Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил
Условия равновесия произвольной системы сил
Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:
- либо находится в состоянии покоя;
- либо движется равномерно прямолинейно.
Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:
Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:
Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:
где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.
Условия равновесия плоской системы сил
Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:
Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:
Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.
И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:
Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.
Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.
Уравнения равновесия для плоской системы сил
Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:
Сумма моментов относительно точки A:
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):
Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):
Условие равновесия пространственной системы сил
Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:
Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.
Уравнения равновесия для пространственной системы сил
В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:
iSopromat.ru
Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.
При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат
что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы
из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.
Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.
Пример составления уравнений равновесия
В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F1-F6, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.
Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.
Суммы проекций сил
Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):
здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.
Суммы моментов
Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):
- в плоскости xOy:
- в плоскости xOz:
- в плоскости yOz:
Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Статика – раздел теоретической механики
Определение и роль статики в теоретической механике
Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.
Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.
Понятие силы
Единицей измерения силы является один Ньютон:
.
В технике широко используется килоньютон:
.
Как следует из определения, сила – это векторная величина, которая, в трехмерном пространстве, имеет три проекции на оси координат. Также задать силу можно с помощью абсолютной величины (модуля) и направления. Для материальной точки, сила приложена к самой точке. Но если мы рассматриваем твердое тело, то кроме вектора силы нам нужно еще указать и точку ее приложения. Таким образом, действие силы на твердое тело характеризуется вектором силы и точкой ее приложения. Если выбрать систему отсчета, то действие силы на твердое тело определяется двумя векторами. Это вектор силы, и вектор, проведенный из начала системы отсчета в точку приложения силы.
Система сил, действующих на тело – это совокупность векторов сил, приложенных к телу, и точек их приложения.
Эквивалентные системы сил Две системы сил являются эквивалентными, если законы движения любых точек твердого тела совпадают при действии любой из этих систем.
Эквивалентное преобразование системы сил – это переход от одной системы сил к эквивалентной ей системе.
Система взаимно уравновешивающихся сил – это система сил, не меняющая уравнений движения или уравнений равновесия твердого тела. То есть это система, эквивалентная отсутствию сил.
Равнодействующая – это одна сила, действие которой эквивалентно действию данной системы сил.
Закрепленные, скользящие и свободные векторы
Поскольку действие силы на твердое тело определяется двумя векторами, то часто под силой подразумевают множество, состоящее из двух векторов – вектора силы, и вектора точки ее приложения относительно выбранной системы координат. Такие множества подразделяются на три класса, для которых вводят специальные термины.
Закрепленный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два закрепленных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором.
Скользящий вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, параллельно образующему вектору. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на одной прямой, параллельной образующему вектору.
Свободный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.
Линия действия силы – это прямая, проведенная через точку приложения силы параллельно ее направлению.
Если мы рассматриваем упругое тело, то сила – это закрепленный вектор. Деформации зависят не только от величин и направлений сил, но и от точек их приложения. Если мы рассматриваем движение или равновесие абсолютно твердого тела, то действующая сила является скользящим вектором. Перемещение ее точки приложения вдоль линии ее действия не меняет уравнений движения или уравнений равновесия. Угловая скорость вращения абсолютно твердого тела является свободным вектором. Она характеризует движение в целом, и ее значение одинаково во всех точках тела.
С математической точки зрения, статика – это алгебра скользящих векторов.
Проекции силы на оси координат
Сила в трехмерном пространстве
Пусть у нас есть декартова система координат Oxyz . И пусть – единичные векторы, направленные вдоль ее осей , и , соответственно. Пусть – проекции вектора силы на оси координат. Тогда разложение силы на составляющие вдоль координатных осей имеет вид:
.
Абсолютное значение (модуль) силы:
.
Введем единичный вектор , направленный вдоль вектора силы . Тогда
.
Эта формула выражает тот факт, что вектор силы можно задать, указав ее модуль F и направление . Вектор имеет три проекции на оси координат: . Поскольку его длина равна единице: , то они связаны соотношением:
.
То есть единичный вектор имеет только две независимые компоненты. Таким образом, для задания вектора силы нужно знать три величины:
либо три проекции на оси координат ;
либо модуль F и направление , которое задается двумя независимыми величинами.
Введем углы между вектором силы и осями координат , и . Тогда проекции силы на оси координат определяются по формулам:
;
.
Косинусы углов называются направляющими косинусами.
Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов между вектором и осями координат. Они являются проекциями единичного вектора , сонаправленного с :
,
и связаны соотношением:
.
Сила на плоскости
Результаты, приведенные выше, можно применить и для плоской декартовой системы координат Oxy . В этом случае имеем:
;
;
;
;
;
;
.
Поскольку , то . Последнее уравнение представляет собой известную тригонометрическую формулу:
.
Для задания вектора силы , необходимо знать две независимые величины:
либо проекции вектора на оси координат ;
либо модуль F и направление , которое задается одним углом .
Аксиомы статики
Часть аксиом являются основными законами механики. Другая часть относится к законам преобразования сил, действующих на абсолютно твердое тело, и применяется только к задачам теоретической механики. По своей сути, они выражают собой тот факт, что действие силы на тело является скользящим вектором.
1. Аксиома инерции (закон инерции Галилея)
Существуют такие системы отсчета, в которых любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами и точками, движется прямолинейно и равномерно. В частности, если тело покоилось в определенный момент времени, то оно будет покоиться и в последующие моменты.
Такие системы отсчета называются инерциальными. В механике, если это особо не оговорено, под системой отсчета подразумевается именно инерциальная система отсчета. Аксиому инерции иногда формулируют так.
1′. Аксиома инерции
В инерциальной системе отсчета, под действием взаимно уравновешивающихся сил, материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, а первоначально покоившееся тело продолжает покоиться и в последующие моменты времени.
2. Аксиома равновесия двух сил
Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, являются уравновешенными тогда и только тогда, когда они равны по модулю, направлены в противоположные стороны и их линии действия совпадают.
3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил
Кинематическое состояние твердого тела не изменится, если к действующей на него системе сил прибавить или отнять уравновешенную систему сил.
То есть, прибавляя или исключая уравновешенную систему сил, мы получаем эквивалентную систему сил.
Следствие аксиом 2 и 3
Действие силы на твердое тело не изменится, если точку приложения силы перенести вдоль ее линии действия. То есть сила, приложенная к твердому телу, является скользящим вектором. Доказательство
4. Аксиома параллелограмма сил
Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно заменить их равнодействующей силой, равной векторной сумме этих сил и приложенной к той же точке.
Верно и обратное. Любую силу можно разложить на две (и более) силы по правилу векторной суммы (по правилу параллелограмма), приложенных в той же точке, что и исходная сила.
То есть, если силы и приложены в одной точке, то их можно заменить равнодействующей , приложенной к той же точке. Сумму векторов можно найти двумя способами.
1) Можно вычислить проекции сил на оси прямоугольной системы координат:
.
Сложение сил по правилу параллелограмма
2) Можно сложить векторы по правилу параллелограмма (см. рисунок).
;
.
Здесь – угол между векторами и . Точкой обозначено скалярное произведение векторов.
5. Аксиома равенства действия и противодействия (3-й закон Ньютона)
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
То есть если мы возьмем все силы, действующие на тело 2 со стороны тела 1, и объединим их с силами, действующими на тело 1 со стороны тела 2, то получим уравновешенную систему сил.
6. Принцип отвердевания
Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.
Система сходящихся сил
Система сходящихся сил всегда имеет равнодействующую , равную векторной сумме этих сил:
,
и приложена в точке их пересечения.
Таким образом, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на оси координат:
;
.
Условия равновесия системы сходящихся сил
Если тело или система тел, на которые действует сходящаяся система сил, находится в покое, то равнодействующая этих сил равна нулю:
.
Это дает три уравнения равновесия:
.
Теорема о трех непараллельных силах
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, линии действия двух из которых пересекаются в одной точке, то все силы лежат в одной плоскости и являются сходящимися.
Следствие
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то эти силы являются сходящимися.
Параллельные силы
Ранее мы отмечали, что система сходящихся сил имеет равнодействующую. То есть такую систему можно заменить одной силой. Приведем еще важные примеры систем сил, имеющих равнодействующую.
Две силы одного направления
Пусть мы имеем две однонаправленные параллельные силы и . Переместим точки их приложения вдоль линий их действия в точки A и B так, чтобы отрезок AB был перпендикулярен силам. Тогда система сил и имеют равнодействующую , приложенную в точке C . Направление равнодействующей совпадает с направлениями и . Абсолютная величина равна сумме сил:
.
Точка приложения C находится между A и B и делит отрезок AB обратно пропорционально модулям сил:
.
Две противоположно направленные силы
Теперь рассмотрим противоположно направленные силы и , различающиеся по величине, . Пусть . Эта система также имеет равнодействующую , направление которой совпадает с направлением большей по модулю силы, а абсолютное значение равно абсолютному значению разности модулей сил:
.
Точка приложения C равнодействующей находится на продолжении отрезка AB , ближе к наибольшей по модулю силе . Расстояния до точек A и B также обратно пропорциональны и :
.
Момент силы относительно точки
Определение
Абсолютное значение момента силы относительно точки O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранной точки O . Направление момента перпендикулярно плоскости, проходящей через точку O и линию действия силы.
Доказательство
Геометрическая интерпретация
Пусть векторы и расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Пусть α – угол между векторами и . Абсолютное значение момента:
.
Из точки O проведем перпендикуляр OH к линии действия силы . Из прямоугольника OAH имеем: . Тогда
.
То есть абсолютное значение момента силы относительно точки O равно произведению силы F на плечо |OH| этой силы относительно точки O .
Компоненты момента силы в декартовой системе координат
Выберем декартову систему координат Oxyz с началом в точке O . Найдем компоненты вектора момента силы в этой системе координат относительно ее начала.
.
Здесь – единичные векторы в направлении осей ; – координаты точки A в выбранной системе координат: .
Таким образом, момент силы имеет следующие компоненты:
(М.1) ;
(М.2) ;
(М.3) .
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.
Свойства момента силы относительно центра
Момент относительно центра O , от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.
Доказательство
Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.
Доказательство
Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.
Доказательство
То же самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.
Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.
Доказательство
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен векторной сумме моментов сил системы относительно той же точки.
Пара сил
Из предыдущих формул ⇑ видно, что если противоположно направленные силы имеют равные модули: , то система сил не имеет равнодействующей. Действительно, в этом случае . Пытаясь использовать предыдущие формулы, мы получим деление на нуль. Такую систему сил называют парой сил.
Пара сил – это система из двух сил , равных по абсолютной величине, имеющих противоположные направления, приложенных к разным точкам тела и не лежащих на одной прямой.
Плечо пары сил – это кратчайшее расстояние h между линиями действия сил, входящих в пару.
Момент пары сил – это векторная сумма моментов сил, входящих в пару, вычисленная относительно любой точки. Абсолютное значение момента пары равно произведению силы на плечо пары:
.
Теорема о независимости выбора центра при вычислении момента пары
Векторная сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от выбора точки, относительно которой вычисляются моменты.
Теорема об эквивалентности пар
Две пары, имеющие равные векторы моментов, эквивалентны. То есть у пары можно менять модуль силы и длину плеча, оставляя неизменным ее момент.
Теорема о возможности перемещения пары
Пару сил можно переносить в любом направлении. Другими словами, если пару сил переместить параллельным переносом в любое положение, то она будет эквивалентна исходной паре.
Теорема о сложении нескольких пар
Система нескольких пар сил эквивалентна одной паре, вектор момента которой равен векторной сумме моментов исходных пар.
Условие равновесия пар
Система, состоящая только из нескольких пар, является уравновешенной, если векторная сумма моментов пар равна нулю:
.
Момент силы относительно оси
Часто встречаются случаи, когда нам нужно знать не все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а только проекцию момента на выбранное направление.
Момент силы относительно оси, проходящей через точку O – это проекция вектора момента силы относительно точки O , на направление оси.
Свойства момента силы относительно оси
Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.
Доказательство
Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.
Доказательство
Вычисление момента силы относительно оси
Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′ .
Построим прямоугольную систему координат. Направим ось z вдоль O′O′′ . Из точки A опустим перпендикуляр AO на O′O′′ . Через точки O и A проводим ось Ox . Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy . Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′ . Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′ . Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (М.3) находим:
.
Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O . Направление вектора определяется правилом правого винта.
Условия равновесия
Главный вектор и главный момент
Подчеркнем, что величина главного момента зависит от выбора центра, относительно которого вычисляются моменты.
Пространственная система сил
Основная форма условий равновесия
Условия равновесия системы сил
Для того, чтобы твердое тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент, относительно произвольной точки C , равнялись нулю:
;
.
Здесь – точка приложения силы , .
Доказательство
Это основная форма условий равновесия. Точка C может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр C выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми. Спроектировав каждое из этих векторных уравнений на три направления, получим шесть уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.
Вторая форма условий равновесия
Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
;
;
.
Доказательство
Третья форма условий равновесия
Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
;
;
;
.
Доказательство
Плоская система сил
Все изложенное для пространственной системы сил является применимым и для плоской системы. Направим оси x и y декартовой системы координат в плоскости действия сил, а ось z – перпендикулярно. Тогда z компоненты координат точек и сил равны нулю: . Также равны нулю x, y компоненты моментов сил относительно произвольной точки C : . То есть момент может иметь отличное от нуля значение только для z компоненты. Поскольку z компонента не входит в плоскую систему координат xy , то, в двумерном пространстве, момент силы уже не является вектором, а является скаляром (точнее псевдоскаляром). Его называют алгебраическим моментом силы относительно центра C (или просто моментом силы относительно центра C ), и обозначают символом с маленькой буквы без знака вектора:
.
Величина является моментом силы относительно оси, проходящей через точку C перпендикулярно плоскости действия сил. Момент вычисляют как произведение модуля силы на плечо со знаком плюс или минус:
.
Если, при неподвижном центре C , сила стремится повернуть систему против часовой стрелки, то момент положителен . В противном случае – отрицательный: .
Величину момента от силы , приложенной в точке A , относительно центра C , также можно выразить через компоненты векторов по формуле:
,
где и – координаты точек A и C , соответственно.
Условия равновесия плоского тела
Для плоской системы сил можно составить три уравнения, из которых можно определить три неизвестных величины. Считаем, что сила приложена в точке .
Основная форма условий равновесия
;
;
.
Вторая форма условий равновесия
;
;
.
Третья форма условий равновесия
;
;
;
.
Связи и их реакции
Определения и свойства
Принцип освобождаемости
Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к телу.
Основные типы связей и их реакции
Плоские и пространственные задачи
Две гладкие не острые поверхности. Через точку соприкосновения проводим касательную плоскость к этим поверхностям. Реакция является силой, направленной перпендикулярно этой плоскости, то есть, направлена по нормали к обеим поверхностям в точке их соприкосновения.
Одна из гладких поверхностей является острием. Реакция является силой, направленной вдоль нормали не острой поверхности в точке соприкосновения.
Две шероховатые поверхности. То же самое, что и для гладких поверхностей, только в точке соприкосновения добавляем силу трения, лежащую в плоскости касания.
Невесомая нить и стержень. Реакция направлена вдоль нити или стержня. При этом на нить всегда действует сила растяжения. На стержень может действовать как растягивающая, так и сжимающая сила.
Плоские задачи
Следующие связи применяют только в плоских задачах.
Неподвижный шарнир. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.
Подвижный шарнир, или опора на катках. Реакция является силой, которая проходит через ось шарнира перпендикулярно опорной поверхности.
Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно оси, проходящей через точку соединения перпендикулярно плоскости фигуры. Силу обычно раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.
Пространственные задачи
Цилиндрический шарнир или петля. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира, перпендикулярно направлению оси. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.
Сферический подшипник или подпятник. Реакция является силой, проходящей через центр подшипника. Обычно ее раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.
Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно этой точки. Силу и момент обычно раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.
Силы трения
Трение скольжения
Рассмотрим тело, которое скользит по поверхности другого тела с отличной от нуля скоростью v под действием внешней силы . Если поверхности абсолютно гладкие, то в точках соприкосновения тел возникает только сила давления N , перпендикулярная плоскости соприкосновения тел. Для шероховатых поверхностей, возникает еще сила трения , параллельная плоскости соприкосновения, направленная в сторону, противоположную скорости движения. Величина силы трения пропорциональна силе давления и не зависит от площади соприкосновения поверхностей:
(Т1) .
Здесь f – безразмерный коэффициент, который называется динамическим коэффициентом трения, или коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов и обработки соприкасаемых поверхностей и почти не зависит от скорости относительного движения. При расчетах его считают постоянной.
Сила трения скольжения – это сила трения, приложенная к точкам соприкосновения движущихся тел и параллельная плоскости их соприкосновения. То есть это сила, препятствующая скольжению одного тела по поверхности другого. При расчетах, под силой трения скольжения понимают равнодействующую всех сил трения, возникающих в точках соприкосновения тел.
Закон Амонта – Кулона
Сила трения скольжения направлена параллельно плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную их движению, которое возникло бы при отсутствии трения. Она не зависит от площади соприкосновения поверхностей, а зависит от силы давления N одной поверхности на другую, перпендикулярную плоскости соприкосновения тел:
.
Трение сцепления
Теперь рассмотрим статическую задачу. Пусть тело покоится, и на него действуют внешние силы с равнодействующей , приложенной под углом φ к нормали поверхности. Разложим ее на две составляющие: параллельную поверхности, и перпендикулярную . На тело также действуют сила реакции , перпендикулярная плоскости соприкосновения тел, и сила трения , которую при отсутствии скольжения называют силой сцепления. Сила сцепления направлена параллельно поверхности, препятствуя движению. Она может принимать значения от нуля до максимальной величины , определяемой аналогично (Т1):
(Т2) .
Здесь – статический коэффициент трения, который еще называют коэффициентом сцепления. Он не может быть меньше динамического коэффициента трения: .
Если , тело покоится. При этом сила трения сцепления меньше максимальной величины: . При , возникает движение. Когда , сила трения достигает предельной величины, возникает состояние предельного равновесия. Дальнейшее увеличение приводит к потере равновесия.
Сила трения сцепления – это сила трения скольжения, когда относительное перемещение соприкасающихся тел отсутствует.
Предельная сила трения – это максимальное значение силы трения сцепления.
Предельное равновесие – это состояние равновесия, при котором значение силы трения сцепления равно ее максимальному значению.
Из условий равновесия имеем: . Подставим в (Т2):
.
Отсюда получаем, что система будет находиться в равновесии, если
.
Видно, что условие равновесия зависит от угла φ , под которым приложена равнодействующая внешних сил, и не зависит от ее величины. Введем предельный угол трения: . Эту величину также называют просто углом трения. Тогда, условие равновесия можно записать так:
.
Это неравенство определяет конус в пространстве, который называется предельным конусом трения, конусом трения, или конусом сцепления. Если направление силы выходит за пределы этого конуса, то система начинает движение. Если направление силы попадает в конус сцепления, то система остается в состоянии покоя. Такое явление называется заклиниванием механизма.
Заклинивание механизма – это явление в механике, при котором система остается в состоянии покоя при любом, сколь угодно большом увеличении модуля внешней силы.
Условие возникновения движения при наличии трения
Для того чтобы тело начало движение, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая внешних сил находилась вне конуса трения.
Трение качения
Рассмотрим случай, когда одно из тел круглой формы катится без проскальзывания по поверхности другого. С точки зрения механики, такие тела соприкасаются в одной точке A . Площадь их соприкосновения бесконечно мала, в результате чего возникает бесконечно большое давление, которое не могут выдержать реальные материалы. Поэтому вблизи точки соприкосновения тел возникает деформация, которая имеет место только в небольшом участке соприкасающихся тел. В основной части тел, удаленных от точек соприкосновения, деформация практически отсутствует, и их можно рассматривать как абсолютно твердые тела. Тогда систему сил, возникающую в результате соприкосновения, можно привести к некоторой равнодействующей силе . При этом оказывается, что точка ее приложения смещена относительно оси симметрии катящегося тела. Это приводит к появлению момента сил относительно точки A , расположенной на оси симметрии круглого тела. Изучение деформированного состояния выходит за рамки теоретической механики. Поэтому мы приводим лишь результаты, применяемые в расчетах.
Расчетная схема трения качения.
1. Поскольку деформации, для небольших значений внешних сил малы, то, считают, что они не влияют на геометрические характеристики тел. То есть считают, что тела округлой формы соприкасаются в одной точке.
2. В точке соприкосновения, на тело действуют:
сила давления , перпендикулярная соприкасающимся поверхностям;
сила сцепления , лежащая в касательной плоскости, проходящей через точку соприкосновения поверхностей;
момент силы трения , препятствующий движению.
Максимальное значение момента силы трения определяется по формуле:
,
где δ – коэффициент трения качения, который имеет размерность длины.
3. Коэффициент трения качения зависит от соприкасающихся материалов и состояния их поверхностей. Он не зависит от кривизны поверхностей и угловой скорости вращения тела. А при движении с проскальзыванием, не зависит от скорости скольжения.
Центр тяжести тела
Центр тяжести в пространстве
Пусть тело состоит из n материальных точек. И пусть на каждую точку Bi действует сила тяжести , . Все силы тяжести, действующие на точки, параллельны. Поэтому мы имеем дело с параллельной системой сил. Как и для системы из двух однонаправленных сил, такая система сил имеет равнодействующую. Найдем ее.
Пусть – главный вектор. Поскольку все силы имеют одинаковое направление, то введем единичный вектор , направленный вдоль сил:
. Отсюда .
Найдем момент сил тяжести относительно произвольно расположенного центра O .
,
где
(ЦТ1) .
Отсюда видно, что формула вычисления момента имеет вид формулы момента от одной силы , приложенной в точке C . Точка C , положение которой определяется формулой (ЦТ1), называется центром тяжести тела. Таким образом, равнодействующая отдельных сил тяжести точек тела равна главному вектору силы тяжести, приложенному в центре тяжести. Модуль P равнодействующей называют весом тела.
Если бы мы находили равнодействующую сил тяжести, выполняя эквивалентные преобразования сил, то мы бы нашли только линию действия равнодействующей. Далее, если повернуть тело на некоторый угол, то можно найти другую линию действия равнодействующей. При этом все, подобным образом построенные линии, пересекаются в одной точке, которая и является центром тяжести тела.
Центр тяжести твердого тела – это точка, связанная с телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела, при любом положении тела в пространстве.
Вес тела – это абсолютное значение равнодействующей сил тяжести частиц, составляющих тело.
Координаты центра тяжести определяются по формулам:
(ЦТ2) .
Здесь – абсолютное значение равнодействующей сил тяжести, или вес тела. – координаты точек тела. Эти формулы также можно записать в векторном виде.
.
Центр тяжести C связан с телом. Однако его положение может находиться за его пределами. Например, при наличии полости.
В случае, когда силы имеют другое происхождение, но также имеют одинаковое направление, то мы имеем дело с системой параллельных сил. В этом случае, точка C называется центром параллельных сил.
Для сплошного однородного тела, мы от суммирования переходим к интегрированию. Элементарная сила тяжести выражается через плотность ρi элементарной частицы тела, массой , и занимающей объем :
.
Здесь g – ускорение свободного падения. Переходя от суммированию к интегрированию, имеем:
(ЦТ3) .
Центр тяжести плоской фигуры
Рассмотрим плоскую фигуру. Выберем двумерную систему координат Oxy . Тогда положение центра тяжести определяется по тем же формулам (ЦТ2) и (ЦТ3), из которых нужно убрать переменную z .
Однородная фигура
Рассмотрим плоскую однородную фигуру. Для такой фигуры, плотность ρ является постоянной; сила тяжести Δpi элементарной частицы пропорциональна площади ΔAi этой частицы: Δpi = ρΔAig . Вес P фигуры пропорционален площади A всей фигуры: P = ρAg .
Подставляя эти величины в формулы, определяющие положение центра тяжести находим:
.
Переходим от суммирования к интегрированию:
.
Мы видим, что сюда не входят плотность ρ и ускорение свободного падения g . Остались величины, зависящие только от геометрии сечения. Таким образом, для тела с постоянной плотностью, центр тяжести является геометрической характеристикой.
В этих формулах, yC есть алгебраическое расстояние от центра тяжести до оси x ; yk или y – алгебраическое расстояние элементарного участка до той же оси. xC , xk и x – соответствующие алгебраические расстояния до оси y . В этой связи вводят новую геометрическую характеристику сечения, которую называют статическим моментом.
Статический момент относительно некоторой оси – это сумма произведений элементарных площадей , входящих в состав фигуры, на алгебраические значения их расстояний до этой оси.
В рассматриваемом нами случае, статические моменты относительно осей x, y определяются по формулам:
.
Статические моменты широко используются при расчете конструкций. Для стандартных профилей, их значения указываются в соответствующих справочниках.
Центры тяжести простейших фигур
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат: в точке пересечения диагоналей.
Треугольник: в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в соотношении 1:2.
Дуга окружности с центральным углом 2α: .
Круговой сектор: .
Теоремы, применяемые при расчете центра тяжести
Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.
Центр тяжести фигуры, составленной из n более простых фигур, определяется по формуле:
(ЦТ4) .
Здесь – площадь всей фигуры; – площадь и координаты центра тяжести простой фигуры, входящей в состав сложной.
Способ отрицательных площадей (объемов)
Если k — я фигура вырезана из объемлющей ее части, то, в формуле (ЦТ4), соответствующая ей площадь считается отрицательной: .
Распределенная нагрузка
Силу тяжести протяженных тел, на схемах, изображают в виде эпюр. Также встречаются подобные силе тяжести параллельные силы, приложенные не в определенных точках тела, а непрерывно распределенные по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или распределенными нагрузками.
Равномерно распределенная нагрузка q (рисунок А). Ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку, на рисунке А, эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в центре основания эпюры – в точке C : | AC | = | CB | .
Линейно распределенная нагрузка q (рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h , находится на расстоянии от основания. Поэтому .
Приведение системы сил к центру
Теорема о параллельном переносе силы (лемма Пуансо)
Сила, действующая на данное тело, эквивалентна силе, полученной параллельным переносом исходной силы в любую точку тела и паре сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки ее приложения.
Теорема о приведении системы сил к заданному центру
Любую систему сил, действующих на данное тело, можно привести к заданному центру O – то есть заменить одной силой, равной главному вектору, приложенной к точке приведения O , и парой сил с моментом MO , равным главному моменту относительно центра O .
Статические инварианты
Такими инвариантами являются:
1) главный вектор ;
2) скалярное произведение главного вектора на главный момент .
Главный вектор равен векторной сумме всех сил и поэтому не зависит от центра приведения O . Главный момент зависит от положения центра O , относительно которого вычисляются моменты. Но величина его скалярного произведения на главный вектор не зависит от того, относительно какой точки вычисляется главный момент.
Хотя главный вектор не зависит от положения центра O , но величины его проекций на оси координат зависят от выбора системы координат. Поэтому они также не являются инвариантами. По той же причине и направление главного вектора не является инвариантом. Единственной численной величиной, которая не зависит от выбора системы координат, является модуль главного вектора. Но, в математическом отношении, проще иметь дело с квадратом модуля. Поэтому мы выберем его в качестве основного инварианта.
Итак, статическими инвариантами являются следующие величины:
– квадрат модуля главного вектора;
– скалярное произведение главного вектора на главный момент. Инвариантами также являются функции от инвариантов. Например, проекция главного момента на направление главного вектора является инвариантом:
.
Динама
Разложим главный момент на компоненту , параллельную главному вектору , и на компоненту , перпендикулярную :
(П1) .
Тогда .
Отсюда получаем упомянутый выше результат, что инвариантом является алгебраическая величина проекции главного момента на направление главного вектора:
.
Динама – одна из простейших систем сил.
То есть, при изменении положения центра O , меняется вектор , в то время как вектор остается постоянным. Выбором центра приведения O , можно обратить в нуль. Тогда мы получим систему, состоящую из главного вектора и пары сил с моментом , лежащих в плоскости, перпендикулярной главному вектору. Такая система называется динамой или силовым винтом. Система приводится к динаме, если второй статический инвариант не равен нулю.
Динама – это простейшая система сил, состоящая из силы , приложенной к некоторой точке C , и паре сил, перпендикулярных . При этом момент пары параллелен линии действия силы. Динаму также называют силовым винтом, динамическим винтом, или статическим винтом.
Ось винта – это линия действия силы динамического винта.
Из (П1) мы находим, что минимальное значение модуля момента равно модулю его проекции на направление главного вектора:
.
Центральная ось системы сил
Пусть и – главный вектор и главный момент относительно некоторого центра O , который выберем за начало координат. И пусть второй инвариант отличен от нуля:
.
Найдем положение такой точки C , относительно которой система сил приводится к динаме. Для этого преобразуем главный момент от центра O к C :
.
Отсюда
(П2) .
Для динамы, векторы и направлены вдоль одной прямой. Поэтому
, где λ – некоторое число. Отсюда получаем два уравнения:
(П3) .
Пусть – компоненты вектора . Тогда подставив (П2) в (П3), имеем:
.
Это уравнение прямой в пространстве, которую называют центральной осью системы сил. Относительно точек этой прямой, система сил приводится к динаме, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.
Центральная ось системы сил – это прямая, обладающая тем свойством, что при приведении системы сил к любой из ее точек, система сил является динамой. При этом главный вектор и главный момент динамы параллельны этой прямой, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.
Приведение системы сил к простейшему виду
Пара сил
Пусть .
Тогда . Второй инвариант также равен нулю: . В этом случае, вектор главного момента не зависит от положения центра O . Система сил приводится к паре с моментом .
Если и , то это уравновешенная система сил. Она эквивалентна отсутствию сил.
Равнодействующая сила
Пусть .
В этом случае существует прямая, относительно точек которой главный момент равен нулю:
.
То есть система приводится к одной силе – равнодействующей, равной главному вектору приложенному к любой из точек упомянутой выше прямой. Эта прямая является линией действия главного вектора. Примеры: система сходящихся сил, система параллельных сил. Это системы, которые имеют равнодействующую.
Динама
При , как показано выше, система сил приводится к динаме.
Использованная литература:
А. А. Яблонский, В.М. Никифорова. Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 03-10-2017 Изменено: 07-05-2020
http://isopromat.ru/sopromat/otvet/uravnenia-statiki
http://1cov-edu.ru/mehanika/statika/