Уравнения спиралей в полярной системе координат

Уравнения кривых. Спираль Архимеда.

Архимедова спираль — плоская кривая сформированная траекторией произвольной точки, которая размеренно двигается по лучу берущему свое начало в O, одновременно с этим сам луч размерено обращается вокруг O. Перефразировав получаем, расстояние ρ пропорционально углу оборота φ луча. Обороту луча на одинаковый угол соответствует одно и то же увеличение ρ.

Уравнение, характеризующее Архимедову спираль, в полярной системе координат:

где k — сдвиг точки M по лучу r, при обороте на угол, который равен одному радиану.

Обороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ.

Число a — шаг спирали.

На основании этого уравнение Архимедовой спирали можно представить таким образом:

Когда поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, когда поворачиваем — по часовой стрелке — левую спираль. При положительной величине φ формируется правая спираль, отрицательной — левая спираль.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

.

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

Статья: Кривые, заданные в полярных координатах

Кривые, заданные в полярных координатах

Тема «Полярная система координат» позволяет познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием точки O(полюс), луча Ох (полярная ось) и единичного отрезка т. Кроме того, должен быть указан поворот луча Ох, называемый положительным. Пусть это будет поворот в направлении против движения часовой стрелки. Повороты луча, совершаемые в направлении, противоположном положительному, будем называть отрицательными.

Пусть М — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Обозначим через длину отрезка ОМ, а через — величину угла, образованного лучами Ох и ОМ. Числа и такие, что р>0 и 0 ф 0, 0 ≤ 2 . На этом свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике. Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах (рис. 10) имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.

Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.

Логарифмическая спираль — кривая с «твердым» характером. Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса — то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто Якобом Бернулли, называвшим ее spiramirablis— дивная спираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной при различных преобразованиях настолько поразили ученого, что он был склонен придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечь логарифмическую спираль на своем надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eademmutateresurgo» — «Измененная, возрождаюсь прежней».

Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где принимает значения от 0 до 2π.

Семейство роз Гранди

=sink ,

где k — положительная постоянная.

В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрас-ные цветы, о которых вы, наверное, подумали. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как

| sin(k | ≤1,

то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11,б, может показаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,

В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть0≤. Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от, то радиус изменяется от 1 до 0. Такимобразом, при изменении угла от 0 до , точкана плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .

Функция — периодическая с периодом π, кроме того,

sin(2( ,

поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Функция = sin2 на отрезке [0;монотонновозрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2kлепестков при четном kи из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k — иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков.

р 2 = 2соs2.

Лемниската Бернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться нера-венство соs2, поэтому она расположена между прямыми у=±х. Отметим также, что = при = 0.

Покажем, как построить лемнискату Бернулли. Но сначала отметим, что, поскольку квадрат полярного радиуса неотрицателен, должно выполняться неравенство соs2. Решая это неравенство, находим область допустимых углов:

0≤ ,

В силу периодичности функции соs2 (ее период равен π) достаточно построить график для углов в промежутке а в остальных случаях использовать периодичность

Итак, пусть Если угол изменяется от до π ,то cos2изменяется от 0 до 1 и, следовательно, изменяется от 0 до

Если угол изменяется от π до , то изменяется от до 0 .Таким образом при изменении угла от точка на плоскости описывает кривую, напоминающую половинку от восьмерки, и возвращается в начало координат. Вторая половинка получится, когда уголизменяется в пределах от 0 до и от до 2π.

Лемниската Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:

• угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке с радиус-вектором точки касания равен 2

• перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

• эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus— украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r₁ , и r₂ до двух данных точек F₁ , и F₂ (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния.

Впервые лемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654—1705) в 1694 г. Впоследствии Бернулли много часов своих занятий уделял лемнискате и нашел несколько ее интересных свойств.

В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвай-ных путях. Таким образом она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.

логарифмическая спираль полярный координата лемниската

= 2(1 — соs).

Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos— сердцеобразная).

Покажем способ построения кардиоиды.

Сначала выберем опорную окружность и ее радиус ОА примем за 1, а прямую ОА — за ось абсцисс, причем точка А произвольно выбирается на опорной окружности. Проведем другую окружность с центром в точке М, произвольно взятой на опорной окружности, и радиусом МА. Повторив затем такие построения для достаточно большого числа точек М, равномерно распределенных по опорной окружности, увидим, что огибающая всех окружностей радиуса МА и есть кардиоида (рис. 13).

Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользяший по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с vна —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.

Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия’ или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.

Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.

В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении длин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Кривые, рассмотренные в статье, нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.

Логарифмическая спираль в природе и технике

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нуж-но, чтобы угол резания сохранял постоянное значению, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала (рис. 64).

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рисунке 65, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая — против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т. е. отношение угловых скоростей этих колес, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам (рис. 66). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и ;роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечки расположены по дугам,близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.