Уравнения соприкасающейся нормальной и спрямляющей плоскостей

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin \vec=\vec(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end

Пусть в точке $M$ $ \vec(t_0)\neq\vec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec(t_0)$.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec$).

Если $\vec=\$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec-\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

\begin \left| \begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \\ \end \right|=0 \end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec(t_0)\times\vec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec(t_0) \times\left[\vec(t_0),\vec(t_0)\right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$: \begin \left(\vec-\vec(t_0),\, \vec(t_0),\, \vec(t_0)\times\vec(t_0)\right)=0. \end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec(t_0)><|\vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ \vec<\beta>=\frac<\vec(t_0)\times\vec(t_0)><|\vec(t_0)\times\vec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ \vec<\nu>=\frac<\vec(t_0) \times[\vec(t_0),\,\vec(t_0)]><|\vec(t_0) \times [\vec(t_0),\,\vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end

\begin \left| \begin X-0 & Y-0 & Z-1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end \right|=0 \end Раскрываем определитель, получаем уравнение: \begin -2X-Y+2Z-2=0 \end

\begin 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac<2>,\,\, z=\frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, поэтому записываем определитель \begin \left| \begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end \right|=0 \quad \Rightarrow \end

\begin (X-t_0)\cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin \left| \begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -2 \end \right|= 0 \end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_<01>=2,\, t_<02>=-\frac25. \end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end

Уравнения соприкасающейся нормальной и спрямляющей плоскостей

Пространственные кривые. Задание пространственной кривой. Регулярное задание кривой. Регулярная кривая. Неявное задание пространственной кривой. Касательная к пространственной кривой. Единичный вектор касательной. Бинормаль и главная нормаль и их единичные векторы. Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Ускорение при криволинейном движении и векторы сопровождающего трехгранника. Кривизна пространственной кривой. Теорема о прямой. Кручение пространственной кривой. Теорема о плоской кривой. Формулы Френе. Естественный параметр и натуральные уравнения кривой.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной кривой в пространстве называется образ открытого интервала при его гомеоморфизме в евклидово трехмерное пространство.

Общей кривой на плоскости называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное прямой.

Как и в случае плоских кривых, всякая общая кривая допускает покрытие элементарными кривыми.

Кривая задана неявным способом

если координаты каждой точки кривой удовлетворяют обоим уравнениям .

Наиболее удобны и наиболее часто используются векторно-параметрическое представление

и координатно-параметрическое представление

отличающиеся лишь формой записи.

Определение регулярности параметрического представления пространственной кривой полностью аналогично плоскому случаю.

Неявное задание (5) кривой регулярно в точке , если матрица частных производных

имеет в этой точке ранг 2.

Понятия длины кривой, ее естественной параметризации, а также определение касательной полностью аналогичны тем же понятиям для плоских кривых. Направляющий вектор касательной — это, по-прежнему, производная , имеющая физический смысл скорости, если параметрическое представление кривой интерпретировать как кинематическое описание движения точки.

Нормальная плоскость кривой в точке — это плоскость, проходящая через точку ортогонально касательной.

Соприкасающейся плоскостью кривой в ее точке (рис. 17) называется содержащая эту точку плоскость , удовлетворяющая соотношению

где — точка, принадлежащая элементарной окрестности точки .

Спрямляющей плоскостью кривой в ее точке называется содержащая эту точку плоскость, ортогональная нормальной и соприкасающейся плоскостям в этой точке.

Прямые, ортогональные соприкасающейся и спрямляющей плоскостям в точке , называются соответственно бинормалью и главной нормалью кривой в точке .

Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости образуют сопровождающий трехгранник кривой , или трехгранник Френе , в точке , и называются его гранями . Касательная, бинормаль и главная нормаль называются ребрами сопровождающего трехгранника (рис. 18).

Уравнения элементов сопровождающего трехгранника вычисляются по следующим правилам:

Касательная	Нормальная плоскость
Бинормаль	Соприкасающаяся плоскость
Главная нормаль	Спрямляющая плоскость

Единичные векторы

касательной

главной нормали

бинормали

Если параметризация естественная , то вектор главной нормали может быть вычислен по формуле .

Вектор ускорения может быть разложен в сумму двух составляющих: нормальной (ортогональной вектору скорости) и тангенциальной (параллельной вектору скорости). При этом нормальная составляющая ускорения сонаправлена единичному вектору главной нормали.

Пусть и — две различные точки кривой , соответствующие значениям и естественного параметра. Тогда — длина дуги кривой, заключенной между точками и . Пусть — величина угла, образуемого касательной к кривой в точке по отношению к касательной в точке . Кривизна кривой в ее точке — это предел

В отличие от кривизны плоской кривой, кривизна пространственной кривой всегда положительна . Кривизна пространственной кривой в регулярной точке может быть вычислена по формулам:

если параметризация естественная.

Пусть и — две различные точки кривой , соответствующие значениям естественного параметра и соответственно, и — единичные векторы бинормалей в этих точках (рис. 19).

Обозначим за величину угла между ними. Очевидно, этот угол равен углу, образованному соприкасающимися плоскостями в точках и .

Абсолютным кручением кривой в точке называют величину

Кручение кривой определяется в соответствии со следующим правилом: если при движении вдоль кривой по направлению возрастания параметра вектор бинормали поворачивается в сторону, указываемую вектором , в противном случае. Наглядно это означает, что кривая с положительным кручением «закручена» по правилу правого винта.

Кручение кривой в точке, соответствующей значению параметра , может быть вычислено по следующим формулам:

Для производных векторов , по естественному параметру справедливы формулы Френе :

Уравнения и называются натуральными уравнениями кривой. По натуральным уравнениям вид кривой может быть восстановлен с точностью до перемещения. В большинстве случаев решение такой задачи оказывается очень сложным.

1. Для данных представлений кривых укажите область допустимых значений параметра и область значений параметра, в которой задание кривой регулярно.
1)
2)
3)
4) .

2. Кривая задана неявными уравнениями. Изобразите на рисунке вид кривой. Постройте какое-нибудь параметрическое представления этой кривой. Укажите область допустимого изменения параметра и область регулярности параметризации.
1)
2) R,\;\; y>0;$ —> R,\;\; y>0;$»>
3)

3. Кривая Вивиани образована пересечением сферы радиуса и цилиндра радиуса , проходящего через центр сферы. Постройте параметрическое представление кривой Вивиани.

4. Винтовая линия. Окружность радиуса движется так, что ее центр перемещается вдоль оси , плоскость ортогональна оси . По окружности равномерно движется точка. В начальный момент времени точка имеет координаты . Составьте параметрические уравнения кривой, описываемой данной точкой.

5. Кривая задана пересечением цилиндрических поверхностей и Постройте параметрическое представление кривой , не содержащее радикалов, и дайте ее изображение.

6. Покажите, что линия

принадлежит сфере и является линией пересечения параболического и кругового цилиндров.

7. Найдите длину дуги линии

между плоскостями и .

8. Покажите, что кривая замкнута и имеет длину .

9. Запишите в естественной параметризации
a) винтовую линию ;
б) гиперболическую винтовую линию .

10. Кривая задана параметрически: 0. \end —>

Напишите уравнения
а) касательной и нормальной плоскости в точке (1/4; 1/3; 1/2);
б) касательной, параллельной плоскости .

11. Найдите линию, по которой касательные к линии

Сферической индикатрисой данной кривой называется геометрическое место концов единичных касательных векторов, отложенных от начала координат.

12. Дана винтовая линия

a) Напишите уравнение семейства касательных этой кривой;
б) убедитесь в том, что все касательные к винтовой линии образуют с плоскостью один и тот же угол;
в) составьте уравнение кривой, образуемой точками пересечения касательных с плоскостью ;
г) найдите сферическую индикатрису винтовой линии.

13. Докажите, что все нормальные плоскости кривой Вивиани (задача 3) проходят через начало координат.

14. Составьте уравнения бинормали и главной нормали кривой в указанной точке:
1)
2)
3) ;
4)

15. Найдите точки на кривой

в которых бинормаль параллельна плоскости .

16. Материальная точка движется в пространстве по закону

Укажите моменты времени, в которые
а) ее скорость равна нулю, и сравните их со значениями параметра , при которых параметризация траектории нерегулярна;
б) нормальное ускорение точки ортогонально .

17. Составьте уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника данной кривой в указанной точке
1)
2)
3)
4)

18. Для данной кривой вычислите кривизну в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных касательных векторов данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.
1) 0,\;\; b\ne 0, \;\; t_0=\pi/2$ —> 0,\;\; b\ne 0, \;\; t_0=\pi/2$»>
2)

19. Для кривых задачи 18 вычислите абсолютное кручение в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных векторов бинормали данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.

20. Вычислите кривизну и кручение данной кривой произвольной регулярной точке:
1) 0,\;\; b\ne 0$ —> 0,\;\; b\ne 0$»>;
2)
3)
4) .

21. Найдите точки распрямления следующих кривых:
1)
2)
3) .

22. Найдите точки уплощения и дуги, на которых кручение сохраняет свой знак, у следующих кривых:
1)
2)

23. Напишите натуральные уравнения, которым удовлетворяют следующие кривые:
1) 0,\;\; b\ne 0$ —> 0,\;\; b\ne 0$»>;
2)

24. Найдите точки на кривой

в которых кривизна принимает локально минимальное значение.

25. Найдите точки на кривой

в которых радиус кривизны достигает локального максимума.

26. Докажите, что следующие кривые плоские, и составьте уравнения плоскостей, в которых они расположены:

27. Найдите такую функцию , чтобы кривая

была плоской. Решите задачу двумя способами: 1) используя условие плоскости и 2) используя тот факт, что искомая кривая принадлежит круговому цилиндру (составьте его уравнение!). Результаты сравните.

28. Докажите, что если все соприкасающиеся плоскости линии проходят через неподвижную точку , то линия плоская.

29. Докажите, что если соприкасающиеся плоскости линии (отличной от прямой) параллельны некоторому вектору , то линия плоская.

30. Докажите, что если все нормальные плоскости линии параллельны некоторому вектору , то линия или прямая, или плоская.

Лекция Пространственные кривые. Сопровождающий трехгранник кривой. Формулы френе. Эволюта и эвольвента пространственной кривой

2.4 СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ.

Рассмотрим кривую в натуральной параметризации:

Г:

в окрестности точки . Здесь и далее в скобках приводятся соответствующие формулы для произвольного параметра. Наряду с точкой М_орассмотрим ещё две соседних точкиМ₁и М₂. Выше мы вводили понятие касательной, как предельное положение секущей М_оМ₁при М₁®М_о. Напомним, что вектор

(2.8)

‑единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастания параметраs.

Определение 2.1Кругом кривизны кривой Г в точке М_оназывается предельное положение окружности, проходящей через точки М_о, М₁и М₂при М₁®М_оиМ₂®М_о. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны, а её центр С – центром кривизны кривой Г в точке М_о.

Заметим, что радиус кривизны вычисляется по формуле

(2.9)

(2.9’)

называется кривизной кривой Г.

Определение 2.2Главной нормалью кривой Г в точке М_оназывается направленная прямая, идущая из точки М_ов центр круга кривизны.

Единичный вектор главной нормали находится по формуле:

(2.10)

или (2.10’)

Определение 2.3Бинормалью кривой Г в точке М_оназывается направленная прямая, проходящая через точку М_ои образующая вместе с положительной касательной и главной нормалью правую тройку, которая называется репером Френе (иногда — сопровождающим трёхгранником).

Единичный вектор бинормали находится по формуле:

(2.11)

или (2.11’)

Определение 2.3Нормальной плоскостью называется плоскость, перпендикулярная касательной. Спрямляющей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная главной нормали. Соприкасающейся плоскостью называется плоскость, перпендикулярная бинормали. Эти три плоскости иногда называют сопровождающим трёхгранником кривой.

2.4 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ

Единичные векторы касательной, нормали и бинормали связаны формулами Френе (без доказательства):

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Здесь — кривизна, а величина

(2.15)

или (2.15’)

называется кручением кривой Г в точке М.

Точки, где кривизна кривой равна нулю, называются точками распрямления, а точки, в которых кручение равно нулю, называются точками уплощения.

Для того, чтобы кривая была плоской, необходимо и достаточно, чтобы кручение в каждой её точке было равно нулю.

2.4ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

Определение 2.5Эволютойgкривой Г: называется геометрическое место центров кривизны этой кривой.

Для получения уравнения эволютыgзаметим, что , значит уравнение эволютыgимеет вид: (2.17)

Определение 2.6Если криваяgявляется эволютой кривой Г, то кривая Г называется эвольвентой кривойg.

а) единичные векторы касательной, нормали, бинормали;

б) уравнения касательной, нормали и бинормали;

в) уравнения нормальной, соприкасающееся и спрямляющей плоскостей;

г) кривизну и кручение;

д) составить уравнение эволюты.

а) Точке М_о(1, 0, 0) соответствует значение параметраt_o=0. Найдём производные радиус-вектора в этой точке:

Найдём единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали: ;

;

;

;

б) Поскольку вектор является направляющим вектором касательной, вектор — направляющим вектором главной нормали, а вектор — бинормали, запишем для точки М_о(1, 0, 0) канонические уравнения касательной:

,главной нормали:

и бинормали: .

в) Нормальная плоскость проходит через точку М_о(1, 0, 0) перпендикулярно вектору касательной , её уравнение: .

Соприкасающаяся плоскость проходит через точку М_о(1, 0, 0) перпендикулярно вектору бинормали , её уравнение: .

Спрямляющая плоскость проходит через точку М_о(1, 0, 0) перпендикулярно вектору нормали , её уравнение: .

г) Кривизна по формуле (2.9’): , .

Кручение найдём по формуле (2.15’): .

д) Уравнение эволюты найдём по формуле (2.17): .

Здесь ; .

Найдём , ,

,

.

Отсюда следует, что кривизна и кручение в точках винтовой линии имеют постоянное значение, .

Подставим найденное в формулу (2.17):

,

т.е. эволютой винтовой линии будет так же винтовая линия, но повёрнутая вокруг осиOzна 180°.