Уравнения содержащие модуль 8 класс конспект урока

«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Конспект урока в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича (профильный уровень) по теме «Алгебраические уравнения».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока в восьмом классе по учебнику А.Г. Мордковича ( профильный уровень), по теме : «Алгебраические уравнения», 14 урок по теме, параграф № 37, « Уравнения с модулями».

«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».

Урок разработан учителем

школы №74, г.Н.Новгорода

Шаповаловой Еленой Владимировной.

Цели урока :- формирование умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений; осуществлять поиск решения задач синтетическим методом; учиться наблюдать и анализировать.

Тип урока : Изучение нового материала.

1) Повторение изученного материала;

2) Актуализация прежних знаний и способов действия;

3) Мотивация учебной деятельности;

4) Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.

2. Операционно-познавательный этап.

1. Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов решения)

3. Рефлексивно-оценочный этап.

1. Сопоставление целей и результатов урока;
2. Первичный контроль усвоения знаний;
3. Постановка домашнего задания;
4. Подведение итогов урока.

( к уроку прилагается презентация )

На доске записаны задания:

1) |х|=5; Сколько корней имеет данное уравнение?

Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?

2) |х-3|=5. Какие способы вы можете предложить для решения данного уравнения?

После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и аналитическим способами на доске.

х-3=5 х-3=-5 у=|х-3|, сдвиг графика

х=8 х=-2 у=|х| на 3 ед. вправо.

Ответ: х=8,х=-2. У=5 –прямая || оси абсцисс.

3) Прочитать и объяснить словесную запись:

П.О.( предполагаемый ответ)Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.

П.О.Найти точки, которые находятся от точки -5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.

Вопрос: В чем заключается геометрический смысл модуля?

П.О. Расстояние между точками на координатной прямой.

4) Записать аналитическую модель рисунка:

5) |х-2|=3 Вопрос: в чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?

П.О. Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.

Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.

Вопрос: как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?

6) Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля |х+5|=3, найдите его корни, используя координатную прямую.

П.О. Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки -5.

Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.

П.О. Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

а) найдем расстояние между точками -5 и 2.

б) т.к. х равноудалена от точек -5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2=3,5

в) найдем координату точки: -5+3,5=-1,5 или 2-3,5=-1,5

Молодцы! Назовите способ, с помощью которого мы с вами решили данное уравнение. Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься сегодня на уроке? Попробуйте сами сформулировать тему сегодняшнего урока.

2 этап урока . Учащиеся записывают в тетрадь тему урока: « Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.»

1).Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:

П.О. Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2.

Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.

Найдите расстояние между точками 2 и 1.

Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1;2].

Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.

П.О. Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.

3).|х-1|+|х-2|=3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?

П.О. Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.

Уравнение имеет 2 корня: х=0;х=3.

4).Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение:

5).|х-3|-|х-7|=4 В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?

П.О. Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.

Т.к. расстояние между 3 и 7 равно4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.

6).|х-7|-|х-3|=-4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ , обязательно изобразить решение на координатной прямой).

Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод.

П.О. Сумма расстояний всегда положительна, а разность может принимать любое по знаку число.

Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками, вызванными к доске задания:

и еще раз проговаривают схему решения данных уравнений

Подведем итог урока:

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Сколько способов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, вы знаете?

В чем заключается геометрический смысл модуля?

Запишите в тетради задания на дом:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Геометрическая интерпетация при решении уравнений, содержащих знак модуля

Материал данного урока содержит «нестандартный» метод, который позволяет более эффективно решать уравнения, содержащие модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8.

Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы

Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы 1. Уравнение вида If(x)I =a, a €RРешение: ·.

Открытый урок с использованием информационных технологии по теме «Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины».

Математика в школе – это достаточно сложный предмет для ребенка. Использование на уроках математики новых информационных технологии позволяет повысить интерес к предмету и мотивацию учащих.

Решение уравнений, содержащих знак модуля (абсолютной величины)

В настоящее время на выпускных экзаменах за курс средней школы и на вступительных экзаменах в различные учебные заведения предлагаются уравнения с модулем и параметрами, решения которых часто вызывает.

Доклад «Решение уравнений, содержащих знак модуля»

Решение уравнений, содержащих знак модуля и параметры

презентация к уроку.

Элективный курс «Уравнения и неравенства содержащие знак абсолютной величины»

Данный элективный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического образования и ориентирован на углубление и расширение предметных знаний по математике.

Конспект урока по алгебре в 8-м классе по теме «Графический метод решения уравнений с параметрами, содержащих знак модуля»

Разделы: Математика

Оборудование: компьютерный класс, мультимедиапроектор.

Тип урока: урок — объяснения нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Доброе утро, дорогие ребята! Начнем наш урок с небольшого эксперимента над собой…

Перед Вами лежат листок бумаги…Обведите на нем свою руку… Продолжите, пожалуйста, предложения, характеризующие Ваше эмоциональное состояние в данный момент:

Мизинец – Мне сейчас…
Безымянный – Я хочу…
Средний – Я буду…
Указательный – Чего я жду от урока…
Большой – Мне интересно…

А на ладошке нарисуйте солнышко, с помощью которого изобразите свое настроение сейчас… Сверните свои листочки и отложите их в сторону, мы вернемся к ним позже…

Сегодня нам предстоит продолжить наше знакомство с уравнениями с параметрами. На прошлых уроках мы научились решать не только линейные уравнения с параметрами, но и с уравнениями, содержащими два параметра, решали дробно-рациональные уравнения, рассматривали задачи, при решении которых мы прибегали к решению уравнений с параметрами, решали уравнения с параметром и знаком модуля аналитическим способом. Но это, конечно, далеко неполный перечень и нам предстоит узнать еще много нового о параметрах. И вот сегодня на уроке мы с вами будем учиться решать уравнения с параметрами, содержащие знак модуля и рассмотрим графический метод решения таких уравнений и для построения графиков функций мы будем использовать специальную компьютерную программу Advanced Grapher, ну а в конце урока нам придется поднапрячь все свои мозги и написать небольшой тест по материалам предыдущих уроков. Итак, запишем тему урока “Графический метод решения уравнений с параметрами, содержащих знак модуля” (Слайд 1)

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом

А сейчас мы с помощью математической эстафеты проверим, как Вы усвоили материал предыдущих уроков. (Слайд 2, 3)

Учащимся предлагается набор заданий, которые надо выполнить следующим образом: сначала выполняется первое задание; число, полученное в результате его выполнения, есть номер следующего задания, выполнив его, получаем номер следующего задания и т.д.

Окончательный ответ, записанный на листочке, ученики должны молча показать учителю.

1. При каком значении параметра b уравнение не имеет корней bx – 2=b+4x. (При b=4)
2. При каком значении параметра b корень уравнения 3x=b в 3 раза меньше корня уравнения х+8b=50 – x. (При b=5)
3. Сколько корней имеет уравнение при a=4,5. (3 корня)
4. При каком значении параметра уравнение имеет множество решений. (при а=2)
5. При каких значениях параметра m график функции y=mx+5 проходит через точку с координатами (-1;2). (При m=3)

Первые 3 человека ответивших верно получают положительные оценки, листочки с выполненными работами собираются. С остальными учащимися задание разобрать помогают успешно справившиеся ученики.

Давайте вспомним основные определения и понятия, которые понадобятся нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

— Что называется параметром? (независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом)

— Что значит решить уравнений с параметром? (для каждого значения параметра найти множество решений уравнения)

— Давайте вспомним, что такое модуль? (|a|=) (Слайд 4)

— В чем заключается его геометрический смысл? (Модуль — это абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой) (Слайд 4)

— Какие методы решения уравнений с параметрами Вам известны? (Аналитический метод, графический метод)

— С каким способом решения уравнений с модулем мы уже знакомы? (Аналитический метод)

— Давайте вспомним, в чем заключается суть графического метода решения уравнений? (Строим в одной системе координат графики функций для правой и левой части уравнений, находим точки пересечения графиков, определяем их абсциссы – это и будет решение уравнения)

3. Объяснение нового материала

Существуют следующие виды уравнений с параметрами, содержащих знак модуля: (Слайд 5)

Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение только первого вида. Рассмотрим алгоритм решения уравнений вида |f(x)|=a. (Слайд 6)

Алгоритм решения уравнений вида |f(x)|=a

Если общих точек у графиков нет, то данное уравнение решений не имеет

Из данного алгоритма видно, что для решения уравнений с модулем нам придется строить график функции y=|f(x)|. А как же построить график функции y=|f(x)|?

Рассмотрим рисунки (Слайд 7, 8).

На этих рисунках изображены графики функций y=x и y=|x|, y=-x 2 и y=|-x 2 |, у=2x+3 и y=|2x+3|.

Какие значения принимают функции, не содержащие знак модуля? (Все действительные значения)

Какие значения принимают функции со знаком модуля? (Неотрицательные значения)

Как вы думаете, с чем это связано? (Это следует из определения модуля)

Как располагаются части графика, расположенные выше и ниже оси Ох? (Они симметричны относительно оси Ох)

Давайте попытаемся сформулировать алгоритм. Дети сами формулируют алгоритм построения графика функции, содержащего знак модуля. (Слайд 9)

Часть графика функции y=f(x), которая лежит ниже оси Ох отобразить симметрично относительно оси Ох

4. Первичное осмысление нового материала

Работа с шаблоном

Задание 1. Построить график функции y=|-x 2 +3| (Слайд 10)

Advanced Graphr 2.11 – это гиперссылка на программу Advanced Grapher 2.11, при нажатии на которую запускается программа для работы с графиками. У детей на партах есть шаблон графика функции у=x 2 (парабола), с помощью нее учащиеся строят в тетрадях график функции у=|-х 2 +3|, а учитель комментирует каждый шаг на компьютере с помощью программы Advanced Grapher. Вопросы для обсуждения:

• Как построить график функции у=-х 2 с помощью шаблона? (поместить вершину в начало координат, ветви расположить вниз)
• Как построить теперь график функции у=-х 2 +3? (сдвинуть график функции на 3 единицы вверх)

После этого мы видим, что часть графика расположена выше оси Ох, а часть ниже оси Ох. Обведем цветным карандашом ту часть, которая расположена выше оси Ох.

Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох нам надо симметрично отобразить относительно оси Ох в верхнюю положительную полуплоскость. Для этого загнем наш шаблон по оси Ох. Обведем цветным карандашом ту часть шаблона, которая оказалась выше оси Ох. Должен получиться следующий график.

Задание 2. Сколько корней имеет уравнение |-x 2 +3| = а при различных значениях параметра a?(Слайд 11, 12, 13, 14)

Построим в одной системе координат графики функций y=|-x 2 +3| и y=a.

Рис. 1. График функции у= |-x 2 +3|

Рис. 2. График функции y=a.

Построить прямые: a= -3, а= 0, а=1, а=3, а=4. Сделаем вывод!

Учитель демонстрирует передвижение прямой параллельной оси Ох с помощью презентации Microsoft PowerPoint. На рисунке прямая анимирована, она движется снизу вверх, показывая различные промежутки значений параметра а.

— (-; 0). Данный промежуток соответствует значениям параметра а, удовлетворяющим неравенству а 3 и при этих значениях параметра а уравнение имеет 2 корня.

Заполняем листок ответов.

Если a 3, то уравнение имеет 2 корня

Ответ: при a 3 уравнение имеет 2 корня,

при a=3 уравнение имеет 3 корня, при 0

Задание 3. Для каждого значения параметра а укажите число корней уравнения

2х|х| + х 2 – 6х = а. (Слайд 15)

Одного из учеников можно посадить на головной компьютер, чтобы потом через мультимедиапроектор проверить правильность выполнения работы.

Этот слайд презентации также содержит гиперссылку на программу Advanced Grapher 2.11, что позволяет абсолютно безболезненно запустить программу, не закрывая при этом презентацию, которая используется в дальнейшем.

Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы.

Дети выполняют задание самостоятельно на компьютерах и заполняют бланк ответов.

Перед выполнением задания учитель сообщает основные правила записи формул:

1. Степень числа мы запишем основание степени^показатель степени
2. ^ Shift+6
3. Модуль выражения мы запишем abs(выражение)

У каждого ребенка на столе лежит мануал по использованию программы Advanced Grapher 2.11 (Приложение 2)

При а 9 ___________________

при _________ один корень, при __________ два корня, при ______ три корня.

Проверяем правильные ответы. (Слайд 16)

Какой из рассмотренных случаев лишний? Объясните свой ответ. (а=0, т.к. это одно из возможных значений из промежутка -3 >.

Далее появляется окно вопроса, на который нужно выбрать верный ответ.

Всего база содержит 20 вопросов, из которых ученикам предлагается случайным образом 10.

На каждый вопрос ребенку предлагается 3 варианта ответа, которые также выбираются случайным образом из базы ответов. По каждому вопросу в программе заложено 5 вариантов ответов, из которых только один является верным. Естественно, я предусмотрела, чтобы верный ответ входил в число трех предложенных! Такая организация проверки знаний учащихся несомненно предотвращает списывание, так как хоть и есть вероятность повторения вопросов, варианты ответов у разных детей будут различны.

После выполнения теста появляется результатирующее окно, в котором указывается количество верных ответов, процент правильности выполнения теста, оценка. Оценка ученику выставляется в соответствии с количеством верных ответов.

“5” ставится, если ученик ответил верно, более чем на 90% теста,

“4” ставится за 75%-89% верных ответов,

“3” получает ученик, ответивший на 50%-74% теста,

“2” ставится учащемуся, ответившему менее чем на 50% вопросов.

Все результаты прохождения теста сохраняются в файле return.txt. Это помогает учителю проследить, что ученик выполнял свой тест один раз, а не более.

Учащиеся, получившие неудовлетворительную оценку, могут посмотреть допущенные ими ошибки, а также прочитать теоретический материал по данной теме, который хранится в файле help.doc.

Если на уроке осталось время, можно предложить учащимся решить следующие задания. Приложение 4

7. Подведение итогов урока

Итак, сегодня на уроке мы с Вами научились решать уравнения с параметром, содержащие знак модуля графическим методом, проводили исследование с помощью компьютерной программы Advanced Grapher, проверили свои знания с помощью тестовой системы. Какой метод решения уравнений с параметром, содержащих знак модуля является по Вашему мнению более легким, доступным?

8. Рефлексия (Слайд 18)

А теперь я попрошу Вас взять листочек и написать свое эмоциональное состояние после нашего урока. Напишем его в виде небольшого сочинения – сиквейна.

1 строка — Три существительных, которые отвечают Вашему внутреннему состоянию

2 строка — Три глагола, которые отвечают Вашему внутреннему состоянию

3 строка — Три прилагательных, которые отвечают Вашему внутреннему состоянию

4 строка — Одно слово с “!” на конце

5 строка — Законченное предложение

Все сегодня постарались на славу, и Вы заслуживаете не просто похвалы, но и сладкого приза! (Учитель дарит всем по шоколадке и обязательно помните про присутствующих на уроке гостей!)

Всем спасибо, урок окончен! (Слайд 19)

Фоторепортаж с урока можно посмотреть в приложении 5.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 241345 0