Как составить уравнение сторон треугольника по координатам его вершин?
Зная координаты вершин треугольника, можно составить уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
Дано: ΔABC, A(-5;1), B(7;-4), C(3;7)
Составить уравнения сторон треугольника.
1) Составим уравнение прямой AB, проходящей через 2 точки A и B.
Для этого в уравнение прямой y=kx+b подставляем координаты точек A(-5;1), B(7;-4) и из полученной системы уравнений находим k и b:
Таким образом, уравнение стороны AB
2) Прямая BC проходит через точки B(7;-4) и C(3;7):
Отсюда уравнение стороны BC —
3) Прямая AC проходит через точки A(-5;1) и C(3;7):
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )
Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Контрольная работа: Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Название: Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа Добавлен 01:23:41 11 марта 2010 Похожие работы Просмотров: 22082 Комментариев: 22 Оценило: 8 человек Средний балл: 4 Оценка: 4 Скачать
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса
1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1 , D2 , D3 , если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение:
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
Примем первую строку за направляющую, а элемент а11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.
Матрице соответствует множество решений системы линейных уравнений
Ответ: получили решение:
Даны координаты вершин треугольника АВС
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.
1) Расстояние между точками А(х1 ; у1 ) и В(х2 ; у2 ) определяется по формуле
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1 ; у1 ) и В(х2 ; у2 ) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
Угловой коэффициент kАВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у =kx—b .
У нас , то есть откуда
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
Угловой коэффициент kВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у =kx—b .
У нас , то есть
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:
Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ в (3), находим:
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнение медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0 ; у0 )с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kAB kCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = — 3/4
Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x0,y0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0 ; у0 ) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:
Подставив в (5) вместо х0 ; у0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0 ; у0 координаты точки Е, а вместо k значение kEF получаем уравнение прямой EF’.
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.
Таким образом, М(5,48; 0,64).
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0 (х0 ; у0 ) имеет вид
Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Решение
Пусть М (x, у ) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Найти указанные пределы:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
Найти производныеdy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
а)
Ответ:
б)
Ответ:
в)
Ответ:
Задача 6
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а); б)
Решение
а)
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = <х: хÎ(-¥,+¥)>, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х1 = 1, х2 = 2.
Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:
х
(-¥; 1)
1
(1; 2)
2
(2; ¥)
f ’(x)
+
0
—
0
+
f(x)
max
min
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
х
(-¥; 1,5)
1,5
(1,5; ¥)
f ‘’(x)
—
0
+
f(x)
Ç
т. п.
È
Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:
4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) построим график функции
б)
1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.
3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.