Уравнения с производной 11 класс

Примеры решения производных с ответами

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 0, c \neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»219″ style=»vertical-align: -5px;» />
11. 0, c \neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»180″ style=»vertical-align: -5px;» />
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

– производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

.
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
.
Учитывая, что и , после упрощения получим:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
.

Ответ

.

Применение производной к решению уравнений (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Отдел образования Мозырского районного исполнительного комитета
ГУО «Средняя школа №15 г.Мозыря имени генерала Бородунова Е.С.»

по алгебре для 11 класса по теме
« Применение производной к решению уравнений »

Степанеев Николай Владимирович,

учитель математики и информатики,

ГУО «Средняя школа №15 г.Мозыря имени генерала Бородунова Е.С.»

Образовательная: Сформировать навыки решения уравнений f(x)=0, исследуя функцию f(x) с помощью производной и научить применять полученные знания при решении задач практической направленности.

Воспитательная: Воспитывать интерес к математике, дисциплинированность, самостоятельность, творческую активность.

Развивающая: Способствовать развитию математического мышления, письменной речи, создать условия для стимулирования познавательной активности.

1) Организационный момент

2) Актуализация знаний

3) Объяснение нового материала

4) Закрепление изученного материала

5) Домашнее задание

1. Обратить внимание на готовность класса к проведению урока. Поздороваться и представиться классу. Отметить отсутствующих.

1. Соблюдать порядок, сесть за парты.

2. Вспоминаем ранее пройденный материал, решаем самостоятельную работу (Приложение 1)

2. Решают задания, предложенные учителем, на месте.

3. В предыдущих пунктах уже приводились примеры использования производной для исследования функции. Покажем, как ещё можно применять производную.

Производную можно использовать для решения уравнений.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что уравнение корней не имеет. Одним из методов решения уравнений является определение корня, т.н. «подбором». Этот метод используется в случаях, когда вычислением находится один или несколько корней уравнения, но решить уравнение с помощью тождественных преобразований не представляется возможным или приводит к громоздким преобразованиям. Если удается доказать, что уравнение не имеет других корней, кроме найденных, то задача решена. Если же доказать это не удается, то задача остается нерешенной и следует поискать иной подход к поиску корней.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1. Решить уравнение

Можно определить, анализируя «удобные» для вычисления корня значения переменой, что корень данного уравнения . Докажем, что этот корень единственный, используя свойства монотонности функции.

1. Запишем данное уравнение в виде:

2. Пусть

3.

4. на всей области определения.

5. Так как функция возрастает на , то уравнение имеет не более одного корня. Следовательно, подобранный корень ­ единственный корень данного уравнения.

Ответ:

Сформулируем алгоритм решения задач такого типа.

Алгоритм (I) решения уравнений с помощью производной:

1. Определить, анализируя «удобные» для вычислений значения переменной, корень уравнения.

2. Привести уравнение к виду ;

3. Найти область определения функции

4. Исследовать функцию на монотонность на или промежутках, принадлежащих ;

5. Если функция возрастает (убывает) на рассматриваемом промежутке, то сделать вывод о единственности найденного корня уравнения на этом промежутке.

Также, существует ряд уравнений, в которых необходимо доказать (или опровергнуть) единственность корня самого уравнения.

Алгоритм (II) для определения числа корней уравнения:

1. Привести уравнение к виду ;

2. Найти область определения функции ;

3. Исследовать функцию на монотонность на или промежутках, принадлежащих

4. Если возможно, проверить знаки значений функции на концах отрезка из D(f);

5. Сделать вывод:

· если внутри интервала , то существует не более одного значения такого, что ;

· если на самом интервале и , то существует единственное значение такое, что .

Пример №2. Доказать, что уравнение

имеет единственный корень.

Применим для доказательства алгоритм II

1. Данное уравнение приведем к виду:

2.

3. возрастает для ,удовлетворяющих неравенству (1).

4. Поскольку производная обращается в ноль в единственной точке , из (1), то для имеем возрастает.

5.

.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень. Можно заметить, что этот корень равен .

Ответ: .

3. Слушают, необходимое конспектируют в тетрадь.

4. Закрепляем материал, решая у доски.

Задание №1. Решить уравнение

1. Определяем, что корень уравнения

2. Данное уравнение приведём к виду:

3. ;

4.

на всей области определения.

5. Так как функция возрастает на , то найденный корень исходного уравнения
–

Ответ: .

Задание №2. Решить уравнение

и доказать единственность корня.

1. – корень данного уравнения;

2.

3.

4. При имеем

5. Так как функция возрастает на полуинтервале то уравнение не имеет других корней, кроме .

Ответ:

Задание №3. Решить уравнение

1. Определяем, что корнем данного уравнение является .

2. ;

3. ;

4. Функция является четной, поэтому так же является корнем. Заметим, что не является корнем данного уравнения. Покажем, что функция является монотонной на интервале .

если , то на интервале .

5. Так как функция возрастает на интервале , то уравнение , в силу четности функции , других корней отличных от не имеет.

Ответ:

4. Выполняют задание предложенное учителем.

5. Домашняя работа. Стр. 50-64, п.1.8-1.10

1) x 5 + x 3 – = 0; 2) sinx = x ;

3) .

5. Записывают домашнее задание.

6. Провести опрос по новой теме.

1. Чего нового вы узнали на этом уроке?

2. С какими для себя трудностями вы столкнулись?

6. Отвечают, что нового они узнали на уроке.

Производная

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+<1>/$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

2. Производная произведения

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

3. Производная частного

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

Следовательно, можем составить общее равенство:

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.