Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
sostavlenie_uravneniy_sfery_ploskosti_pryamoy.docx | 32.08 КБ |
Предварительный просмотр:
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.
Справочный материал и примеры.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0
Общее уравнение плоскости:
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.
Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:
A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0
Уравнение поверхности сферы:
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)
Задания для практической работы:
- Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
- Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
- Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
- Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
- Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
- Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
- Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).
- Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
- Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
- Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
- Какой вид имеет общее уравнение прямой?
- Какой вид имеет уравнение сферы?
Уравнение прямой, плоскости и сферы
306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»
Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.
З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ: Самостоятельная работа
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве
Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу
П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.
Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0
0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно
Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.
Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.
Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением
Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0
Решить задания №1, №2
О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
R – радиус сферы, т. О – центр сферы.
Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.
Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .
Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.
1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64
2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,
Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.
Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6
Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.
Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Технологическая карта (план) занятия №72
Векторное уравнение прямой. Уравнение окружности, сферы, плоскости.
Практическая работа №36
Учебная: формировать навыки составления векторного уравнения
прямой, плоскости, окружности и сферы в
пространстве по заданным координатам;
дать понятие нормального вектора к плоскости;
научить применять знания, полученные при изучении
данной темы, для решения задач ;
Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность
Развивающая: развивать пространственное и логическое
ф ормировать грамотную математическую речь .
Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами (ОК 4.)
Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста (ОК 5.)
Наглядные пособия: мультимедиа презентация;
Раздаточный материал: таблица канва для заполнения;
Технические средства обучения: ноутбук, проектор;
Учебные места (для лаб. работ, прак. занятий): 204 аудитория.
Литература: 1) Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков. 2) Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян, М.: Просвещение
3) Геометрия. 11 класс: поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасяна [и др.]/авт.- сост. Г.И. Ковалева. Волгоград: Учитель, 2015.
-проверка присутствующих на занятии;
-проверка готовности учащихся к занятию;
-формулировка целей занятия.
1. В конце занятия обучающиеся сдают тетради на проверку
2. Заполнить таблицу-канву (предлагается нанести обозначения, вписать формулы на заготовленную таблицу канву по теме прошлого урока)
Изучение нового материала. (стр 81,87, уч(1))
Прямая, параллельная оси Оу , задается уравнением вида х = с . Аналогично, прямая, параллельная оси Ох , задается уравнением вида у = с .
Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные 2 точки , выражаются формулами:
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :
Задача №1. Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ :
Задача №2. Составить канонические уравнения прямой проходящей по двум точкам:
Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Подставим в уравнение координаты точек М 1 и М 2 :
Подставим координаты точки в полученные уравнения:
Получены верные равенства.
Подставим координаты точки :
Получены верные равенства.
Уравнение прямой проходящей через 1 данную точку с нормальным вектором :
Определение: Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой.
На плоскости дана точка М0(х0, у0, z 0) и вектор .
Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору.
Рассмотрим еще одну точку прямой
М(х, у, z ), тогда вектор
лежит на данной прямой.
Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку и нормальный вектор, выражается формулой:
Задача №3 . В пространстве дана точка М 0 (2;-3;0) и вектор. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение : Канонические уравнения прямой составим по формуле:
2. Уравнение плоскости.
Плоскость можно задать одной содержащейся в ней точкой Р 0 ( и вектором , перпендикулярным этой плоскости (его называют вектором нормали к плоскости). Необходимым и достаточным условием того, что точка Р(х принадлежит плоскости, является следующее равенство: . Задав координаты нормали <А;В;С>, получим уравнение плоскости в координатной форме: А(х-х 0 )+В(у-у 0 )+С( z — z 0 )=0. раскроем скобки и обозначим число (Ах 0 +Ву 0 +С z 0 ) за D .
Получим уравнение плоскости в виде Ах+Ву+С z + D =0
Замечание: Вектор можно умножать на любое число
Задача №4 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору
Задача №5 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:
http://multiurok.ru/files/uravnenie-priamoi-ploskosti-i-sfery.html
http://infourok.ru/vektornoe-uravnenie-pryamoy-uravnenie-okruzhnosti-sferi-ploskosti-3711811.html