Уравнения sin x a конспект

Разработка урока по алгебре на тему «Уравнение sinx=a» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Уравнение sinx=a.docx

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Автор: учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

2018 – 2019 учебный год

Автор – Борисова Алла Николаевна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (алгебра и начала математического анализа)

Тема – « Уравнение sinx=a »

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Ю.М.Колягин и др., М.: Просвещение, 2016 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2010

ввести определение арксинуса числа, вывести формулу решения уравнения sinx=a и частные случаи решения уравнения, учить решать простейшие тригонометрические уравнения .

проверка знаний и умений по теме «Уравнение cos x =а »;

ввести определение арксинуса числа;

вывести формулу решения уравнения sinx=a и частные случаи решения уравнения

уметь выполнять преобразование выражений, используя определение арксинуса числа;

учить решать простейшие тригонометрические уравнения вида sinx=a .

развивать логическое и образное мышление и умение делать выводы;

развитие познавательного интереса к предмету;

формирование потребности в приобретении знаний.

воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

воспитывать чувство взаимопомощи, умение слушать и слышать одноклассников ;

воспитывать требовательное отношение к себе и своей работе.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока : комбинированный урок.

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Взаимное приветствие. Включение в деловой ритм, проверка подготовленности учащихся к уроку.

Объявляется цель и план урока.

II. Повторение изученного материала. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа по теме

Самостоятельная работа по теме

III . Изучение нового материала.

1) При изучении нового материала использовать слайды №2 — 9.

— Рассмотрим уравнение sinx = a .

— Вспомним, что такое sinx ?

(Ордината точки (или точек) единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол х).

— Значит, корни уравнения sinx = a − углы поворота точки Р(1;0) в точку единичной окружности, имеющей абсциссу а .

2) — Решим уравнение

— Убедимся, в формуле

а) Пусть — чётное, тогда

б) Пусть — нечётное, тогда

— Заметим, что уравнение имеет бесконечное множество корней, но на отрезке оно имеет единственный корень

4) — Сделайте вывод, когда уравнение sinx = a не имеет корней?

— Когда уравнение sinx = a имеет бесконечно много корней?

Запись в тетрадь:

5) Рассмотреть частные случаи уравнения sinx = a по единичной окружности. Один ученик работает на доске.

Запись в тетрадь:

1) С комментированием у доски после обсуждения решить упражнения

2) Работа в парах. Самостоятельно решить № 588 . Один ученик работает на крыле доски. После окончания работы проверка.

V . Подведение итогов урока.

— Итак, чему вы сегодня научились?

— С каким понятием познакомились?

(Познакомились с понятием арксинуса; общую формулой решения уравнения sin х = a, с его частными случаями и выработали алгоритм решения данного уравнения).

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся. Выставление отметок за урок.

Выбранный для просмотра документ Уравнение sinx=a..pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнение sin x = a

Рассмотрим уравнение sinx = a. Вспомним, что такое sinx? (Ордината точки (или точек) единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол х). Значит, корни уравнения sinx = a − углы поворота точки Р(1;0) в точку единичной окружности, имеющей абсциссу а.

Решим уравнение sinx =

M2 M1 sin x = х1 = + 2πn, n ϵ Z х2 = + 2πn, n ϵ Z х2 = π − + 2πn, n ϵ Z х =(−1)n + πn, n ϵ Z 0 − x y

M2 M1 0 − Уравнение sin x = имеет бесконечное множество корней. Но на отрезке [ ] оно имеет только один корень x y

Число называют арксинусом числа и записывают arcsin = . Определение Арксинусом числа а ϵ [− 1;1] называется такое число α ϵ [ ] , синус которого равен а. arcsin a =α, если sin α = а и − ≤ α ≤ , |а|≤ 1. Верна также формула: arcsin (−a )= − arcsin a, где а ϵ [− 1;1] .

т.к. 0; т.к. т.к. Примеры

Уравнение sin x = a не имеет корней, если 2) имеет бесконечно много корней, если Вывод х =(−1)n arcsin a + πn, n ϵ Z

Частные случаи уравнения sin х = a 1. sin х = −1; x =− + 2πn, n ϵ Z 2. sin х = 0; x = πn, n ϵ Z 3. sin х = 1; x = + 2πn, n ϵ Z

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 787 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 30.03.2019
• 488
• 17

• 30.03.2019
• 3061
• 90

• 27.03.2019
• 276
• 5

• 25.03.2019
• 222
• 0

• 24.03.2019
• 2698
• 37

• 21.03.2019
• 137
• 1

• 17.03.2019
• 267
• 1

• 15.03.2019
• 213
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.04.2019 1949
• RAR 2.6 мбайт
• 289 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Борисова Алла Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 292842
• Всего материалов: 111

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

План-конспект урока в 10-м классе по теме «Арксинус. Решение уравнения sin x = a»

Разделы: Математика

Цели урока:

• вывести общую формулу решений уравнения ;
• сформировать навык решения уравнения
• дать определение арксинуса.

Задачи урока:

• формирование умения решать данные уравнения;
• создание условий, способствующих воспитанию у учащихся внимательности и аккуратности в решении уравнения.

Тип урока: модульный урок.

Формы контроля: самопроверка самостоятельно решённых задач, проверка самостоятельной работы учителем на оценку.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. мотивационная беседа, завершающаяся постановкой интегрирующей цели урока;
2. входной контроль (повторение изученного ранее материала);
3. работа с новым материалом;
4. закрепление изученного материала;
5. завершающий контроль (проверка усвоенного на уроке материала);
6. рефлексия.

Ход урока

В тригонометрии важное место уделено решению тригонометрических уравнений. Методов решения тригонометрических уравнений несколько, но невозможно будет их решить, не умея решать простейшие. Уравнения с косинусом учащиеся уже умеют решать, на данном уроке познакомить их с уравнениями, содержащими синус. Для решения простейших тригонометрических уравнений используется трёхшаговый алгоритм:

1. составить общую формулу;
2. вычислить значение арксинуса (арккосинуса);
3. подставить найденное значение в общую формулу.

Вспомнить формулу для решения уравнения с косинусом и предложить учащимся выполнить самостоятельную работу (7-8 минут).

На экран, с помощью ноутбука, выводится задание:

I вариант	II вариант
Решите уравнения:
1. 2. 3. 4. 5.	1. 2. 3. 4. 5.

После выполнения данной работы на экран вывести решение, учащиеся сверяют своё решение с решением на экране. При необходимости провести необходимую коррекцию, учителю ответить на вопросы, которые возможно возникнут у учащихся по решению уравнений. Учащиеся выставляют себе оценку (по количеству верно решённых уравнений).

Рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение: где -1

Определение: Если то arcsin a (арксинус а) – это такое число из отрезка синус которого равен а. Итак:

если то
arcsin a = х

Теперь сделаем общий вывод о решении уравнения

Если то уравнение имеет две серии решений: х₁=

В трёх случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

=1 , x =
= 0 , x =
= -1, x = —

Объяснить учащимся, что означает в формуле запись (+ 2, почему в одном случае 2.

Есть формула в сокращённом виде, она выглядит так х = (-1) k arcsin a + Но об этом мы поговорим позже, когда научимся пользоваться основной формулой, т.к. сейчас в задании С₁ в тестах ЕГЭ предпочтительнее пользоваться не этой сокращённой формулой, а формулой записанной в виде двух.

Рассмотрим решение простейших уравнений:

(оформление решений на доске, 1, 6, 8 – объяснение учителя, остальные – учащиеся)

1. Sin x =
2. Sin x =
3. Sin x = 1
4. Sin x =
5. Sin x =
6. Sin 2x =
7. Sin
8. 2Sin (3x —
9. 2Sin (

Для решения уравнений учащиеся (особенно слабоуспевающие учащиеся) пользуются таблицей тригонометрических значений (таблица на демонстрационном стенде и на столах учащихся).

Но лучше при нахождении корней уравнения пользоваться единичной окружностью:

(научить учащихся находить значения по числовой окружности).

Проконтролировать умения учащихся решать простейшие тригонометрические уравнения можно с помощью предложенной ниже самостоятельной работы:

(Задание выводится на экран, заранее текст набрать на ноутбуке и вывести на экран):

I вариант	II вариант
1	Вычислите: arcsin	1	Вычислите: arcsin
2	Решите уравнения: sin x = 0	2	Решите уравнения: sin x = -1
3	Sin x =	3	Sin x = 0,5
4	Sin x = —	4	Sin x =
5	2sin x =	5	2 sin x = —
6	Sin (2x —	6	Sin (

Учащиеся сдают тетради с выполненной самостоятельной работой учителю на проверку. Учитель объявляет, что за любые пять заданий выставляется отметка «5», за четыре – «4», за три «3», отметка «2» выставляться не будет, нужна будет дополнительная работа с учащимися, не справившимся с работой (если такие будут). И далее повторное выполнение работы, идентичной данной.

После этого учитель показывает на экране решение самостоятельной работы.

Провести рефлексию. Дать учащимся возможность проанализировать свои ошибки (а такие учащиеся найдутся, т.к. в общеобразовательной школе на базовом уровне математику изучают все учащиеся и слабоуспевающие в том числе).

Подвести итоги урока.

Учащимся записать домашнее задание: выучить формулу, изученную на уроке; прочитать теоретический материал по учебнику и выполнить упражнения из учебника по данной теме (с указанием №№).

Провести анализ урока:

Урок проведён в 10 «б» классе.

Количество учащихся – 26. Данный материал оказался доступным и интересным для учащихся. В самостоятельной работе учащиеся показали уровень сформированности навыков решения простейших тригонометрических уравнений (приведён в таблице). Тема урока актуальна тем, что в ЕГЭ (часть В, задание С₁) включены в основном простейшие уравнения и у учащихся по данной теме должны быть сформированы устойчивые знания и умения.

Результаты самостоятельных работ:

Из таблицы видно, что в основном все учащиеся справились с уравнениями, хотя есть над, чем поработать ещё на следующем уроке. В уравнениях с косинусом нужна коррекция знаний учащихся, с синусом – выполнять тренировочные упражнения для ликвидации пробелов. В основном учащиеся допускают ошибки при нахождении корней уравнения по единичной окружности или таблице. Минус работы с таблицей – слабые учащиеся не смогут её выучить, а значит на ЕГЭ, возможно, не смогут правильно записать ответ. На первых этапах изучения темы ею можно пользоваться, но на последующих уроках нужно развивать навык работы с единичной окружностью до автоматизма. Тема эта была изучена до решения уравнений, с применением методов.

Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Разобраны свойства функции sinx. Приведено решение уравнения sinx=a. Разобраны 4 примера.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Эпиграф урока: ”Изучать что-либо и не задумываться над

выученным — абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

Основные цели: 1) Повторить с учащимися определение и свойства функции

у = sinx и ее график.

2) Сформировать умение решать простейшие

тригонометрические уравнения, а также уравнения,

сводящиеся к простейшим в результате преобразования

1) Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/

Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.Нешков, С. Б.Суворова;

Под ред. С. А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Прсвещение,1997. –

272 с.: ил. – ISBN 5-09-007514-X.

2) Галицкий М.Л. и др.

Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для

учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. – 3-е изд. – М.: 1996. –

1.Вводная беседа (о программе, тетрадях, требованиях).

Фронтально проверить домашнее задание.

2.Повторение материала по вопросам.

a) Дать определение sinx.

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг с центром, расположенным в начале координат, и радиусом равным единице (это так называемый тригонометрический круг). Для любого действительного числа х можно провести радиус OQ этого круга, образующий с осью абсцисс угол, радианная мера которого равна числу х (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки).

Пусть конец единичного радиуса OQ, соответствующего углу х,

совпадает с точкой Q(a;b) окружности; тогда координаты (a;b) точки Q называют координатами конца радиуса, соответствующего углу х.

Определение . Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу х, называется синусом угла х и обозначается sinx.

Поскольку каждому значению величины угла х на тригонометрическом круге соответствует единственная точка Q(a;b) такая, что радиус OQ образует угол х с осью абсцисс, то введенное отображение y = sinx является функцией.

б) Область определения функции . Так как для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции y = sinx – множество действительных чисел. Пишут D(sin) = R.

в) Область значений функции . E(sin) = [-1;1]. Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрического круга, может принимать лишь значения на отрезке [-1;1]. С другой стороны, для каждого значения ординаты b из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату. Следовательно, это значение b будет синусом угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

г) Периодичность . Наименьший положительный период функции равен 2π . Докажем это. Поскольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую со всей окружностью, равен 2π , то точки, соответствующие углам х, (х+2π), (х -2π), изображаются на тригонометрическом круге одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны. Это означает, что число T=2π является периодом рассматриваемой функции. Докажем, что это наименьший положительный период. Рассмотрим значение функции y = sinx, равное единице. Оно достигается, только если х = π/2 + 2πn, n є Ζ. Следовательно, никакое число, меньшее 2π не может быть периодом.

д) Четность или нечетность . Рассмотрим (рис.2) точки M и N, соответствующие на тригонометрическом круге углам х и –х. Поскольку всякий круг симметричен относительно любой прямой, проходящей через его центр (а ось Оx является такой прямой), и равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси Оx, следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для любого значения х выполнено

sin(-x) = -sinx, т. е. функция y = sinx является нечетной.

е) Точки пересечения графика с осями координат . График пересекает ось Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнением sinx=0, т. е.

х = πn, n є Ζ; график пересекает ось Оу в точке с ординатой,

определяемой равенством y = sin0, т.е. у = 0.

ж) Промежутки знакопостоянства функции . Так как ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в нижней полуплоскости, отрицательны, то sinx > 0 при

х є (2πk; π + 2πk), k є Ζ; sin x

з) Наибольшее и наименьшее значение . Наибольшее значение, равное 1, достигается при х = π/2 + 2πn, n є Ζ ; наименьшее значение, равное -1, достигается при х = — π/2 + 2πn, n є Ζ ;

и) Интервалы возрастания и убывания . Функция не является монотонной на всей области определения; она является монотонной на отрезках: возрастает при х є ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ; убывает при

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ .

Для исследования функции на возрастание и убывание воспользуемся признаком возрастания и убывания, то есть найдем производную

f ́ (x) = (sinx) ́= cosx. Так как абсциссы точек, лежащих в правой полуплоскости положительны, то cos x >0 при х є ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk),

k є Ζ, следовательно, функция y = sinx будет возрастать на каждом промежутке вида ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ . Абсциссы точек, лежащих в левой полуплоскости, отрицательны, т.е. cos x

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ ; следовательно, на этих промежутках производная отрицательна и функция y = sinx будет убывать на промежутках вида (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ.

к) Асимптоты . График функции асимптот не имеет.

3. Изложение нового материала.

Решение уравнения sin х = а.

Поскольку по определению синусом угла называется ордината точки, лежащей на окружности единичного радиуса, то для решения уравнения

sin x =a надо найти на окружности все точки имеющие ординату a, т.е. лежащие на прямой y = a, см. рис.4

По теореме о взаимном расположении прямой и окружности на плоскости заключаем, что при |a| > 1 прямая и окружность общих точек не имеют, следовательно и рассматриваемое уравнение не имеет решений. Если |a| = 1, то прямая

y = a касается окружности, т.е. имеет с ней ровно одну общую точку C. Наконец, если |a|

Для записи решения уравнения sin x = a вводят понятие арксинуса числа a. Чтобы однозначно определить угол х0 , соответствующий числу а, приходится требовать выполнения дополнительного условия, например, чтобы этот угол принадлежал интервалу [-π /2; π /2].

Определение. Арксинусом числа а, а є [-1;1], называется такое число х0, принадлежащее отрезку [-π /2; π /2], синус которого равен а. Это число обозначается arcsin a.

Из определения следует, что для каждого числа а, |a| ≤ 1, выполнено

sin(arcsin a) = a и −π /2 ≤ arcsin a ≤ π /2;

и наоборот, если выполнены условия

sinx = a и −π /2 ≤ a ≤ π /2 ,

С помощью введенного понятия удобно записать решение уравнения. По определению, точке пересечения A соответствует угол х1 = arcsin a, см. рис.4. Учитывая периодичность функции y = sin x, получим серию решений

x = arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Точка В, как отмечалось, симметрична точке А относительно оси Оу, поэтому ей соответствует угол х2 = π − arcsin a, поэтому можно записать вторую серию решений

x = π − arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Других решений рассматриваемое уравнение иметь не может, поскольку противное означало бы, что окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.

Для сокращения записи две полученные серии решений обычно объединяют в одну

x = (-1) arcsin a + πk, k є Ζ .

При четных значениях k эта формула соответствует первой серии решений; при нечетных — второй.

4. Решение нескольких примеров на доске.

Пример 1 . Решить уравнение sin(π /6 – 2x) = √3 /2.

□ Имеем π /6 – 2x = ( — 1) arcsin √3 /2 + πk. Так как arcsin √3 /2 = π /3, то

π /6 – 2x = ( — 1) π /3 + πk, откуда х = — ( — 1) π /6 + π /12 + πk /2, или

х = (-1) π /6 + π /12 (6k + 1), k є Ζ.■

Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна заданному.

При решении тригонометрических уравнений часто используются разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки).

Пример 2 . Решить уравнение sin x = sin 2x cos 3x.

□ Применив к sin 2x формулу синуса двойного аргумента, получим

sin x = 2 sin x cos x cos 3x; sin x (1 — 2 cos x cos 3x) = 0.

Так как множители в левой части этого уравнения имеют смысл при любых значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: sin x = 0 и

1 — 2 cos x cos 3x = 0.

Первому уравнению удовлетворяют значения x = πn, n є Ζ.

Для решения второго уравнения преобразуем произведение косинусов в сумму; имеем 1 – (cos 4x + cos 2x) = 0. Поскольку 1- cos 4x = 2 sin 2x, уравнение принимает вид 2sin 2x – cos 2x = 0, или 2(1-cos 2x)-cos 2x = 0, откуда получим 2cos 2x + cos 2x – 2 = 0— квадратное уравнение относительно cos 2x. Полагая cos 2x = z , имеем 2z + z – 2 = 0. Решив это уравнение, находим z1 = (-1 + √17) /4, z2 = (-1-√17) /4. Так как

|z2| =|(-1-√17) /4| >1, то уравнение cos 2x = z2 не имеет решений. Остается решить уравнение cos 2x = (-1 + √17) /4. Имеем 2х = ± arccos(√17-1) /4 + 2πk, k є Ζ. Итак получаем ответ: x = πn; х = ± (1 /2)arccos(√17 -1) /4 + πk, k,n є Ζ. ■

При решении уравнения методом разложения на множители оно может не быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из найденных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла.

Пример 3 . Решить уравнение (1-sinx)(tg x-3) = 0.

□ Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1-sinx = 0 и tg x-3 = 0; если sinx = 1,то получим

x = π /2 + 2πk, k є Ζ; (1)

если tg x = 3, т. е. tgx = ±√3, то

x = ±π /3 + πn, n є Ζ. (2)

Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (1) и (2). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смысла для значений

x = π /2 +πn (n є Ζ), поэтому первое из предполагаемых решений непригодно и ответом является только второе решение x = ±π /3 + πn, n є Ζ.■

Пример 4 . Решить уравнение cosx cos2x cos4x = 1/8.

□ Наиболее быстрый способ решения – умножение правой и левой частей равенства на 8sinx, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sinx = 0, т.е. значения x = πn (nєΖ), так как они не удовлетворяют исходному уравнению.

После умножения на 8sinx уравнение примет вид

8sinx cosx cos2x cos4x = sinx.

Последовательно трижды применив формулу sin2x = 2 sinx cosx, получим сначала 4sin2x cos2x cos4x = sinx, затем 2sin4x cos4x = sinx и далее

sin8x = sinx, или sin8x — sinx = 0.Преобразуя по формуле

sinx-siny = 2cos(x+y)/2 sin(x-y)/2 разность синусов в произведение, получаем

Пусть sin 7x/2 = 0, тогда 7х/2 = πk (k є Ζ), откуда х = 2πk /7, k є Ζ, причем следует исключить значения х = 2πn (n є Ζ), получающиеся при k = 7n, как посторонние для исходного уравнения. Пусть теперь cos 9x/2 = 0;

тогда 9х/2 = π /2 + πm (m є Ζ), откуда х = π (2m +1) /9 (m є Ζ), причем следует исключить значения х = π(2n +1) (n є Ζ), получающиеся при m=9n+4 (nєΖ),как посторонние для исходного уравнения.

Итак, получаем ответ: х = 2πk /7, где целое k ≠ 7n, n є Ζ; х = π (2m + 1) /9, где целое m ≠ 9n + 4, n є Ζ. ■

5. Заключение урока.

1) теоретико-прикладные итоги урока; дифференцированная оценка

уровня ментального опыта учащихся: уровня усвоения ими темы,

компетентности, качества устной и письменной математической речи;

уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла;

3) сбор тетрадей с домашней работой на выборочную или сплошную