Уравнения сторон ромба найти уравнение диагонали

Диагонали ромба

Свойства

Диагонали ромба обладают рядом особенностей, которые позволяют использовать их в вычислениях самих по себе. Во-первых, диагонали ромба пересекаются под прямым углом, что значит, что они образуют прямоугольные треугольники во внутреннем пространстве фигуры со стороной в качестве гипотенузы. Во-вторых, узнать длину катетов этих треугольников достаточно просто, так как точкой пересечения – вершиной прямого угла, диагонали делятся на две равные части. Подставив это в теорему Пифагора, можно найти сторону ромба как половину квадратного корня из произведения диагоналей. (рис.115.2) a=√(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )/2

Угол напротив каждой диагонали можно найти из равнобедренных треугольников по теореме косинуса, заменив сторону ромба на полученный радикал. (рис.115.4) cos⁡α=(〖2a〗^2-〖d_1〗^2)/〖2a〗^2 =((〖d_1〗^2+〖d_2〗^2)/2-〖d_1〗^2)/((〖d_1〗^2+〖d_2〗^2)/2)=(〖d_2〗^2-〖d_1〗^2)/(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 ) cos⁡β=(〖2a〗^2-〖d_2〗^2)/〖2a〗^2 =(〖d_1〗^2-〖d_2〗^2)/(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )

Чтобы найти высоту ромба через диагонали, надо умножить выражение, соответствующее стороне на синус найденного угла, как отношение катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (рис.115.1) h=a sin⁡α=sin⁡α √(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )/2

Периметр ромба будет равен радикалу стороны, умноженному на четыре (коэффициенты сокращаются, и остается два), а площадь – радикалу, возведенному в квадрат и умноженному на синус угла α. P=4a=2√(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 ) S=a^2 sin⁡α=(sin⁡α (〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 ))/4

Радиус окружности, вписанной в ромб, представляет собой перпендикуляр стороны, проведенный к точке пересечения диагоналей, при продлении которой ровно в два раза получается высота ромба. Соответственно, чтобы найти радиус вписанной окружности через диагонали ромба, нужно разделить полученную формулу для высоты на два. (рис.115.3) r=h/2=sin⁡α √(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )/4

Сторона ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

1. Сторона ромба через высоту и площадь

Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу (1).

2. Сторона ромба через высоту и угол

Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.

Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: \(\small \angle C=180°-\alpha.\) Следовательно \(\small \sin \angle C=\sin(180°-\alpha)=\sin \alpha.\) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Сторона ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:

Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:

Подставляя (5) в (4), получим:

5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Учитывая, что \( \small BO=\frac<\large d><\large 2>\) и \( \small \angle ABO=\frac<\large \alpha><\large 2>\), формулу (13) можно записать так:

Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:

Подставляя (9) в (8), получим:

6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой

Из формулы (11) получим:

7. Сторона ромба через площадь и угол

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой

Из формулы (13) найдем a:

Получили формулу сторон ромба через площадь и угол.

б) уравнения сторон AB, BC, CD и DA

Сделайте чертеж.

Решение.

1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит AC – вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду y=kx+b, где параметр k – угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства 1) диагоналей квадрата угловые коэффициенты k_AC и k_BD прямых AC и BD связаны соотношением:

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим y через x из данного уравнения прямой BD:

Итак, . Поэтому из соотношения (1) получим, что k_АС=3.

Теперь уже легко найти уравнение прямой AC. Нам известны координаты её точки А и угловой коэффициента k_AC. Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

.

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: х_А=-3, у_А=2, k_АС=3. Получим: или (после упрощений)

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата – точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, её координаты удовлетворяют прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое — уравнение прямой BD, второе – прямой АС). Далее, почленно вычитая первое уравнение из второго, получим:

, значит

Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у=5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: -2 5, то есть Е(-2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ – половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е.

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

.

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде:

.

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

.

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной нами окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек – решения системы уравнений окружности и прямой:

.

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 3х+11 из первого уравнения. Получим:

,

откуда , поэтому , т.е. , значит . Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо -1. Поэтому и тогда , либо и тогда .

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: . Итак, найдена вершина С(-1; 8).

Аналогично, для нахождения координат вершин B и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

.

Итак, получены два решения системы, пара (1; 4) и (-5; 6). Одно из этих решений – координаты точки B, а второе – точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой B, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины A, B, C и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(1; 4); D(-5; 6).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки и :

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой AB получим, если в формулу (2) вместо точек M и N возьмем точки A и B:

.

Подставляя в это уравнение координаты вершин А(-3; 2) и B(1; 4), находим:

откуда .

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж – Рис. 1.

Задача 3

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А(-20; 24); С(-5; 4); tgC= 20 /₂₁.

Изобразим графически положение ромба в прямоугольной системе координат Оху:

1) Запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

2) Так как в ромбе его диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен:

Определим координаты точки пересечения диагоналей ромба Е. Итак, Е – середина АС.

Запишем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через заданную точку Е в направлении, определяемом угловым коэффициентом.

3) Чтобы найти уравнения сторон ромба надо определить угловые коэффициенты k_AB=k_CD и k_BС=k_АD прямых на которых эти стороны лежат. Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то положив С=2φ из формулы

, где tg2φ= 20 /₂₁ найдём tgφ.

Итак, tgφ=-2,5 – не удовлетворяет условию задачи, что угол φ – острый, поэтому tgφ=0,4.

· угол φ является углом между прямыми ВС и АС, то есть:

· угол φ является углом между прямыми DС и АС, то есть:

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то определим угловые коэффициенты всех его сторон:

4) Вершины ромба В и D являются точками пересечения его соответствующих сторон АВ и ВС; СD и АD. Решим системы уравнений этих сторон.

В(-16,5; 11)

D(-8,5; 17)

Задача 1

Пусть точка А(-7; 3) — вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой 2х+у+6=0. Найдите:

в) координаты вершин B, C и D;

г) уравнения сторон AB, BC, CD и DA.

Задача 2

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А(5; 6); С(21; 18); tgC= 4 /₃.

Задача 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать уравнения окружностей вписанной и описанной около данного треугольника. А(11; 5); В(5; -3); С(-4; -3).