Уравнения с системами счисления задания

Уравнения с системами счисления задания

Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24₁₆?

24₁₆ = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Задание 2. Известно, что X = 12₄ + 4₅ + 101₂. Чему равно число X в десятичной системе счисления?

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
12₄ = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4₅ = 4 * 5 0 = 4
101₂ = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15

Задание 3. Вычислите значение суммы 10₂ + 45₈ + 10₁₆ в десятичной системе счисления.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10₂ = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45₈ = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10₁₆ = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55

Перевод в двоичную систему счисления

Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?

Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.

Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:

37₁₀ = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?

Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:

73₁₀ = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Ответ. В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.

Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2₁₆, y = 37₈. Результат представьте в двоичной системе счисления.

Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:

Сложим полученные числа:

Ответ. Сумма чисел D2₁₆ и y = 37₈, представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.

Задание 4. Дано: a = D7₁₆, b = 331₈. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Задание 2. В саду 100_x фруктовых деревьев, из которых 33_x – яблони, 22_x – груши, 16_x – сливы, 17_x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условие задачи таково:
33_x + 22_x + 16_x + 17_x = 100_x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2 2 + 2 = 6. Пробуем 3: 3 2 + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Задание 4. В какой системе счисления десятичное число 173 будет представлено как 445?

Решение.
Обозначим неизвестное основание за Х. Запишем следующее уравнение:
173₁₀ = 4*Х 2 + 4*Х 1 + 5*Х 0
С учетом того, что любое положительное число в нулевой степени равно 1 перепишем уравнение (основание 10 не будем указывать).
173 = 4*Х 2 + 4*Х + 5
Конечно, подобное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта, но есть более простое решение. Вычтем из правой и левой части по 4. Получим
169 = 4*Х 2 + 4*Х + 1 или 13 2 = (2*Х+1) 2
Отсюда получаем 2*Х +1 = 13 (отрицательный корень отбрасываем). Или Х = 6.
Ответ: 173₁₀ = 445₆

Задачи на нахождение нескольких оснований систем счисления

Есть группа задач, в которых требуется перечислить (в порядке возрастания или убывания) все основания систем счисления, в которых представление данного числа заканчивается на заданную цифру. Эта задача решается довольно просто. Сначала нужно из исходного числа вычесть заданную цифру. Получившееся число и будет первым основанием системы счисления. А все другие основания могут быть только делителями этого числа. (Данное утверждение доказывается на основе правила перевода чисел из одной системы счисления в другую – см. п.4). Помните только, что основание системы счисления не может быть меньше заданной цифры!

Пример
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.

Решение
24 – 3 =21 – это первое основание (13₂₁= 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 делится на 3 и на 7. Число 3 не подходит, т.к. в системе счисления с основанием 3 нет цифры 3.
Ответ: 7, 21

Задача №16. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

3. Решение уравнений

Пример 6

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Сборник задач «Системы счисления»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «Политехнический лицей» г. Мирный РС(Я)

Сборник задач по теме «Системы счисления»

(для подготовки к решению задания № 10 Основного Государственного Экзамена по информатике)

Боброва, А.Ю. Сборник задач по теме «Системы счисления» (для подготовки к решению задания № 10 Основного Государственного Экзамена по информатике) / А.Ю. Боброва. – Мирный: МБОУ «Политехнический лицей», 2021. – 25 с.

1. Общие сведения о системах счисления

Система счисления — это способ наименования и представления чисел с помощью символов. Такие символы в любой системе счисления называются цифрами.

Алфавит системы счисления – это совокупность символов, используемых в данной системе счисления.

Все системы счисления подразделяются на два класса – позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи не зависит величина, которую она обозначает.

1.1. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления величина, обозначаемся цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество различных цифр р, используемых в позиционной системе счисления, определяет название системы счисления и называется основанием р-ой системы счисления. Например, система счисления, в основном применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой, ее основание равно десяти.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием р может быть представлено в виде многочлена от р:

где N – число, р – основание системы счисления (р>1), a ₁ – цифры числа (коэффициенты пи степенях р).

Числа в р-й системе счисления записывают в виде последовательности цифр:

Запятая в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях от коэффициентов при отрицательных степенях).

В двоичной системе используется две цифры: 0 и 1. В этой системе любое число может быть представлено в виде:

Например: 1011101,01 = 1 ∙ 2 6 + 0 ∙ 2 5 + 1 ∙ 2 4 + 1 ∙ 2 3 +1 ∙ 2 2 + + 0 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 + 1 ∙ 2 -1 + 1 ∙ 2 -2 .

1.3. Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Эта система счисления в ЭВМ используется как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада):

1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Для обозначения цифр в шестнадцатеричной системе используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы А (10), В (11), С (12), D (13), E (14) и F (15). Эта система счисления так же, как и восьмеричная, в ЭВМ используется как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы используется четыре двоичных разряда (тетрада):

2. Перевод чисел в десятичную систему счисления

Для того чтобы перевести число в десятичную систему счисления, необходимо составить сумму степенного ряда с основанием системы, в которой записано число, а затем найти значение этой суммы.

Пример 1. Перевести число 11110 из двоичной системы в десятичную систему счисления.

11110₂ = 1 ∙ 2 4 + 1 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 0 ∙ 2 0 = 1 ∙ 16 + + 1 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1 = 16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30₁₀.

Пример 2. Перевести число 10110,01 из двоичной системы в десятичную систему счисления.

10110,01₂ = 1 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 0 ∙ 2 0 + 0 ∙ ∙2 -1 + 1 ∙ 2 -2 = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 1 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0,5 + + 1 ∙ 0,25 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0,25 = 22,25₁₀.

Пример 3. Перевести число 32 из восьмеричной системы в десятичную систему счисления.

32₈ = 3 ∙ 8 1 + 2 ∙ 8 0 = 3 ∙ 8 + 2 ∙ 1 = 24 + 2 = 26₁₀.

Пример 4. Перевести число 23 из шестнадцатеричной системы в десятичную систему счисления.

23₁₆ = 2 ∙ 16 1 + 3 ∙ 16 0 = 2 ∙16 + 3 ∙ 1 = 32 + 3 = 35₁₀.

Пример 5. Перевести число А3 F из шестнадцатеричной системы в десятичную систему счисления.

А3 F ₁₆ = 10 ∙ 16 2 + 3 ∙ 16 1 + 15 ∙ 16 0 = 10 ∙256 + 3 ∙ 16 + + 15 ∙ 1 = 2560 + 48 + 15 = 2623₁₀.

Пример 6. Перевести число 13 E ,4 из шестнадцатеричной системы в десятичную систему счисления.

13 E ,4 ₁₆ = 1 ∙ 16 2 + 3 ∙ 16 1 + 14 ∙ 16 0 + 4 ∙ 16 -1 = 1 ∙256 + 3 ∙ ∙16 + 14 ∙ 1 + 4 ∙ 0,25 = 256 + 48 + 14 + 1 = 317₁₀.

Задачи для самостоятельного решения

1. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

2. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

3. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

4. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

5. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

6. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

7. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

8. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

9. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

10. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

11. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

12. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

13. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

14. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

15. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

16. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

17. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

18. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

19. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

20. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

21. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

22. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

23. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

24. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

25. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

26. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наибольшее и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

27. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наибольшее и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

28. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наибольшее и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

29. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наименьшее и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

30. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите наименьшее и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

31. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

32. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

33. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

34. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

35. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

36. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

37. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

38. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

39. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

40. Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

3. Перевод чисел из десятичной системы счисления

1. Для того чтобы перевести целое десятичное число в другую систему счисления, необходимо осуществлять последовательное деление десятичного числа и затем из получаемых целых частных на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.

Пример 7. Переведите число 126 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Решение. Преобразуем число 126 в двоичную систему с помощью известного алгоритма деления «уголком» с выделением остатков:

126

63

31

15

7

3

Выписав остатки от деления, получим 126₁₀=1111110₂.

Пример 8. Переведите число 146 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

Преобразуем число 146 в восьмеричную систему с помощью алгоритма деления «уголком» с выделением остатков:

146

18

Выписав остатки от деления, получим 146₁₀=222_8.

Пример 9. Переведите число 935 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение. Преобразуем число 935 в шестнадцатеричную систему с помощью алгоритма деления «уголком» с выделением остатков:

935

58

Выписав остатки от деления, получим 935₁₀=3А7₁₆.

2. Для того чтобы перевести правильную десятичную дробь из десятичной системы счисления в другую, необходимо последовательно умножать эту дробь, а затем получаемые дробные части на основание той системы, в которую она не переводится. Умножение производится до тех пор, пока дробная част не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность. В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример 10. Перевести число 0,532 из десятичной системы в двоичную с точностью до тысячных.

Пример 11. Перевести число 0,974 из десятичной системы в шестнадцатеричную с точностью до тысячных.

3. Для того чтобы перевести число, содержащее и целую, и дробную части, из десятичной системы счисления в другую, необходимо сначала перевести его целую часть, затем отдельно дробную часть. В ответе перед запятой следует записать целую часть, а после запятой – дробную часть.

Пример 12. Перевести число 344,532 из десятичной системы в двоичную с точностью до тысячных.

Переводим целую часть числа.

344

172

86

43

21

10

5

2

Получим 344 ₁₀ = 101011000_2. Переводим, с указанной точностью, дробную часть (см. пример 10). Получаем 0,532₁₀ = 0,100₂. Дописываем после целой части дробную: 344,532₁₀ = 101011000,100_2.

Пример 13. Перевести число 935,974 из десятичной системы в шестнадцатеричную с точностью до тысячных.

Решение. Переводим целую часть числа (см. пример 9). Получаем 935₁₀ = 3А7_16. Переводим с указанной точностью, дробную часть (см. пример 9). Получаем 0,974₁₀ = 0, F 95₁₆. Дописываем после целой части дробную: 936,974₁₀ = 3А7, F 95_16.

4. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно

1. Для того чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, необходимо выполнить следующие действия. Двигаясь по запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по три разряда, дополняя при необходимости нулями крайнее левую и правую группы. Затем триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример 14 . Перевести число 10011001111,0101 из двоичной системы в восьмеричную.

010 011 001 111 , 010 100 = 2317,24₈.

2. Для того чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, выполнить следующие действия. Двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по четыре разряда дополняя при необходимости нулями крайнее левую и правую группы. Затем тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Пример 15. Перевести число 10111111011,100011 из двоичной системы в шестнадцатеричную.

0101 1111 1011 , 1000 1100 = 5 FB ,8 C ₈ .

Ответ: 5 FB ,8 C ₈ .

3. Для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трёхразрядным двоичным числом (триадой), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах.

Пример 4. Перевести число 6С3,А из шестнадцатеричной системы в двоичную.

6 С 3 , А = 11011000011,101₂.

0110 1100 0011 1010

5. Перевести число 135,14 из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную.

1 3 5 , 1 4 = 0101 1101 , 0011 = 5 D ,3_16.

001 011 101 001 100

Задачи для самостоятельного решения

41. Переведите число 147 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

42. Переведите число 142 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

43. Переведите число 140 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

44. Переведите число 136 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

45. Переведите число 167 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

45. Переведите число 157 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

46. Переведите число 120 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

47. Переведите число 126 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

48. Переведите число 151 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

49. Переведите число 149 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

50. Переведите число 144 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

51. Переведите число 135 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц.

52. Переведите число 141 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

53. Переведите число 121 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

54. Переведите число 143 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

55. Переведите число 126 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

56. Переведите число 125 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

57. Переведите число 134 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

58. Переведите число 204 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

59. Переведите число 201 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

60. Переведите число 111 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

61. Переведите число 87 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

62. Переведите число 110 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

63. Переведите число 101 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. Сколько единиц содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество единиц

64. Переведите число 100 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Сколько нолей содержит полученное число? В ответе укажите одно число – количество нолей.

65. Переведите число 199 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. В ответе укажите двоичное число. Основание системы счисления указывать не нужно.

66. Переведите число 119 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

67. Переведите число 105 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

68. Переведите число 215 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

69. Переведите число 259 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

70. Переведите число 516 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

71. Переведите число 90 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

72. Переведите число 98 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

73. Переведите число 130 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

74. Переведите число 126 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

75. Переведите число 122 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

76. Переведите число 139 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

77. Переведите число 222 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

78. Переведите число 211 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

79. Переведите число 245 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

80. Переведите число 143 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

81. Переведите число 305 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

82. Переведите число 156 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

83. Переведите число 147 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

84. Переведите число 68 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе укажите полученное число.

85. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной системе счисления которого наименьшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

86. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной системе счисления которого наименьшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

87. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной системе счисления которого наибольшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

88. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной системе счисления которого наибольшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

89. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной системе счисления наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в восьмеричной записи этого числа.

90. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной системе счисления наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в восьмеричной записи этого числа.

91. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в шестнадцатеричной системе счисления наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в шестнадцатеричной записи этого числа.

92. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в шестнадцатеричной системе счисления наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в шестнадцатеричной записи этого числа.

93. Среди приведенных ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в шестнадцатеричной системе счисления наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в шестнадцатеричной записи этого числа.

Список литературы

1. Боброва А.Ю. Методические рекомендации к решению демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по информатике / А.Ю. Боброва. ‑ МБОУ «Политехнический лицей», г. Мирный, 2020. ‑ 38 с.

2. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2020 года по информатике. – М.: ФГБНУ «ФИПИ», 2019.

3. Евич, Л.Н. Информатика и ИКТ. Подготовка к ОГЭ – 2016. 9 класс. 14 тренировочных вариантов. / Под ред. Л.Н. Евич, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион,2015. – 22 с.

4. Лещинер, В.Р. Информатика. Основной Государственный Экзамен. Готовимся к итоговой аттестации: [учебное пособие] / В.Р. Лещинер, Ю.С. Путинцева. – Москва: Издательво «Ителлект-Центр», 2020. – 176 с.

5. Ушаков, Д.М. Информатика. 10 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ / Д.М. Ушаков. – М.: Издательство «Экзамен», 2020. -119 с.