Уравнения статики и уравнения динамики

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ И СТАТИКИ

Динамика рассматривает состояние движения, ход развития процессов во времени. Динамика процессов обычно описывается дифференциальными или разностными уравнениями.

Будем рассматривать систему

Поведение исследуемой системы описывается дифференциальными уравнениями. Так зависимость выходного сигнала от входного в общем случае можно описать следующим дифференциальным уравнением

. . , (2.1)

, , , … , ,

— начальные условия. Уравнение 2.1. является уравнением динамики рассматриваемой системы.

Пусть поведение системы Рис.2.1 описывается уравнением

Будем предполагать, что . Входной сигнал и сигнал на выходе системы , полученный в результате моделирования при нулевых начальных условиях, изображены на Рис.2.2.

В отличии от динамики, рассматривающей процессы протекающие в системе

во времени, статика изучает состояние покоя или равновесия. В этом случае

отсутствует временной фактор.

Из уравнения динамики (2.1), приравняв нулю все производные (так как режим установившейся), нетрудно получить уравнение статики системы

, (2.2)

где — постоянная входная величина, — установившееся значение выходной величины.

Из уравнения статики можно получить статическую характеристику системы, представляющую собой зависимость выходной величины от входной в статическом режиме

Представим статическую характеристику в виде графика Рис.2.3.

Статическая характеристика может быть получена экспериментально путем подачи на вход системы постоянных воздействий и измерения установившихся значений выходных величин.

Дата добавления: 2019-12-09 ; просмотров: 400 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Уравнения динамики и статики

При проектировании и исследовании САУ необходимо знать уравнения, описывающие их движения. Процессы в САУ описываются дифференциальными, разностными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями, которые называют ее математической моделью. При исследовании САУ на различных этапах математическая модель может быть различной. Начинают исследования САУ с простейшей математической моделью, а затем ее усложняют, учитывая дополнительные связи и влияния. Такой подход объясняется тем, что к математической модели предъявляются противоречивые требования. Математическая модель должна достаточно полно описывать динамику САУ и при этом быть по возможности простой.

В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения, в неявной форме которые могут быть записаны

, (3.1)

, где (3.2)

x, x ( i )	— управляемая (выходная) величина и ее производные ;
g, g ( j )	— задающая (входная) величина и ее производные ;
a_i и b_j	— постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы;
с и m	— числа, определяющие порядок производных , причем n определяет порядок дифференциального уравнения;
t	— независимая переменная (время).

Уравнения (3.1) и (3.2) могут быть записаны в явной форме, разрешенные относительно старшей производной (например, (3.2))

Данное дифференциальное уравнение в явной форме n-го порядка можно преобразовать в систему n дифференциальных уравнений первого порядка:

путем введения новых неизвестных

Если в дифференциальное уравнение (3.2) входит n неизвестных функций , тогда можно записать систему из n уравнений первого порядка в виде

где – переменные, характеризующие состояние системы.

В векторной форме дифференциальное уравнение будет иметь вид

где	X – вектор выходных величин (параметров состояний);
G – вектор задающих (входных) величин;
A – матрица объекта управления с элементами a_ij;
B – матрица задающих величин с элементами b_ij .

Широкое применение в ТАУ получила операторная форма записи дифференциального уравнения. Это объясняется тем, что от дифференциального уравнения посредством интегрального преобразования (например, преобразования Лапласа) переходят к операторной форме. Операторное уравнение является алгебраическим и его решение проще, чем дифференциальное. Затем из полученного решения операторного уравнения с помощью обратного преобразования получают решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение (3.1) при нулевых начальных условиях

в операторной форме можно записать

где — преобразование Лапласа от ;

— преобразование Лапласа от ;

— характеристический многочлен (3.1);

— изображение правой части (3.1);

— параметр преобразования Лапласа.

Операторная форма записи дифференциального уравнения, когда начальные условия по всем переменным равны нулю, совпадает с символической формой, когда , а p – символ дифференцирования. Поэтому для получения операторной формы записи дифференциального уравнения, когда начальные условия нулевые, применяют приемы символической формы.

Уравнение движения САУ в любой форме полностью описывает весь процесс управления, т.е. процесс изменения управляемых величин как в переходном, так и в установившемся режимах.

Под установившимся режимом понимают процесс, при котором регулируемая (управляемая) величина изменяется по закону, определяемому лишь законом изменения задающего воздействия. Установившейся режим САУ, относительно которого рассматривается движение системы в процессе управления, называется исходным.

Переходным режимом называется изменение управляемой величины при переходе САУ из одного в другое установившееся состояние.

Если в установившемся режиме воздействия после их приложения больше не изменяют своих величин во времени, то в САУ устанавливается так называемый статический режим.

Уравнение статики может быть получено из уравнения движения САУ (3.1), если все члены, содержащие производные, приравнять нулю, то есть

или ,

где — коэффициент передачи САУ.

Графическое отображение данной зависимости, т.е. зависимости между выходной x и входной g величинами САУ в статическом режиме, называется статической характеристикой (рис. 3.1).

Рис.3.1. Статические характеристики элементов САУ

Статические характеристики элементов САУ и систем в целом могут быть как линейными (кривая 1, рис. 3.1), так и нелинейными (кривая 2, рис. 3.1). Если характеристика нелинейная, то необходимо учитывать влияние данной нелинейности на динамику САУ.

Дата добавления: 2015-12-11 ; просмотров: 1349 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ И СТАТИКИ

Будем рассматривать систему

. . , (2.1)

, , , … , ,

— начальные условия. Уравнение 2.1. является уравнением динамики рассматриваемой системы.

Пусть поведение системы Рис.2.1 описывается уравнением

В отличии от динамики, рассматривающей процессы протекающие в системе

во времени, статика изучает состояние покоя или равновесия. В этом случае

отсутствует временной фактор.

, (2.2)

где — постоянная входная величина, — установившееся значение выходной величины.

Представим статическую характеристику в виде графика Рис.2.3.

2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ

Пусть система

описывается следующим дифференциальным уравнением

, (2.3)

где и — соответственно входной и выходной сигналы, — возмущающее воздействие.

Уравнение (2.3) является нелинейным. Процесс исследования нелинейных систем существенно сложнее процесса исследования линейных. Поэтому исследование нелинейных систем стремятся свести к исследованию линейных. Процедура преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией.

Процедура линеаризации базируется на разложении нелинейных функций, входящих в уравнения, в ряд Тейлора. Необходимо отметить, что разложение какой либо функции в ряд Тейлора происходит в достаточно малых окрестностях некоторой точки. В качестве такой точки берется точка, соответствующая заданному режиму работы системы. В установившемся состоянии это может быть режим равновесия. Заметим, что отклонения реальных значений входных и выходных сигналов от их заданных значений в нормально работающей замкнутой автоматической системе не велико. Система работает по принципу парирования таких отклонений.

Обозначим переменные, соответствующие заданному режиму работы системы

. (2.4)

Введем отклонения реальных значений сигналов от требуемых

, , .

Тогда

, , , , , .

Рассматривая функцию выражения (2.3) как функцию независимых переменных , разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.4), соответствующей заданному режиму

+ + + +

+ + + + +

+ + + +

+ + + + + =0.

В этом выражении оставим только первые члены разложения, отбросив малые члены более высокого порядка.

+ + +

+ + =0. (2.5)

В заданном режиме уравнение (2.3) примет вид

Вычтем это уравнение из (2.5), получим

+ + + =0. (2.6)

Введем обозначения

, , , , .

Подставив их в (2.6) и отбросив знак , получим линеаризованное уравнение в отклонениях

. (2.7)

Линеаризация уравнения (2.3) была проведена в предположениях:

— отклонения входных и сигналов от их заданных значений малы,

— функция имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам в окрестности точки разложения, соответствующей заданному режиму,

— линеаризованное уравнение (2.7) является уравнением в отклонениях.

Рассмотрим Рис.2.5.

В этом случае нелинейная зависимость между и , выраженная

кривой , в окрестностях точки разложения , заменена касательной . Запись же уравнения в отклонениях, соответствует переносу начала координат в точку .

2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ

СВОЙСТВА

Преобразованием Лапласа называется следующее соотношение

, (2.8)

где — функция вещественного переменного, — функция комплексного переменного . Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции действительного переменного функцию комплексного переменного . Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что оно переводит рассмотрение процесса, являющегося функцией действительного переменного, например времени, на комплексную плоскость с координатами и .

Функцию называют оригиналом, а функцию изображением по Лапласу или просто изображением. Преобразование Лапласа можно записать в символическом виде

(2.9)

где — оператор Лапласа.

Функция , являющаяся оригиналом, должна обладать следующими свойствами:

— должна быть определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси ;

— при ;

— существуют такие положительные числа и , что при .

С помощью обратного преобразования Лапласа

, (2.10)

можно найти по известному изображению его оригинал. В нем интеграл берется вдоль любой прямой . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать

где — обратный оператор Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных и

2. Дифференцирование оригинала.

Для первой производной

, где .

Для n-й производной

, .

Если начальные условия нулевые

Таким образом, n-кратное дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях, соответствует умножению изображению на n-ю степень .

3. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на .

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного

5. Теорема о свертке. Если и — оригиналы, а и — их изображения, то

Интеграл правой части называется сверткой функций и , который обозначают *

6. Теорема о предельных значениях. Если — оригинал, а — его изображение, то

и при существовании предела ,

2.4. Запись дифференциальных уравнений в символическом виде.

Будем рассматривать следующую систему

Пусть в общем случае линейная система описывается дифференциальным уравнением n-го порядка

. . ,

где и соответственно входной и выходной сигналы системы. Преобразуем левую и правую части этого уравнения по Лапласу. В результате получим следующее дифференциальное уравнение в символическом виде

, (2.11)

где — оператор дифференцирования.

= ,

= .

Тогда уравнение (2.11) можно записать в более компактно

2.5. C тандартная форма записи линейных дифференциальных

уравнений

Принято, что линейные дифференциальные уравнения не выше второго порядка записываются в стандартной форме, а именно:

— члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, записываются в левой части уравнения;

— все остальные члены уравнения, записываются справа;

— коэффициент при выходной величине делают равным единице;

— коэффициенты при входных и выходных величинах и их производных являются либо постоянными времени, либо коэффициентами передачи (усиления).

Рассмотрим дифференциальное уравнение в символическом виде

Разделим обе части этого уравнения на и введем обозначения

, , , , .

Здесь , , — имеют размерность времени и называются постоянными времени, и — безразмерные коэффициенты передачи (усиления).

2.5. Передаточные функции.

Передаточной функцией системы называется отношение выходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Тогда передаточная функция рассматриваемой системы (Рис.2.6) равна

. (2.12)