Уравнения с производными второй степени

Производные высших порядков

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке $x$ своей области определения, то ее производная $f^<\prime>(x)$ есть функция от $x$. Функция $y=f^<\prime>(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй производной) и обозначают символом $f^<\prime \prime>(x)$. Таким образом

Задание. Найти вторую производную функции $y(x)=x \ln (2 x+3)$

Решение. Для начала найдем первую производную:

$=1 \cdot \ln (2 x+3)+x \cdot \frac<1> <2 x+3>\cdot(2 x+3)^<\prime>=\ln (2 x+3)+$

$=\ln (2 x+3)+\frac <2 x+3>\cdot 2 \cdot 1=\ln (2 x+3)+\frac<2 x><2 x+3>$

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная $n$-го порядка функции $f(x)$ есть первая производная от производной $(n-1)$-го порядка этой функции:

Число $n$, указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Механический смысл второй производной

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения $s=f(t)$, то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

Задание. Материальная точка движется по закону $s(t)=2 t^<3>+3 t$, где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах. Найти значение $t$, при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

$=6 \cdot\left(t^<2>\right)^<\prime>+0=6 \cdot 2 t=12 t$

Искомое время $t$ найдем из уравнения:

$a(t)=12 \Rightarrow 12 t=12 \Rightarrow t=1 \mathrm$

Ответ. $t=1 c$

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

где $C_^=\frac$, $n !=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ — факториал натурального числа $n$.

Задание. Найти $y^<(4)>(x)$, если $y(x)=e^ <4 x>\sin 3 x$

Решение. Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций $u(x)=e^<4 x>$, $v(x)=\sin 3 x$, то для нахождения производной четвертого порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

2) Найдем производные от функции $u(x)$:

3) Найдем производные от функции $v(x)$:

$v(x)=\sin 3 x, v^<\prime>(x)=(\sin 3 x)^<\prime>=\cos 3 x \cdot(3 x)^<\prime>=3 \cos 3 x$

$=3 \cdot(-\sin 3 x) \cdot(3 x)^<\prime>=-9 \sin 3 x$

$y^<(4)>(x)=256 e^ <4 x>\cdot \sin 3 x+4 \cdot 64 e^ <4 x>\cdot 3 \cos 3 x+$

$+6 \cdot 16 e^ <4 x>\cdot(-9 \sin 3 x)+4 \cdot 4 e^ <4 x>\cdot(-27 \cos 3 x)+e^ <4 x>81 \sin 3 x=$

$=e^<4 x>(336 \cos 3 x-527 \sin 3 x)$

Ответ. $y^<(4)>(x)=e^<4 x>(336 \cos 3 x-527 \sin 3 x)$

Производная степенной функции (степени и корни)

Основные формулы

Производная от x в степени a равна a , умноженному на x в степени a минус один:
(1) .

Производная от корня степени n из x в степени m равна:
(2) .

Вывод формулы производной степенной функции

Случай x > 0

Рассмотрим степенную функцию от переменной x с показателем степени a :
(3) .
Здесь a является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .

Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.

Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m

Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4) .

Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.

На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).

Случай x = 0

Если , то степенная функция определена и при значении переменной x = 0 . Найдем производную функции (3) при x = 0 . Для этого воспользуемся определением производной:
.

Подставим x = 0 :
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .

Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при , .
При , .
При , .
Этот результат получается и по формуле (1):
(1) .
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0 .

Случай x .
При некоторых значениях постоянной a , она определена и при отрицательных значениях переменной x . А именно, пусть a будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m и n – целые числа, не имеющие общего делителя.

Если n нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x . Например, при n = 3 и m = 1 мы имеем кубический корень из x :
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x .

Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a , для которых она определена. Для этого представим x в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь . Но
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1) .

Производные высших порядков

Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3) .
Производную первого порядка мы уже нашли:
.

Вынося постоянную a за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;

.

Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка имеет следующий вид:
.

Заметим, что если a является натуральным числом, , то n -я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .

Примеры вычисления производных

Пример

Найдите производную функции:
.

Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.

Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.

Еще примеры

Найти производные следующих функций, зависящих от переменной x :
Решение > > > Решение > > > Решение > > > Решение > > > Решение > > >

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Решение > > >

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-04-2017

Примеры решения производных с ответами

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 0, c \neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»219″ style=»vertical-align: -5px;» />
11. 0, c \neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»180″ style=»vertical-align: -5px;» />
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

– производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

.
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

Задача

Найти производную функции .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
.
Учитывая, что и , после упрощения получим:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
.

Ответ

.