Уравнения состояния цепи в матричной форме

Уравнения состояния цепи в матричной форме

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где — источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:

.

(1)

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток как сумму токов k -й ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

Подставив (2) в (1), получим:

.

(3)

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

,

(4)

где Z – диагональная квадратная (размерностью матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

,

(6)

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В , записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c = n — m +1 . Выражение (6) запишем следующим образом:

.

(7)

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j –го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j –й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,

(8)

где — столбцовая матрица контурных токов; — транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,

(10)

.

(11)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

,

(12)

где — матрица контурных сопротивлений; — матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

,

(13)

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла ( m =4) и шесть обобщенных ветвей ( n =6). Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

B

Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

Матрица контурных сопротивлений

Z_k=BZB T

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

где — диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

,

(15)

..

(16)

Выражение (16) перепишем, как:

.

(17)

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А , равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

.

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:

.

(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

(20)

,

(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

(22)

где — матрица узловых проводимостей; — матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

(23)

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла ( m =3) и 5 ветвей ( n =5) . Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

А

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Y

где .

Матрица узловых проводимостей

.

Матрицы токов и ЭДС источников

Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем заключаются преимущества использования матричных методов расчета цепей?
2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.
3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.
4. Составить узловые уравнения для цепи на рис. 2.

Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Применение матриц к расчету электрических цепей

Применение матриц к расчету электрических цепей:

Математическая символика и правила матричной алгебры позволяют упростить запись систем уравнений, получающихся при расчете сложных электрических цепей. В этом отношении матричную алгебру можно сравнить со стенографией, которая облегчает и ускоряет запись.

Напомним, что матрица представляет собой совокупность величин, называемых ее элементами и расположенных в виде прямоугольной таблицы 1. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Матрица, содержащая один столбец, называется столбцовой или матрицей-столбцом.

Приведенная система уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа для контурных э. д. с. и контурных токов, может быть представлена в виде произведений квадратной матрицы собственных и общих сопротивлений контуров на столбцовую матрицу контурных токов.

При этом следует помнить, что произведением двух матриц называется матрица, элементы которой равны сумме произведений всех элементов соответствующей строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы. Итак, уравнения (7-2) в матричной форме имеют вид:

Данное матричное уравнение может быть решено относительно матрицы . Для этого обе стороны уравнения должны быть умножены на матрицу, обратную матрице

.

Как известно, для получения обратной матрицы необходимо заменить в исходной матрице-каждый элемент его алгебраическим дополнением, затем заменить строки соответствующими столбцами и полученную таким образом матрицу разделить на определитель исходной матрицы. Напомним, что алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется умноженный на определитель, получающийся из элементов матрицы после исключения i-й строки и k-то столбца. В .свою очередь определителем матрицы называется определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, расположенных в том же порядке, что и в матрице. Итак, обратная матрица имеет вид:

здесь— тот же определитель системы.

Произведение обратной матрицы на исходную матрицу равно единичной матрице, т. е. квадратной матрице, у которой все элементы главной диагонали (идущей от левого верхнего угла к правому нижнему) равны единице, а остальные элементы равны нулю.

где— единичная матрица.

Матрица, получающаяся в результате замены строк соответствующими столбцами, называется сопряженной или транспонированной относительно исходной матрицы,

Произведение единичной матрицы на матрицу равно матрице поэтому

или в развернутой форме

В результате умножения матриц получаются выражения для контурных токов вида (7-4).

Аналогично решается матричное уравнение для узловых напряжений

где— столбцовые матрицы токов, заданных в узлах, и искомых узловых напряжений; — квадратная матрица собственных и общих проводимостей узлов;

В результате умножения матрицына матрицу получаются выражения для узловых напряжений вида (7-6).

Матричная алгебра широко применяется для расчета сложных четырехполюсников.

В случае относительно простой электрической схемы без взаимной индукции матрица контурных сопротивлений легко записывается непосредственно по заданной схеме. В более сложных случаях матрица контурных сопротивлений может быть получена с помощью матрицы сопротивлений ветвей. Ниже показана связь, существующая между матрицами контурных сопротивлений и сопротивлений ветвей . Вывод, сделанный в общей форме, проиллюстрирован на примере простой схемы рис. 7-25, легко решаемом обычным способом.

•Обозначим токи, напряжения, э. д. с. и сопротивления ветвей индексом «в», а соответствующие контурные величины — индексом «к». Связь между токами в ветвях и контурными токами выражается зависимостью

Здесь — м а т р и ц а контуров .(инциденцин). Число ее строк равно числу ветвей, а число столбцов числу контурных токов. Элементами матрицы контуров служат числа +1, — 1, и 0, +1 означает, что выбранные на схеме положительные направления тока в ветви и контурного тока совпадают; —1 берется, когда их направления различны;- наконец, 0 означает, что данная ветвь не входит в рассматриваемый контур.

Существует также и зависимость между матрицами проводимостей

Например, для схемы рис. 7-25 имеем:

Уравнения вида (М2) по второму закону Кирхгофа в матричной форме записываются так:

где — матрица, транспонированная относительно матрицы контуров и отличающаяся от последней тем, что строки заменены столбцами.

Строкатак же как и столбец || С ||, содержит кроме нулей единицы на местах, соответствующих ветвям данного контура; поэтому «произведение» ее на дает алгебраическую сумму напряжений ветвей этого контура. Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на ветвях

любом контуре равна нулю, т. е. «произведение» любой строки на столбец должно равняться нулю, что и выражает (7-21).

Например, для схемы рис, 7-25 имеем:

Считая, что направления э. д. с. и токов в ветвях совпадают, получаем матрицу напряжений на ветвях в виде

Подстановка (7-20) и (7-22) дает:

а подстановкой (7-23) в (7-21) получаем:

Сопоставив это уравнение с уравнением для контурных токов

приходим к выводу, что э. д. с. в ветвях и контурные э. д. с. связаны матричным уравнением

а матрица контурных сопротивлений получается по формуле

Для схемы рис. 7-25 матрица сопротивлений ветвей записывается в виде

Матрица контурных сопротивлений согласно (7-25) равна:

• Дуальные цепи
• Электромеханические аналогии
• Индуктивно связанные электрические цепи
• Фильтры и топологические методы анализа линейных электрических цепей
• Теорема обратимости (или взаимности)
• Теорема компенсации
• Теорема об изменении токов в электрической цепи при изменении сопротивления в одной ветви
• Теорема об эквивалентном источнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Трансформаторные подстанции высочайшего качества

с нами приходит энергия

develop@websor.ru

Уравнения цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединений А и матрицей контуров В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие режим цепи, в матричной форме, при этом получаются и выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1.39), и матрицы контурных сопротивлений (1.53).
Запишем еще раз в матричной форме первый и второй законы Кирхгофа (1.26) и (1.27):

AI = 0; BU = 0, (1.58)

где I — матрица-столбец токов ветвей; U — матрица-столбец напряжений между концами ветвей.
Подставив (1.57) в (1.58), получим

Это выражение справедливо при всех значениях , поэтому для любой заданной электрической цепи.
Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщенной ветви — двухполюсника общего вида (рис. 1.25). Для такой ветви I’ = I + J и U = rI’ — Е, откуда следует, что

Это так называемые компонентные уравнения (связывают напряжение и ток ветви).
В матричной форме для всех ветвей схемы вместо (1.60) и (1.61) получим обобщенный закон Ома

U = r(I + J) — Е, (1.63)

где g — диагональная матрица проводимостей ветвей; r — диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Уравнения Кирхгофа (1.58) — топологические уравнения — вместе с компонентными уравнениями (1.62) или (1.63) составляют полную систему уравнений линейной электрической цепи в матричной форме.
Для получения узловых уравнений в матричной форме умножим (1.62) на матрицу А

AI = AgU + AgE — AJ = 0

и после замены по (1.40)

где -квадратная матрица узловых проводимостей; — матрица-столбец узловых токов, т.е. (1.64) совпадает с (1.38).
Для получения контурных уравнений в матричной форме умножим (1.63) на матрицу В

BU = BrI + BrJ — BE,

и так как BU = 0 (второй закон Кирхгофа) и (1.57), то

где — квадратная матрица контурных сопротивлений; — матрица-столбец контурных ЭДС, т. е. (1.65) совпадает с (1.51).
При расчетах режимов сложных электрических цепей с применением ЭВМ предварительно должна быть составлена ее эквивалентная схема — математическая модель цепи, состоящая из типовых элементов. Для цепей, которые рассматриваются в этой главе, это резистивные элементы с сопротивлениями r , идеальные источники ЭДС Е и идеальные источники тока J. В общем случае добавляются зависимые или управляемые источники (см. гл. 8), индуктивные и емкостные элементы (для цепей переменного тока) и др.
В случае расчета с применением уравнений Кирхгофа (1.58) число решаемых уравнений равно 2В, т. е. число решаемых уравнений больше, чем при расчете методами узловых потенциалов и контурных токов, но ограничений на типы элементов нет, программа решения системы уравнений не требует перемножения матриц. Чтобы получить систему независимых уравнений, нужно выбрать независимые контуры, т. е. в общем случае выбрать дерево и ветви связи (обратиться к топологическим понятиям).
Число узловых уравнений (метод узловых потенциалов) меньше 2В, а именно У — 1. Топологические матрицы составлять не нужно, и перемножения матриц не требуется, так как (см. раздел) матрицы узловых проводимостей и узловых токов можно составить непосредственно для заданной схемы . Без преобразования схемы метод узловых потенциалов в матричной форме нельзя применять, если между какими-либо узлами включены ветви с идеальными источниками ЭДС, поскольку проводимость такой ветви бесконечно большая.
Число контурных уравнений (метод контурных токов) тоже меньше 26, а именно В -(У- 1). Но задача выбора системы независимых контуров остается. Перемножения матриц не требуется, так как матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС можно составить непосредственно для заданной схемы [см. (1.48а)]. Без преобразования схемы метод контурных токов в матричной форме нельзя применять, если схема содержит ветви с идеальными источниками тока, так как сопротивление такой ветви бесконечно большое.
При расчете режима цепи с применением ЭВМ, особенно в том случае, если схема содержит и управляемые источники, для устранения отмеченных недостатков применения уравнений Кирхгофа, узловых уравнений и контурных уравнений можно рекомендовать метод расширенных узловых уравнений (метод смешанных величин).