Уравнения с правой частью специального вида это

Уравнения с правой частью специального вида

Общее решение y_ОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения y_ОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого — либо частного решения y_ЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.

Функцию , где P_j(x) — некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если y_j , j=1,2. m — решения уравнений L(y) = b_j(x), то есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e λx . В частности, если λ=α+βi — комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

(1)

у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение

,

где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).

Уравнения с правой частью специального вида это

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель x k .

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:

Если число α + ib не является корнем характеристического уравнения, то

где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.

Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель x k .

ПРИМЕР 15.2. Найти общее решение уравнения
y′′ − 2y′ + y = 8e3x .
РЕШЕНИЕ. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y′′ − 2y′ + y = 0.
Так как его характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет корни
λ1,2 =1, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид
y C ex C xex = 1 + 2 .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая
часть является произведением числа и показательной функции e3x :

f (x) = 8e3x ⇒ α = 3, β = 0, s = 0.
При этом число α ±βi = 3 не является корнем характеристического урав-
нения. Поэтому частное решение y

неоднородного уравнения надо искать
в виде

y = Ae3x ,
где A – неизвестный коэффициент.
Имеем:

y′′ = 9Ae3x .
Подставим

y′′ в неоднородное уравнение и получим
9Ae3x − 2⋅3Ae3x + Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4A = 8 или A = 2.
Таким образом,

y = 2e3x – частное решение неоднородного уравне-
ния, а его общее решение имеет вид
( 1 2 )
y = C ex + C xex + 2e3x .

Дипломный проект – это исследование на научную тему

§10. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Для того, чтобы найти общее решение однородного уравнения с постояными коэффициентами

необходимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Причём, а) если корни простые ( n различных корней), то линейная крмбинация (с произвольными коэффициентами) функции вида является общим решением; б) если корень l _i имеет кратность ki , то общее решение является линейной комбинацией функций , , , …, , i = 1 ¸ m .

Для линейных неоднородных уравнений с правой частью специального вида , где P_m ( x ) – многочлен степени m , частное решение неоднородного уравнения у_чн ищется в виде у_чн = x s Qme g x , где S = 0, если g — не корень уравнения L ( l ) = 0 (отсутствие резонанса) и S = k , где k – кратность корня g уравнения L ( l ) = 0 (явление резонанса). Многочлен Q_m имеет ту же степень, что и многочлен P_m . Коэффициенты многочлена Q_m находятся при подстановке у_чн в уравнение; при этом полезна формула

(*)

Если правая часть неспециального вида, то решение у_чн находится методом вариации свободных постоянных. В этом случае у_чн ищется в виде у_чн = С₁(х)у₁+…+С _n (х)у _n , где < y_i ( x )> – фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения

[an error occurred while processing this directive]

Найти общее решение уравнения 2 y ¢¢ — 5 y ¢ + 2 y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение 2 l 2 — 5 l + 2 = 0 имеет корни l ₁ = 2, l ₁ = ½.

Общее решение имеет вид

Найти общее решение уравнения y ¢¢ + 4 y = 0.

Решение. Решим характеристическое уравнение l 2 + 4 = 0, l _1,2 = ± 2 i . Общее комплексное решение имеет вид Чтобы у_оо было вещественно, нужно, чтобы коэффициенты были сопряжёнными: С₁ = С₂ * . Тогда y_oo(x) = aCos2x + bSin2x.

Случай отсутствия резонанса.

Решение. Найдём общее решение однородного уравнения у_оо(х). Характеристическое уравнение имеет корни l ₁ = i , l ₂ = — i . Следовательно,

Вещественная часть имеет вид y_oo ( x ) = aCosx + bSinx . Найдём частное решение неоднородного уравнения у_чн(х). Така как первая часть имеет специальный вид, то будем искать у_чн в виде

где S = 0 (так как g = 1 и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения), многочлен Q ₁ равен Q ₁ = a х + b , где a , b Î R . Следовательно, у_чн = ( a х + b )е х . Для нахождения коэффициентов a и b подставим у_чн в уравнение. При этом уравнение легче записать в операторной форме:

При подстановке была использована формула (*). Следовательно,

Окончательно получим у_чн = (2х – 2)е х .

[an error occurred while processing this directive]

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

Вещественная часть у_он имеет вид

У_он(х) = aCosx + bSinx + 2( x – 1) e x .

Решение. Характеристическое уравнение l 3 + l = 0 имеет корни l ₁ = 0, l ₂ = i , l ₃ = — i . Общее решение у_оо(х) имеет вид

Найдём у_чн(х). Для этого представим правую часть уравнения в специальном виде Так как специальная правая часть есть сумма двух функций, то у_чн(х) будет суммой двух у_чн1 и у_чн2 частных решений уравнений

Найдём каждое из них. В первом уравнении g = i и совпадает с корнем l ₂ = i , который имеет кратность1, следовательно y _чн1 = xAe ix , аналогично y _чн2 = xBe — ix , где А и В – константы (в общем случае комплексные). Подставив y _чн1 в первое уравнение, а y _чн2 – во второе с учётом формулы (*), получим

Из последних соотношений найдём коэффициенты:

Аналогично

[an error occurred while processing this directive]

Следовательно, частное решение имеет вид

Вывод. В колебательных процессах при совпадении частоты вынуждающей силы и собственных колебаний системы насьупает резонанс, т.е. амплитуда колебаний увеличивается в x S раз.

Метод вариации произвольных постоянных. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение не имеет специальной правой части. Поэтому его частное решение найдём методом вариации произвольных постоянных. Общее решение однородного уравнения имеет вид у_оо = С₁ e ix + C ₂ e — ix . Вещественное общее решение имеет вид у_оо = С₁ Cosx + C ₂ Sinx , где С₁ и С₂ – вещественные константы. Для данного случая метод вариации заключается в следующем. Решение у_чн(х) ищется в виде

где С₁ и С₂ являются функциями х (свободные постоянные С₁ и С₂ ыарьируются). Согласно методу получим систему уравнений для функций С₁(х) и С₂(х):

— С₁ ¢ (х) Sinx + С₂ ¢ (х) Cosx = 2/ Cos 3 x .

Определитель системы равен Cosx Sinx = Cos 2 x + Sin 2 x = 1.

С₁ ¢ (х) = 0 Sinx , С₁ ¢ (х) = — 2 Sinx / Cos 3 x ,

С₂ ¢ (х) = Cosx 0 , С₂ ¢ (х) = 2/ Cos 2 x .

Из последних соотношений найдём С₁(х) и С₂(х):

В методе вариации получающиеся константы С₁ и С₂ после интегрирования можно брать произвольными (достаточно найти одно частное решение, чтобы построить у_чн). Пусть С₁ = 0 и С₂ = 0, тогда

Как математик Михаил Васильевич Остроградский пользовался огромной славой. О его учебнике геометрии для военных школ Н. Г. Чернышевский писал, что, не читая книгу, можно сказать о ее больших достоинствах, так как автором этой книги является знаменитый Остроградский Еще в детстве Миша Остроградский увлекался разного рода измерениями. Он измерял комнаты, мебель и даже свои игрушки