Уравнения состояния начальные и граничные условия

Начальные и граничные условия

Начальные и граничные условия

Начальные и граничные условия. Начальные условия задачи движения вязких несжимаемых жидкостей ничем не отличаются от условий движения идеальных жидкостей. Кроме того, в этом n, в другом случае, необходимо указать распределение скорости всей области, которая будет рассматриваться в начальный момент = 0. То есть, вам нужно указать следующие 3 функции: УГ (*. W. 2. 0) = ф] (*, у, 2), С (Х, y 2 0 = / 2（*> г-2) > В2 (Х, y 2 0 = / 3（* г. Г). 1) Монин А. С. Прикл, о Лагранжевом уравнении механики жидкости несжимаемых жидкостей. Мат.

Граничные условия для вязких жидкостей отличаются от граничных условий для идеальных жидкостей. Эта ситуация принципиально очень important. It следует особо подчеркнуть, что исследование движения вязкой жидкости, с математической точки зрения, отличается не только сложностью уравнений движения по сравнению с идеальным жидким случаем, но и особенностями граничных условий.

В очень многих задачах приходится рассматривать движение ИЛИ стационарное, или сводящееся к стационарному, и тогда вопроса о начальных условиях вовсе не возникает. Людмила Фирмаль

• Далее мы возвращаемся к формулировке граничных условий для вязких жидкостей. Мы рассмотрим 3 случая, которые понадобятся в будущем. 1) жидкость примыкает к неподвижной стенке, 2) жидкость примыкает к подвижной стенке, 3) жидкость окружена свободной поверхностью. Предположим, что скорость жидкости исчезает в точке, где вязкая жидкость соприкасается со стационарной стенкой.

Другими словами, в точке контакта вязкой жидкости с твердой неподвижной стенкой не только исчезает нормальная составляющая скорости, как в случае идеальной жидкости, но и тангенциальная составляющая скорости уменьшается до нуля. Поэтому вязкая жидкость прилипает к твердому телу wall. At в настоящее время считается, что это предположение достаточно хорошо подтверждается опытом.

В точке, где вязкая жидкость движется рядом со стенкой, необходимы следующие условия: для этих точек величина и направление скорости жидкости должны соответствовать скорости соответствующей точки стенки. Здесь рассмотрим случай свободной поверхности жидкости, находящейся в контакте с пустотой, где давление p0 равно нулю или давление в воздухе является постоянной величиной p0.

На такой поверхности в первую очередь должны выполняться кинематические условия: перпендикулярная свободной поверхности составляющая скорости должна совпадать со скоростью перемещения поверхности разрушения, а затем динамическая: вектор напряжений pn участка, контактирующего со свободной поверхностью. Surface. It должны быть ориентированы внутрь вдоль нормалей этих участков, и в числах, равных p0. So если ppp = — p0, pn $ — 0-5-это направление, в котором он касается поверхности в рассматриваемой точке.

Вот некоторые соображения, которые показывают, насколько важно правильно учитывать граничные условия. Рассмотрим уравнение вязкой несжимаемой жидкости (5. 4). Эти уравнения отличаются только в следующих терминах от уравнений идеальной жидкости: ugo * $ 2 * если вектор является 12-м*я имею в виду потенциальный вектор, то есть перейти * в =§ГАС! Икс » Тогда переходим к* 0 = 0, и уравнение вязкой жидкости совпадает с уравнением идеальной.

Итак, мы имеем довольно общее решение уравнений движения несжимаемой жидкости, как вязкой, так и идеальной. Однако это решение, п случае идеальной жидкости позволяющее рассмотреть целый ряд задач, в случае вязкой жидкости оказывается почти совершенно бесполезным. Людмила Фирмаль

• В частности, это случай невращательного движения, когда r * i = 0, т. е. φ= И по уравнению непрерывности, 9 является гармонической функцией. Это удовлетворяет уравнению Лапласа. Д9 =0. (6. 3 Например, предположим, что рассматривается задача о линейном и равномерном движении твердых тел в жидкости со скоростью o, параллельной оси x.

Тогда для идеальной жидкости существует только 1 граничное условие, которое должно выполняться во всех точках поверхности 5, ограничивающей body. In другие слова c05 (i, x) или-i) с$ (i, x), (6. 4 Вот, я в направлении поверхности 5 normal. It известно, что условие (6. 4) однозначно определяет внешнюю функцию поверхности 5 (9) гармонии, если пренебречь постоянным членом.

Для вязких жидкостей вместо (6. 4) существует 3 граничных условия во всех точках поверхности 5. И нетрудно заметить, что не существует решения уравнения (6. 5), удовлетворяющего всем условиям. Этот пример показывает, что сложность решения гидродинамической задачи вязких жидкостей заключается не только в сложной форме уравнений движения, но и в большем количестве граничных условий, чем в случае идеальных жидкостей.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8

Мы не станем приводить выкладок, сопровождающих обычный вывод уравнения импульса в дифференциальной форме, а рассмотрим на качественном уровне простой пример. Вычислим ускорение частицы, имеющей форму усеченного клина (рис. 1). Будем считать, что частица мала и имеет длину Dx, ширину Dy, высоту левой грани Dz и высоту правой грани (1+b)Dz. Число b играет роль параметра, определяющего форму частицы, при b=0 частица превращается в прямоугольный параллелепипед. Мы рассматриваем одномерную задачу, поэтому будем считать, что давление зависит только от координаты x. Найдем ускорение параллелепипеда в направлении оси X. Поскольку сила давления действует перпендикулярно поверхности, то следует учитывать только действие силы на левую, правую и верхнюю грани параллелепипеда. Обозначим величину давления слева через p1, справа — через p2.

На левую грань действует сила p1DyDz, на правую — (с учетом направления нормали) сила — p2Dy(1+b)Dz. Найдем силу, действующую на верхнюю грань. Ввиду малости частицы можно считать, что среднее давление на верхней грани равно 0.5(p1 +p2).Сила давления на верхнюю грань равна произведению этой величины на площадь грани и на единичный вектор, нормальный к грани. Нас интересует горизонтальная составляющая этого вектора, для чего его модуль нужно умножить на синус угла клина. В результате прозведение площади грани на синус будет равно Dy×bDz. Окончательно, с учетом направления действия сил давления (по нормали внутрь) ускорение частицы определится согласно третьему закону Ньютона: RDx Dy(1+0.5b)Dz × du/dt= p1DyDz- p2Dy(1+b)Dz+0.5(p1 +p2)Dy×bDz. После очевидных упрощений получим:

Результат, как мы видим, не зависит от параметра b, то есть от формы частицы. Отметим два существенных момента, которые мы использовали в рассуждениях: независимость величины давления от ориентации поверхности в пространстве и направление действия силы по нормали к поверхности. Ниже мы увидим, что для модели упругопластичности эти условия не выполняются и вид уравнения изменения импульса зависит от типа геометрии.

Приведем в заключение систему уравнений для двумерных задач:

Здесь оператор дивергенции имеет вид:

Показатель геометрии c=0 для плоского случая и c=1 для осесимметричного.

1.3.4.Уравнения состояния.

Мы привели выше наиболее распространенный вид уравнений состояния:

Здесь давление и внутренняя энергия вещества определяются некоторыми функциями плотности и температуры. В самих дифференциальных уравнениях газодинамики нет уравнения для определения температуры. Таким образом, второе из уравнений состояния служит для вычисления температуры по известным значениям плотности и энергии. Это не всегда бывает просто, особенно, если уравнение нелинейно относительно T.

В некоторых случаях этого можно избежать. Если температура не представляет самостоятельного интереса, то уравнение состояния можно задать в виде:

В этом случае используется только одно уравнение, такая форма уравнения состояния называется калорической. В некоторых задачах можно пойти еще дальше. Мы отмечали уже, что уравнение энергии можно трактовать как уравнение постоянства энтропии. Во многих реальных задачах энтропия изменяется, главным образом, под действием ударных волн, то есть, уравнение энергии фактически не выполняется. Тем не менее, в тех задачах, где ударные волны не возникают, или являются слабыми, уравнение энергии можно считать справедливым, по крайней мере, с некоторой точностью. Заметим, что из этого уравнения можно убрать время, которое фактически играет роль параметра, и записать его в виде:

Это — обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно проинтегрировать (в ряде случаев аналитически) и получить выражение энергии через плотность E=E(R). Подставив это выражение в уравнение для давления, мы получим выражение давления через плотность p=p(R). Такая форма уравнения состояния называется барической. Заметим, что энергию в этом случае можно вообще исключить из счета. Система уравнений при этом упрощается, поэтому барическая форма часто используется для построения аналитических решений.

Приведем несколько распространенных видов уравнений состояния. Для газов небольшой плотности используют уравнение состояния идеального газа. В калорической форме оно имеет вид:

Коэффициент G называют коэффициентом Грюнайзена, для воздуха G = 0.4, для одноатомных газов G = 2/3. Заметим, что G = g-1, где g — отношение теплоемкостей газа Cp/Cv при постоянном давлении и постоянном объеме.

При использовании температуры к уравнению состояния добавляется второе уравнение E=Cv×T. Напротив, при желании перейти к барической форме достаточно проинтегрировать уравнение

так что E = cRG, здесь c — константа интегрирования. В результате

Здесь a — также некоторая константа. В частности, для воздуха барическое уравнение состояния имеет вид p = a R1.4 .

Для более высоких значений плотности в уравнение состояния идеального газа вводятся некоторые поправки, например, учитывающие размер молекул газа, соответствующее уравнение носит название уравнения Ван-дер-Вальса. Мы не будем останавливаться на приближениях подобного рода, а приведем простое, но достаточно точное уравнение состояния Ми-Грюнайзена. В этом уравнении давление представляется в виде двух слагаемых, одно из которых зависит только от плотности и описывает поведение материала при нулевой температуре, а второе слагаемое соответствует идеальному газу и характеризует тем самым поведение вещества при малой плотности или высокой температуре. Соответственно этому энергия также представляется в виде двух слагаемых

Уравнение Ми-Грюнайзена имеет вид:

Первое слагаемое в выражении для давления называют упругим членом, второе — тепловым. В уравнении для энергии соответствующие члены называют упругой и тепловой энергией. Параметрами уравнений являются начальная плотность R0, начальная скорость звука C0, теплоемкость Cv, показатель степени n и коэффициент Если точку отсчета температуры выбрать так, чтобы начальное значение T равнялось нулю, то начальные значения давления и энергии также равны нулю. Уравнение Ми-Грюнайзена удовлетворительно описывает поведение металлов, пластмасс, жидкостей при давлениях, характерных для взрыва обычных ВВ и соударениях тел при скоростях до нескольких километров в секунду. Это уравнение можно для единообразия использовать и для описания газов. При этом можно использовать как тепловые члены, так и упругие, положив n = g. Часто используют оба члена, что позволяет выбрать удобные точки отсчета для давления и температуры, пример мы приведем ниже.

Состояние взрывчатых веществ до взрыва также можно описывать уравнением Ми-Грюнайзена. При взрыве (детонации) ВВ превращается в другое вещество — продукты детонации (ПД). Фактически — это газ, имеющий высокую плотность, порядка 2 г/см3 , и давление в несколько десятков ГПа. Уравнение состояния ПД можно описывать уравнением политропы в барической форме:

При этом для большинства мощных ВВ с удовлетворительной точностью можно полагать n = 3. Это позволило в свое время получить ряд важных аналитических решений. Уравнение политропы удовлетворительно описывает расширение газа на начальной стадии, что позволяет рассчитывать результаты непосредственного воздействия взрыва: сжатие металлов, формирование кумулятивных струй, взрывное метание и т. п. Для описания дальнейшего расширения газа необходимо учитывать тепловые члены, в результате чего более точное уравнение состояния ПД имеет вид:

В такой форме уравнение состояния ПД можно использовать как для расчета вышеназванных задач так и, например, фугасного действия взрыва.

1.3.5.Краевая задача.

Дифференциальные уравнения вместе с уравнениями состояния создают возможность расчета изменения состояния частицы во времени и ее положения в пространстве. При этом учитывается действие соседних частиц. В интегральной форме уравнений оно проявляется в виде сил, действующих на поверхность частицы, в дифференциальной — через пространственные производные. Так обстоит дело с частицами, которые полностью окружены соседями. Однако, в реальных задачах процесс обычно ограничен в пространстве и во времени, поэтому возникает проблема задания дополнительных условий. Применительно к динамическим задачам механики сплошной среды выделяют начальные и граничные условия. Совокупность системы дифференциальных (или интегральных) уравнений, уравнений состояния, начальных и граничных условий определяет постановку краевой задачи.

Мы будем рассматривать задачи, в которых расчет всех частиц начинается одновременно. В этом случае начальные условия должны содержать полное описание всех параметров частиц в начальный момент времени. Применительно к газовой динамике начальные условия должны содержать координаты, компоненты скорости и термодинамические величины, часть из которых, например, плотность и температура, могут быть заданы явно, а другие, в данном случае, энергия и давление — выражены через уравнения состояния. Если говорить о численной реализации, то к начальным условиям причисляют также типы уравнений состояния и их параметры, которые могут быть различными для разных частиц, а также другие счетные величины, о которых мы поговорим ниже.

Начальные условия задаются, как мы условились, в один момент времени во всех точках пространства. Граничные условия, напротив, определяются на границах рассматриваемого тела или системы тел во все моменты времени. Число граничных условий определяется, вообще говоря, порядком системы дифференциальных уравнений по пространственным переменным, мы не будем останавливаться на этом вопросе, а приведем конкретный вид для рассматриваемых задач. Границы задачи являются, вообще говоря, некоторыми искуственными образованиями, отделяющими интересующую нас область от остальной среды. Предполагается, что остальную среду не нужно рассчитывать либо потому, что она нас не интересует, либо потому, что ее поведение нам известно. Так или иначе, влияние этой среды на интересующую нас область нужно учитывать, что и делается с помощью граничных условий. Постановка граничных условий в большинстве случаев носит искуственный характер.

Рассмотрим, к примеру, задачу высокоскоростного соударения твердых тел, находящихся в воздухе. Характерные плотности и давления в самих телах много больше, чем в воздухе. Если нас не интересуют процессы в воздухе, например, образующаяся в нем фугасная волна, то мы можем упростить постановку задачи и рассматривать соударение тел в вакууме. На свободных границах тел в этом случае естественно задать давление, равное нулю. Этого достаточно, чтобы полностью определить постановку краевой задачи. Необходимо только учитывать изменение формы и, возможно, числа границ в течение процесса. Так, частица, находящаяся на поверхности, может после соударения оказаться внутренней и, напротив, внутренняя частица может оказаться на границе возникшей при разрушении трещины.

Остановимся чуть подробнее на вопросе об искусственном характере граничных условий. Заменяя в рассмотренном примере воздух вакуумом, мы, прежде всего, пренебрегаем постоянным давлением воздуха. Это может быть оправдано его малостью, но при желании такое давление можно учесть, задав его в качестве граничного условия. Сложнее учесть те изменения в давлении воздуха, которые происходят в результате его взаимодействия с соударяющимися телами. Корректная постановка задачи требует совместного расчета тел и воздуха, то есть нужно ставить новую краевую задачу с новыми граничными условиями, например, на границе невозмущенного воздуха. Это может существенно усложнить решение, в частности, потребовать более сложных программных средств.

Итак, мы выяснили, что задание граничных условий часто может быть связано с желанием выделить некоторый фрагмент из более общей задачи и должно обеспечивать приемлемую точность в описании влияния отброшенных частей на рассматриваемый фрагмент.

В газодинамике вместо давления на границе может быть задана нормальная компонента скорости. Примером может служить движение газа в трубе под действием перемещающегося поршня. Условный характер такой постановки также очевиден, поскольку предполагается, что скорость поршня задана и не зависит от возникающего в газе давления.

Помимо рассмотренных граничных условий физического характера используются также математические граничные условия. Так, если в задаче имеется плоскость симметрии, то для экономии достаточно искать решение в одной половине. На плоскости симметрии в газодинамике достаточно задать нормальную компоненту скорости равной нулю. Такое граничное условие называют для краткости «жесткой стенкой». Еще одно часто используемое условие, которое ставится так же и смысл которого ясен из названия — «ось симметрии». В одномерных задачах граница является точкой и там в цилиндрическом или сферическом случае скорость, равная нулю, задается в «центре», если он входит в расчетную область.

Мы рассматриваем невязкий газ, для вязкого случая необходимо помимо давления задавать касательную компоненту силы, а кроме нормальной скорости — касательную. При этом жесткая стенка может быть разной: при обтекании газом твердого тела задают условия прилипания (касательная скорость равна нулю), на плоскости симметрии касательную скорость не ограничивают, а рассчитывают с учетом симметрии действующих сил. Мы не будем на этом останавливаться, также не будем здесь рассматривать смешанные граничные условия (комбинацию скорости и давления).

1.4.Типичные газодинамические задачи.

В газодинамике имеется несколько характерных задач, знание которых позволяет во многих случаях представить себе общую картину течения, сложив ее из подобных кирпичиков. Не лишне отметить также, что типовые задачи должны входить в систему тестов для проверки новых методов или программ.

1.4.1.Акустическое приближение.

Газодинамические уравнения нелинейны, что серьезно осложняет их изучение и, в частности, нахождение аналитических решений. Между тем, многие свойства системы газодинамических уравнений могут быть исследованы на примере линеаризированной системы уравнений. Заметим, что линеаризация имеет в данном случае прямой физический смысл.

Рассмотрим развитие малых возмущений, возникших в покоящемся газе постоянной плотности R0. Уравнение состояния возьмем в барической форме и уравнение энергии рассматривать не будем. Ограничимся для простоты плоским одномерным случаем. Решение будем искать в виде u = 0 + Du, R = R0 + DR, p = p0 + Dp. Подставив эти выражения в уравнения газодинамики и отбросив члены второго порядка малости, получим

Малые смещения частиц, как мы видим, не входят в остальные уравнения, поэтому первое уравнение можно опустить и рассматривать только тогда, когда нас заинтересуют именно перемещения. Кроме того, введем обозначение

Константа C0 представлят собой, как мы увидим ниже, скорость звука. Константой она является поскольку производная вычисляется при постоянной плотности. Опуская еще для упрощения обозначений значок D, получим систему двух уравнений:

Эта система описывает распространение малых возмущений по неподвижному газу постоянной плотности и постоянного давления. Одна из распространенных задач, укладывающихся в эту постановку, — исследование звуковых волн, откуда и происходит название данной системы: уравнения акустики.

1.4.2.Характеристики.

С помощью несложных преобразований (почленного умножения первого уравнения на C0, сложения и вычитания) систему уравнений акустики можно привести к виду:

Введем новые независимые переменные x = x + C0 t, h = x — C0 t, а также новые функции

Нетрудно проверить, что в этих переменных система уравнений акустики приобретает вид:

Координатные линии h = const, вдоль которых меняется x, называются характеристиками первого семейства, x = const — второго. Функции L и S называются характеристическими инвариантами, или инвариантами Римана. Слово инвариант означает неизменный, что и следует из полученных уравнений. Действительно, функция L не меняется на характеристиках первого семейства, вдоль которых изменяется x, а h остается неизменной. Аналогично, функция S не изменяется вдоль характеристик второго семейства.

На плоскости (x, t) характеристики первого семейства представляют собой прямые x = C0t + const, идущие вправо-вверх, характеристики второго семейства x = — C0t + const идут влево-вверх. Рассмотрим, что случится с малым возмущением, заданным в начальный момент t = 0 в одной точке, например, x=0. Пусть возмущению подвергается плотность R(0,0) = r, во всех остальных точках оси x будем считать R = 0, а также всюду u = 0. Тогда L(0,0) = S(0,0) = C0r, во всех остальных точках L = S = 0. В момент времени t функция L будет отлична от нуля в точке x1= C0t, а S — в точке x2 = — C0t. Выражая значения R и u в этих точках через инварианты, получим: R(x1,t) = 0.5r, u(x1,t) = 0.5r C0/R0, R(x2,t) = 0.5r, u(x2,t) = -0.5r C0/R0. Во всех остальных точках по x в этот момент времени возмущения плотности и скорости равны нулю. Наше рассмотрение носило формальный характер, мы фактически не позаботились о том, чтобы рассматриваемые функции были дифференцируемы и могли удовлетворять системе дифференциальных уравнений. Для устранения подобных неточностей существуют известные технические приемы, например, возмущение задают не в одной точке, а в виде небольшой «шапочки», плавно переходящей в ноль вблизи выделенной точки, либо используют аппарат обобщенных функций.

Используя подобные рассуждения нетрудно получить аналитические выражения решения акустической системы в любой момент времени через начальные значения. Мы не будем на этом останавливаться, нам достаточно отметить, что возмущения, заданные в какой-либо точке распространяются вправо и влево со скоростью C0. Эту скорость принято называть скоростью звука, независимо от того, имеет ли возмущение форму звуковых колебаний, или носит произвольный характер. Для нелинейной системы газодинамики картина качественно остается такой же, только характеристики перестают быть прямыми, а скорость звука зависит от решения и не является постоянной. Для барического уравнения состояния скорость звука определяется из соотношения

Тем же самым соотношеним можно пользоваться и для других форм уравнения состояния, если считать, что производная вычисляется при постоянной энтропии. Так как для реальных веществ давление растет с ростом плотности, то скорость звука вещественна и характеристики по-прежнему идут вправо-вверх и влево-вверх и возмущения распространяются с конечной скоростью. Ниже мы увидим, что в нелинейных задачах возмущения могут распространятся не только со скоростью звука, но и с большей — со скоростью ударной волны. Однако, это не меняет картину в целом, более того, мы увидим, что скорость ударной волны больше скорости звука перед волной, но несколько меньше, чем скорость звука за фронтом этой волны, так что характеристиками по-прежнему можно пользоваться для оценки области влияния.

Наличие постоянной или характерной скорости звука определяет в газодинамических задачах масштабы времени. Характерное время задачи имеет порядок размера рассматриваемой области, деленного на скорость звука. Временной масштаб разрешения равен характерному размеру частиц, деленному на скорость звука.

Мы говорили выше, что граничные условия часто используются для того, чтобы из большой задачи выделить некоторый фрагмент. Сейчас мы покажем, какую роль в этом может сыграть знание скорости распространения возмущений. Существует типичная задача расчета сжатия сферически симметричной или почти симметричной слоистой системы под влиянием внешнего воздействия. Расчет полной задачи, включая расчет воздействия обычно является достаточно дорогим. Допустим, что мы его провели и получили давление как функцию времени на границе слойки и теперь хотим провести ряд одномерных расчетов с целью оптимизации конструкции. Предположим, что варьировать мы собираемся плотность центральной области. Понятно, что изменение постановки задачи должно привести и к изменению давления на границе слойки, однако ограниченность скорости распространения возмущений позволяет в течение некоторого времени пользоваться старыми граничными условиями. Оценим это время.

Пока идет сжатие внешних слоев, картина полностью повторяет основной вариант. Отличия начинаются в момент, когда волна сжатия дойдет до варьируемого слоя. Возникшее при этом возмущение пойдет наружу со скоростью звука и в некоторый момент достигнет внешней границы и начнет влиять на граничное условие. До этого момента расчет полностью корректен и, если к этому времени в центральной области успели произойти интересующие нас события, счет можно закончить. В случае необходимости его можно продолжать еще некоторое время. Граничное условие и задача в целом при этом будут считаться неверно, однако область неверного счета будет распространяться внутрь снова со скоростью звука и, если нас интересуют события только в центральной области, мы можем продолжать счет до момента, когда влияние границы второй раз дойдет до центральной области. Разумеется, выводы по задаче в этом случае можно делать только относительно параметров в центре.

Мы рассмотрели роль характеристик в одномерных задачах. В двумерном случае картина в целом такая же: в акустике возмущения распространяются в виде кругов, радиус которых растет со скоростью C0. Подобную картину каждый из нас видел: круги на воде. В газодинамике в связи с непостоянством скорости звука вместо кругов могут распространяться некоторые овалы. В трехмерном случае возмущения имеют вид сфер или подобных им поверхностей.

Характеристикам посвящена разнообразная литература, желающим познакомиться с ними подробнее я могу рекомендовать книгу Рождественского и Яненко [[4]].

1.4.3.Волна разрежения.

Волны разрежения встречаются в большинстве газодинамических расчетов и являются важными фрагментами, участвующими в конструировании общей картины течения. Мы рассмотрим волну разрежения на примере плоского одномерного течения газа с барическим уравнением состояния. Для этого случая существует аналитическое решение, которое в общих чертах воспроизводит характер течения в любых волнах разрежения. Рассмотрим бесконечную трубу, правая половина которой заполнена газом. В начальный момент времени перегородка, отделяющая газ от вакуума убирается и газ начинает двигаться влево по трубе. Вправо по трубе со скоростью звука распространяется возмущение, перед которым газ остается неподвижным. Волна разрежения таким образом охватывает конечную, но постоянно растущую, область между границей газа с вакуумом и границей с неподвижным газом. Наша задача заключается в том, чтобы найти эти границы и рассчитать распределение величин внутри данной области.

Мы будем искать решение, предполагая, что задача является, так называемой, автомодельной. Понятие автомодельности (самоподобия) является исключительно плодотворным в решении многих задач математической физики и, в частности, газодинамики. Задача считается автомодельной, если ее решение можно представить в виде функций от некоторых комбинаций независимых переменных. При этом важно, чтобы число комбинаций было меньше, чем число исходных переменных, что собственно уменьшает размерность задачи и существенно облегчает нахождение аналитического или численного решения. В данном случае принцип автомодельности позволит нам свести систему одномерных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Поиск автомодельных решений сыграл очень важную роль в первые годы работы над атомным проектом и другими прикладными задачами, в дальнейшем по мере роста мощности вычислительных машин и совершенствования численных методов непосредственное использование автомодельности в расчетах уменьшилось, но ряд найденных решений сохраняет и сейчас важное значение для понимания исследуемых процессов.

Признаки автомодельности основываются обычно на анализе размерностей физических величин, участвующих в задаче. Здесь слово размерность употреблено в физическом смысле, а не в качестве числа независимых переменных. Возможность представления задачи о волне разрежения в автомоделном виде сводится к тому, что в ней нет характерных величин, имеющих размерность длины и времени. Единственная величина, значение которой присутсвует изначально — это скорость звука C0, имеющая размерность x/t. Это наводит на мысль принять эту дробь в качестве новой независимой переменной:

Если кому-то подобные соображения не кажутся убедительными, то посоветуем ему удовлетвориться тем, что высказанная догадка приводит к нужному результату.

Запишем уравнения газодинамики на этот раз в эйлеровой форме, уравнение состояния будем считать барическим p = p(R):

Учтем связь между дифференциальными операторами по старым переменным x, t и новой переменной x:

Подставляя эти выражения в уравнения и умножая на t, получим

Исключим из второго уравнения p с помощью уравнения состояния

где C — скорость звука. Тогда

В результате мы получили систему двух линейных однородных уравнений

Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо чтобы ее определитель равнялся нулю:

В результате после очевидных упрощений получаем:

Правая граница волны разрежения соответствует значению u = 0, при этом значение x = x/t должно быть положительным, следовательно перед C следует выбрать знак минус. Исключая из первого уравнения u=x-С, получим

Дальнейшее рассмотрение мы проведем для случая идеального газа, когда уравнение состояния можно взять в форме p = aRg. Тогда C2 = agRg-1. Для упрощения выкладок возьмем g = 3 и обозначим b = Ö(ag), тогда C = bR и последнее уравнение приобретает вид:

Интегрируя, получим R = x/(2b) + const, или R = x/(2bt) + const. Константу интегрирования определим из условия R = R0 на правой границе волны разрежения, траектория которой x = C0t = bR0t, что в нашем случае дает окончательно

На левом конце волны разрежения плотность обращается в ноль (для идеального газа), так как там p = 0. Это означает, что x/t = — C0, так что левый фронт движется влево со скоростью, равной скорости звука в невозмущенном газе, то есть с такой же, как правый фронт движется вправо. Типичный график, полученный численным методом, приводится на рисунке:

Рис. Плотность газа в волне разрежения.

Параметры газа выбраны так, что C0 = 1. На рисунке приводится график плотности на момент t = 50. Начальное положение границы соответствовало x = 0. Начальная плотность равнялась единице. Видно, что фронт волны ушел вправо на 50 единиц, на такое же расстояние влево продвинулась контактная граница. Плотность действительно распределяется по линейному закону. Исключение составляет небольшой участок вблизи границы с вакуумом, но это — дефект разностной схемы. Речь идет о частице газа, плотность которой должна стремиться к нулю, разностные схемы обычно плохо работают в подобных ситуациях.

Распределение скорости внутри волны разрежения в нашем случае также находится без труда: u = x — C = x/t — bR = x/t — 0.5(x/t + C0) = 0.5(x/t — C0):

График скорости выглядит следующим образом:

Рис. Скорость газа в волне разрежения.

Видно, что распределение скорости также линейно. Несколько сложнее выглядит график давления:

Рис. Давление в волне разрежения.

Мы не будем приводить аналитическое выражение для давления, его можно выразить через плотность.

Напомним, что значение g = 3 типично для продуктов детонации. Для других значений g выкладки несколько усложняются, мы приведем для справки выражение для скорости:

Левый фронт при этом движется со скоростью u = -2/(g-1)×C0, что, например, для воздуха превышает скорость звука в 5 раз. На рисунке приведен численный расчет разлета воздуха в вакуум.

Рис. Скорость воздуха в волне разрежения.

Видно, что в численном расчете скорость контактной границы u = — 1.35 занижена по сравнению с аналитической , это связано с тем, что плотность при таком значении g изменяется нелинейно и особенно мала вблизи границы:

Рис. Плотность воздуха в волне разрежения.

К вопросу о том, насколько можно доверять численным расчетам и как их интерпретировать, мы вернемся во второй главе. Пока что можно заметить, что ошибка мала в районе головной части волны разрежения и возрастает около контактной границы. Заметная ошибка в скорости относится к ничтожно малой массе воздуха.

Мы рассмотрели случай разлета газа в вакуум. Если слева находится газ под меньшим давлением, то распределение плотности и других величин в волне разрежения будет тем же, но в более узкой области. Плотность теперь будет спадать не до нуля, а до некоторого конечного значения, левее этой точки решение будет другим, подробнее мы на таких задачах остановимся ниже.

1.4.4.Ударная волна.

Рассматривая волну разрежения, мы уменьшали давление на границе газа. При этом в данной постановке газ начинал разлетаться влево, а вправо по невозмущенному фону двигался фронт волны разрежения. Посмотрим теперь, что в той же начальной постановке произойдет, если давление на границе начать плавно повышать от начального значения p0. Очевидно, что граница вещества начнет двигаться вправо и вправо же со скоростью C0 будет двигаться граница возмущений. Область между этими границами называют волной сжатия. Численный расчет представлен на рисунке.

Рис. Давление в волне сжатия, t =10.

В типичных случаях, если давление на границе растет монотонно, так же монотонно справа налево в волне сжатия растет плотность. Для реальных уравнений состояния с ростом плотности растет и скорость звука C. Это означает, что задние возмущения движутся быстрее передних и в какой-то момент их траектории (характеристики) пересекутся. Легко понять, что перед пересечением характеристики, двигающиеся с разной скоростью звука сближаются, так что градиент скорости звука растет и в момент пересечения характеристик обращается в бесконечность. Одновременно становятся бесконечными градиенты плотности и давления. Подобная ситуация изображена на рисунке (в численном решении бесконечный градиент заменяется «очень крутым», подробнее об этом в следующей главе).

Начальные и граничные условия

Здравствуйте, продолжаем нашу рубрику по дифференциальным уравнениям, это уже 2 статья, если вы хотите начать сначала и ознакомиться с видами дифференциальных уравнений, то вам в первую статью.

Введение

Итак, для использования численных методов при решении дифференциального уравнения необходимо дополнительные условия. Если искомая функция(концентрация, температура и т.д) является функцией времени u=u(t), то требуются начальные условия, которые являются значением этой функции в момент времени, принятый за начальный:

Если начальная функция также зависит и от пространственных координат u=u(t,x), то начальное условие характеризуют ее распределение в пространстве в начальный момент времени:

В последнем случае помимо начальных условий требуются еще и граничные условия, которые имеют значения функции u(t,x) на границе изучаемой системы для любого момента времени. Причем, если искомая функция зависит от нескольких пространственных координат, то необходимо задавать граничные условия по каждой из них.

Небольшой пример

Например для следующего уравнения:

• начальное условие
• 2 граничных условия по координате
• 1 граничное условие по координате
• 2 граничных условия по координате

Сразу же возникает вопрос, почему именно так? Так вот, порядок производной определяет количество граничных условий для переменной. Как вы заметили, по y присутствует только первая производная, поэтому и одно граничное условие.

Классификация граничных условий

Для лучшего понимания рассмотрим классификацию на примере уравнения:

будет изменятся от до , соответственно при , будет левая граница, а при , будет правая.

Граничные условия 1-ого рода

Записываются следующим образом:

— функции, зависящие от , как пример:

Граничные условия 2-ого рода

Здесь вместо самих функций используются их первые производные.

Граничные условия 3-ого рода

Смешанные граничные условия

В этом случае левое и правое граничные условия могут быть разных родов:

Заключение

На этом мы подходим к концу нашей статьи. Сегодня мы с вами изучили начальные и граничные условия в дифференциальных уравнениях. Если вам что то осталось непонятным, то это нормально, не пугайтесь. В будущих статьях мы будем еще подробнее разбираться с этими и другими тонкостями, ну а на сегодня это все.

Спасибо, что прочитали статью, если у вас остались вопросы, то задавайте их в комментариях.
И, буду вам очень признателен, если вы вступите в нашу группу вконтакте, ссылка на которую размещена слева вверху под названием сайта.