Уравнения с разложением на множители 7 класс

Урок по алгебре в 7-м классе по теме: «Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители»

Разделы: Математика

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

Предлагаю учащимся решить уравнение двумя способами. Вызываю к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х 4 +4х 3 +6х 2 +4х+1 есть (х+1) 4 ). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

Решите устно уравнение

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х 2 равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

Устно решите уравнения:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х 2 -2х-1=0 3х 2 не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

Решение уравнений с помощью разложения на множители
план-конспект занятия по алгебре (7 класс) на тему

Конспект урока алгебры в 7 классе и презентация к нему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект открытого урока по алгебре в 7 классе

Учитель : Волкова Татьяна Ивановна

Дата проведения : 12.02.2014

Тема урока : Решение уравнений с помощью разложения на множители

Имя урока : Уравнение – ключ к изучению точных наук

Тип урока : урок закрепления знаний, умений навыков

Методы работы : — алгоритмизация учебной деятельности

— метод практических действий

Формы урока : — фронтальная

-парная (ее элементы)

Оборудование: ТСО, компьютер

Цель урока : Формирование навыков решения уравнений с помощью разложения на множители .

Цели для преподавателя :

Обучающие: — закрепление знаний и умений раскладывать многочлен на

множители, используя все известные учащимися способы при

решении уравнений ( в том числе уравнений с модулем);

— создание условий для самостоятельной деятельности

учащихся, применение полученных знаний в знакомой,

модифицированной и незнакомой ситуациях.

Развивающие : — формирование устойчивого внимания и взаимоконтроля.

Воспитывающие: — воспитание ценностного отношения к сохранению

« Не всегда уравнения разрешают сомнения,

Но итогом сомнения может быть озарение»

I. Проверка домашнего задания. (0 мин.)

На перемене учащиеся сдают текст составленной ими задачи, решение которой приводит к составлению уравнения (10х+5)-3012=6х

(работы оцениваются, интересные задачи вывешиваются на стенд к следующему уроку)

II. Организационный момент. (Мотивация) ( 2 мин.)

Учитель сообщает, что из курса математики и физики они знают формулы, просит их назвать (s=vt, m=pV, P= 2(a=b). Например, зная Р и b, можно найти а, для этого необходимо решить линейное уравнение. Эти формулы простые, но вы будете изучать более сложные формулы и столкнетесь с решением не только линейных уравнений. От того, как хорошо вы владеете навыками решения уравнений, зависят ваши успехи в изучении таких предметов как физика, химия, биология и , конечно же, геометрия и алгебра.

Сообщается тема урока, цель урока, имя урока и эпиграф к данному уроку.

III. Актуализация знаний учащихся (устная работа) ( 10 мин.)

На экране слайд с заданием № 1 «Найдите уравнение»

Задание 1. Найдите уравнение

• Уравнение – это …, содержащее …, значение которого надо найти.
• Решить уравнение – значит все его …или доказать, что…
• Корень уравнения – значение …, при котором уравнение обращается в верное… .

На экране красными чернилами написаны 8 выражений. Среди них найдите, пожалуйста, уравнение. Докажите, что вы действительно назвали уравнения. Для доказательства нужно вспомнить …(определение уравнения). Если дано уравнение, то, что с ним нужно сделать? Что значит, решить уравнение? А что называется корнем уравнения?

Расскажите, пожалуйста, друг другу эти правила.

(появляется следующий слайд)

Задание 2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются… .

Ребята, я вам предлагаю вспомнить еще одно определение. Уравнения, имеющие один и тот же корень, называются…

Перед вами 4 уравнения. Среди них найдите, пожалуйста, равносильные уравнения. Чтобы ответить на вопрос, что нужно сделать? (ответы решения уравнений появляются по мере их решения учащимися)

При решении этих уравнений вы пользовались свойствами равносильности уравнений. Я вам предлагаю ещё раз их вспомнить.

Свойства равносильных уравнений

• Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному
• Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному
• Если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное данному

Мы с вами при изучении этих свойств составили математические модели. Ребята, не забывайте пользоваться ими при решении уравнений .

( на доску выносится модель свойств)

(на экране появляется следующий слайд)

Задание 3. найдите ошибки:

(2a – 3) – 4 (a=2) = 18a – 27 – 4a +2

(a- 2b)(a + 2b) = a² — 4ab +4b²

2. В разложении на множители:

8x² — 12x = 4x(2x + 4x)

25y² — 81 = (5y – 9) (5y+9)

16 + 9c² = (4 – 3c)(4 + 3c)

Вашему вниманию, ребята, предлагаю задания на нахождение ошибки.

IV. Тренировочные задания ( 16 мин.)

Задание №4. решите уравнения 1-4 и выясните, какие яды попадают в организм человека вместе с вдыхаемым дымом сигарет :

4 . 4x² + 12x = 9 = 0

6. 11 x² + 88x + 176 = 0

7. 8 a³+ 12a² — 18a = 27

Никотин в 2 раза более ядовит, чем стрихнин, вдыхание паров ртути смертельно опасно

Откройте, пожалуйста, тетради, запишите число, тему урока и задание «Запишите уравнения».

Какие из приведенных уравнений вы сможете решить без труда? (решение проводится на доске и в тетрадях, у доски одновременно работают 3 ученика)

При решении уравнений с модулем учащимся разрешено пользоваться конспектом.

Решение уравнений вида |x| = a

1. Если а › 0 , то уравнение имеет два корня : х = а, х = — а
2. Если а = 0 , то уравнение имеет один корень: х = 0
3. Если а ‹ 0 , то уравнение не имеет корней.

Решим следующие уравнения:

Какое число можно поставить под знак модуля вместо выражения?

4х + 1 и устанавливаю число 3, затем -3.

4х= 3-1 или 4х= -3-1

Какое число можно поставить под знак модуля вместо выражения?

1 – 2х и устанавливаю число 0.

Какое число можно поставить под знак модуля вместо выражения?

Таких чисел нет.

Ответ : корней нет

После завершения этой работы, ученики берут заранее полученные тетрадные листы, копировальную бумагу и работу продолжают в тетрадях – результат их деятельности копируется на втором листе бумаги.

V. Самостоятельная работа ( 10 мин.)

Задание 5. Решите уравнения самостоятельно :

Проверка выполнения работы.

(ученики сдают листы с выполненными работами, обмениваются работами и проверяют работу соседа по слайдам)

Сообщить критерии оценивания работ:

— верно решены все уравнения – оценка 5

— решены все уравнения , но есть ошибки, оценка 4

— решены два уравнения, оценка 3.

Ребята, поднимите руки те, кто получил 4 и 5 .

VI. Домашнее задание ( 1 мин.)

1. Если в выполненной самостоятельной работе были ошибки, то их нужно найти дома. В случае возникновения вопросов, обратиться в соседу или учителю.
2. Решите уравнения х³- 2х² – 4х + 8 = 0

VII. Итог урока ( 1 мин.)

Ребята, продолжите пожалуйста, следующие предложения:

— Я сегодня на уроке…

— Самым трудным на уроке было …

Спасибо всем за урок. До свидания.

Вывод: Цель урока достигнута, учащиеся справились с решением уравнений.

Общий педагогический анализ

урока алгебры в 7 классе

учителя Первомайского филиала ГБОУ СОШ с.Подбельск

Волковой Татьяны Ивановны

Дата проведения: 12.02.2014

Тема урока: Решение уравнений с помощью разложения на множители

Имя урока: Уравнение – ключ к изучению точных наук

Тип урока: урок закрепления знаний, умений навыков

Методы работы: — практических действий

Формы урока: — фронтальная

-парная (ее элементы)

Демонстрационный материал : слайдовая презентация

Цель урока: Формирование навыков решения уравнений с помощью разложения на множители .

Цели для преподавателя:

Обучающие : — закрепление знаний и умений раскладывать многочлен на

множители, используя все известные учащимися способы при

решении уравнений ( в том числе уравнений с модулем);

— создание условий для самостоятельной деятельности

учащихся, применение полученных знаний в знакомой,

модифицированной и незнакомой ситуациях.

Развивающие: — формирование устойчивого внимания и взаимоконтроля.

Воспитывающие :- воспитание ценностного отношения к сохранению

1. Оценка правильности определения цели и задач урока.

Тема урока соответствует программе. Автор программы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешко, Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11 класс. Составители Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк, Москва: Дрофа, 2002г.

Для работы по этой программе используется учебник: Алгебра 7 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешко.- 6-е изд., стереотипное.- М.: Мнемозина, 2010г.

1. Цели для учащихся названы.
2. Проведена актуализация знаний учащихся в процессе повторения изученного материала и введения учащихся в проблемную ситуацию.
3. Методы обучения обеспечивали мотивацию деятельности учащихся по достижению цели. Мотивация обеспечивалась практической значимостью темы «Решение уравнений с помощью разложения на множители»

1. Эффективность реализации образовательных и развивающих целей.

Сотрудничество учителя и учащихся обеспечивалось:

1. Согласованность действий учителя и учащихся при обсуждении решения уравнений с помощью разложения на множители.
2. Самоконтролем первичного усвоения материала.
3. Рефлексией, которая проводилась в конце урока путем взаимопроверки самостоятельного решения уравнений учащимися с помощью разложения на множители.

З.Оценка эффективности выбора методов и приемов обучения, способов формирования и развития познавательного интереса и учебной мотивации

1. Выбранный метод, частично-поисковый, метод практических действий соответствует содержанию учебного материала, который применяется для развития самостоятельности мышления и закрепления практических навыков учащихся при решении уравнений с помощью разложения на множители.

2. В ходе эвристической беседы, как разновидности проблемно-поискового метода, предполагалось применение полученных знаний в модифицированной и незнакомой ситуациях.

3. Эффективность деятельности учащихся обеспечивалась записями в тетрадь решений «Творческих задач».

Урок прошел на эмоциональном, интеллектуальном подъеме. На уроке царила атмосфера сотрудничества и сотоварищества.

Речь учителя четкая, грамотная.

1. Оценка эффективности урока.

С самостоятельной работой учащиеся справились

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.