственная методика
За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.
Гарантированный результат
За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.
Индивидуальная работа
Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.
http://sigma-center.ru/logarithm_equation_parametr
http://mathlesson.ru/node/8028