Уравнения с рациональными числами для 6 класса

Зачет по темам «Действия с рациональными числами.Решение уравнений»( 6 класс)
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

Зачет состоит из двух частей : основной и дополнительной. При сдаче зачета обязательная часть должна быть решена без ошибок.

Скачать:

Вложение	Размер
Зачет по математике, 6 класс	18.02 КБ
zachet_6_klass.docx	18.02 КБ

Предварительный просмотр:

Зачет по математике . М-6. Учитель Кавкаева Л.А.

1.Вычислите : а) -5 + 2 ; б) -7 – 4; в) 6 – 9 ; г) ∙ ( — ) ; д) – 42 : 7 .

2. Найдите значение выражения 3х – 19 при х = — 6 .

3. Упростите : а) 3а + 9 — 7а – а ; б) 4х – ( 7х + 5).

4. Решите уравнение : а) 6 – у = 4 ; б) 2 ( х – 3) = 4.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение 10 – 2 ( х – 4) = х + 3.

6. В одном ящике в 2 раза больше яблок, чем в другом. После того, как из первого взяли 5 кг, а во второй ящик добавили 10 кг яблок, , в обоих ящиках стало поровну. Сколько кг яблок было в каждом ящике первоначально?

1.Вычислите : а) -8 + 5 ; б) -2 – 4; в) 5 – 8 ; г) ∙ ( — ) ; д) – 32 : 8 .

2. Найдите значение выражения 5а + 4 при а = — 3 .

3. Упростите : а) – 3 ( 4а+ 6 ) + 10а ; б)3с- ( 5с + 2 ).

4. Решите уравнение : а) – 2 – у = 4 ; б) 3х + 5 = 7х — 11.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение 10 – 2 ( у + 5 ) = у — 3.

6. В одном ящике в 2 меньше апельсинов, чем в другом. После того, как в первый ящик добавили 5 кг апельсинов , а из второго взяли 7 кг , в обоих ящиках стало поровну. Сколько кг яблок было в ящиках первоначально?

1.Вычислите : а) -8 + 2 ; б) 7 – 9 ; в) -3 – 5 ; г) ∙ ( — ) ; д) 56 : (- 7) .

2. Найдите значение выражения 6х + 7 при х = — 8 .

3. Упростите : а) 10а + 3 — 7а – а ; б) 3х – ( 8х – 4 ).

4. Решите уравнение : а) у = 4 ; б) 2 — ( х – 3) = 4.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение = .

6. Сумма двух чисел равна 20 . Одно из них в три раза больше другого. Найдите эти числа.

1.Вычислите : а) -4 + 2 ; б) 4 – 9 ; в) -7 – 5 ; г) ∙ ( — ) ; д) 28 : (- 7) .

2. Найдите значение выражения 4х + 5 при х = — 8 .

3. Упростите : а) – 5а + 7 — 8а + 6а ; б) 2 ( 3х — 4) – 7х .

4. Решите уравнение : а) -3 у = 4 ; б) 5 — ( 7 – х ) = 4.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение = .

6. Сумма двух чисел равна 15. Одно из них на 3 больше другого. Найдите эти числа.

1.Вычислите : а) -9 — 2 ; б) 0 — 7; в) – 5 + 9 ; г) ∙ ( — ) ; д) – 63 : 7 .

2. Найдите значение выражения 2х + 19 при х = — 6 .

3. Упростите : а) 5а + 2 — 7а – 5 а ; б) 4х – 2 ( 7х — 5).

4. Решите уравнение : а) 5 – у = — 3 ; б) 4 ( х – 3) = 8.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение 10 – 2 ( х + 5) = 2х — 9.

6. На тарелке лежали пирожки с мясом и капустой, причем пирожков с капустой было в 2 раза меньше, чем пирожков с мясом. После того, как Миша съел 3 пирожка с мясом, пирожков стало поровну. Сколько пирожков лежало на тарелке первоначально?

1.Вычислите : а) -7 + 3 ; б) 2 – 9 ; в) -4 – 2 ; г) ∙ ( — ) ; д) 24 : (- 8) .

2. Найдите значение выражения 5х + 4 при х = — 7 .

3. Упростите : а) 10а + 3 — 10а – а ; б) 3х – 2 ( 5х – 4 ).

4. Решите уравнение : а) у = 4 ; б) 7 — ( х – 4) = 3.
Дополнительная часть.

5. Решите уравнение = .

6. Сумма двух чисел равна 20. Одно из них в четыре раза меньше другого. Найдите большее число.

Решение уравнений — РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Цели: вести понятие корня уравнения; ознакомить со свойствами уравнений и новым способом решения уравнений, с решением задач нового типа; отрабатывать умение решать уравнения; развивать грамотную математическую речь.

I. Организационный момент и анализ контрольной работы

1. Познакомить учащихся с результатами контрольной работы.

2. Решить задания, в которых допущено наибольшее количество ошибок.

1. Раскройте скобки:

2. Решите уравнения:

3. Найдите значение выражений:

— Запишите ответы в порядке возрастания.

-29, -7, -6, 3, 19. (Титло.)

— Прочитайте получившееся слово.

— Как вы думаете, что оно обозначает?

В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком, который писали над буквой. Этот знак назывался ТИТЛО.

4. Который теперь час, если оставшаяся часть суток в 2 раза меньше предыдущей?

5. Квадраты двух последовательных натуральных чисел отличаются лишь перестановкой последних двух цифр. Найдите эти числа. (13 и 14. 132 = 169, 142 = 196.)

III. Индивидуальная работа

IV. Сообщение темы урока

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». (А. Эйнштейн).

— Сегодня мы будем решать уравнения, используя их свойства.

V. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

— Какое равенство называют уравнением? (Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.)

— Что значит решить уравнение? (Это значит найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.)

Решите уравнение, применив сначала распределительное свойство умножения:

— Как по-другому можно решить уравнение? (По правилу отыскания неизвестных компонентов.)

— Что неизвестно в уравнении? (2 множитель.)

— Как найти неизвестный множитель? (Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.)

— Что неизвестно? (Уменьшаемое.)

— Как найти неизвестное уменьшаемое? (Надо к разности прибавить вычитаемое.)

2. Работа над новой темой.

а) Корнем уравнения называют то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

— Проверим, является ли число 7 корнем уравнений х — 3 = 4 и 5 · (х — 3) = 20.

Так как 7 — 3 = 4 и 5 · (7 — 3) = 20, то 7 — корень уравнения.

— Сравните два уравнения: 5 · (х — 3) = 20 и х — 3 = 4.

— Как из первого уравнения получить второе? (Второе уравнение можно получить, разделив обе части первого уравнения на 5 или умножив на 1/5.)

— Мы с вами убедились, что корнем этих двух уравнений будет одно и то же число.

— Поэтому корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

б) Решите уравнения: х + 8 = —15, (х = —23); х — 3 = -20, (х = —17); 37 — х = —5, (х — 42).

— Эти уравнения решались с использованием зависимостей между компонентами и результатами математических действий. Но изучение отрицательных чисел дает возможность решить эти уравнения иначе.

— Вспомним, чему равна сумма противоположных чисел. (0.)

— Как можно получить в левой части уравнения только слагаемое с х? (Прибавить или отнять числа, противоположные числам в левой части уравнения.)

Рассмотрим эти уравнения:

— Слагаемые без переменной перешли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Возьмем другие уравнения: 6х = 3х + 9.

— Нужно получить такое уравнение, чтобы слагаемые с х были только слева.

— Как вы думаете, что для этого надо сделать? (Для этого надо к обеим частям уравнения прибавить (-3х).)

6х — 3х = 3х + 9 — 3х,

Или надо перенести слагаемое 3х из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.

3х — 19 = 4х — 10, получаем:

— Какой же можно сделать вывод? (Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.)

— Принято при решении уравнений переносить слагаемые так, чтобы в левой части уравнения были неизвестные числа, а в правой — известные числа.

3. Работа с учебником.

— Учебник, стр. 231. Прочитайте текст под рубрикой «Говори правильно».

— Склоняется ли название букв в математике? (Склонять название букв в математике не принято.)

Например: х = 3, «икс» равен трем; k = 4, «ка» равно четырем, у = —5, «игрек» равен минус пяти.

— При чтении уравнений помните, что названия букв х, у, z — мужского рода, а названия остальных латинских букв — среднего рода.

VI. Закрепление изученного материала

1. № 1314 стр. 231 (на доске и в тетради).

— Какое свойство уравнений мы применили?

а) 8х + 5,9 = 7х + 20

б) 6х — 8 = -5х — 1,6

2. № 1317 (а, б) стр. 231 (на доске и в тетрадях).

— Для чего мы умножаем обе части уравнения на одно и то же число? (Чтобы избавиться от дробных чисел.)

а) Какой наименьший общий знаменатель у дробей 7/9 и 2/3? (9.)

— Умножим обе части уравнения на 9.

б) Какой наименьший общий знаменатель у дробей 1/2, 1/4 и 2/3? (12.)

— На какое число надо умножить обе части уравнения? (На 12.)

(Ответ: х = 18, у — 60.)

3 . № 1320 (а) стр. 232 (на доске и в тетрадях).

— Как называются числа в пропорции?

— Сформулируйте основное свойство пропорции.

— Решим это уравнение другим способом: с помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число.

— Сравните эти два способа решения.

— На ваш взгляд, какой способ удобнее?

VII. Самостоятельная работа

IX. Повторение изученного материала

1. Вынесите общий множитель за скобку.

2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

X. Подведение итогов урока

— Какое равенство называют уравнением?

— Что значит решить уравнение?

— Объясните, что такое корень уравнения.

— Как проверить, верно ли решено уравнение?

Рассмотреть примеры 2 и 3 в учебнике на стр. 229—230. Выучить формулировки свойств уравнений.

№ 1342 (а—в) стр. 234, № 1350, 1351 стр. 235.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.