Уравнения с тремя переменными метод крамера

Система линейных уравнений с тремя переменными

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <\left\< \begin 3x+2y-z = 8 \\ x-y+z = -2 \\ 2x-3y-5z = 1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \\ x = y-z-2 \\ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ 5y-4z = 14 \\ -y-7z = 5 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ 5(-7z-5)-4z = 14 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = y-z-2 \\ y = -7z-5 \\ -39z = 39 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = 2-(-1)-2 = 1 \\ y = -7\cdot(-1)-5 = 2 \\ z = -1 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1 \\ y = 2 \\ z = -1 \end \right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <\left\< \begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 \end \right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end $$

и вспомогательные определители :

$$ \Delta_x = \begin d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end, \Delta_y = \begin a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end, \Delta_z = \begin a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ \Delta = \begin a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end = a_1 = \begin b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end — b_1 = \begin a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end + c_1 = \begin a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<\left\< \begin z = 3x+2y-13 \\ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \\ x+2y-(3x+2y-13) = 9 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin z = 3x+2y-13 \\ 11x+5y = 37 \\ -2x = -4 \end \right.> \Rightarrow $$

$$\Rightarrow <\left\< \begin z = 3\cdot2+2\cdot3-13 = -1 \\ y = \frac<37-11\cdot2> <5>= 3 \\ x = 2 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 2 \\ y = 3 \\ z = -1 \end \right.> $$

$$ <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ -7y-7z = -7 |:(-7) \\ y-8z = -17 \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ y+z = 1 \\ y-8z = -17 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = -y-3z+6 \\ 9z = 18 \\ y = 1-z \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 1-6+6 = 1 \\ z = 2 \\ y = 1-2 = -1 \end \right.> \Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ \Delta = \begin 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -1 \end = 3 = \begin -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end — 2 = \begin 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end — 1 = \begin 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_x = \begin 13 & 2 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 9 & 2 & -1 \\ \end = 13 = \begin -1 & 3 \\ 2 & -1 \\ \end — 2 = \begin -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end — 1 = \begin -2 & -1 \\ 9 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_y = \begin 3 & 13 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & 9 & -1 \\ \end = 3 = \begin -2 & 3 \\ 9 & -1 \\ \end — 13 = \begin 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ \end — 1 = \begin 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end = $$

$$ \Delta_z = \begin 3 & 2 & 13 \\ 2 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 9 \\ \end = 3 = \begin -1 & -2 \\ 2 & 9 \\ \end — 2 = \begin 2 & -2 \\ 1 & 9 \\ \end + 13 = \begin 2 & -1 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta = \begin 1 & 1 & 3 \\ 2 & -5 & -1\\ 1 & 2 & -5 \end = 1 = \begin -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end — 1 = \begin 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end + 3 = \begin 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

$$ \Delta_x = \begin 6 & 1 & 3 \\ 5 & -5 & -1 \\ -11 & 2 & -5 \\ \end = 6 = \begin -5 & -1 \\ 2 & -5 \\ \end — 1 = \begin 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end + 3 = \begin 5 & -5 \\ -11 & 2 \\ \end = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ \Delta_y = \begin 1 & 16 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \\ 1 & -11 & -5 \\ \end = 1 = \begin 5 & -1 \\ -11 & -5 \\ \end — 6 = \begin 2 & -1 \\ 1 & -5 \\ \end + 3 = \begin 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end = $$

$$ \Delta_z = \begin 1 & 1 & 6 \\ 2 & -5 & 5 \\ 1 & 2 & -11 \\ \end = 1 = \begin -5 & 5 \\ 2 & -11 \\ \end — 1 = \begin 2 & 5 \\ 1 & -11 \\ \end + 6 = \begin 2 & -5 \\ 1 & 2 \\ \end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <\left\< \begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \\ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \\ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 \end \right.> $$

Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$

Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

Из второго уравнения получаем:

Т.к. $b \neq c$ можно сократить на $(b-c) \neq 0$:

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Крамера, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Крамера

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Крамера

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

.

Найти значения и возможно только при условии, если

.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

*

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

*

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Решить систему линейных уравнений:

.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

,

,

.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

,

,

,

.

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.