Уравнения суммы и разности кубов

Сумма и разность кубов двух выражений

Формула суммы кубов

Возьмём формулу куба суммы (см. §23 данного справочника):

и найдём из неё сумму двух кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

Скобка $(a^2-ab+b^2 )$ называется неполным квадратом разности.

Полный квадрат разности – это $ (a^2-2ab+b^2 ) = (a-b)^2 $

Мы получили формулу для разложения суммы двух кубов на множители:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула разности кубов

Возьмём формулу куба разности (см. §23 данного справочника):

и найдём из неё разность двух кубов:

$$ a^3-b^3 = (a-b)^3+3a^2 b-3ab^2 = (a-b)^3+3ab(a-b) = $$

Скобка $(a^2+ab+b^2 )$ называется неполным квадратом суммы.

Полный квадрат суммы – это $(a^2+2ab+b^2 ) = (a+b)^2$

Мы получили формулу для разложения разности двух кубов на множители:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

в) $ 8a^3+1 = (2a)^3+1^3 = (2a+1)(4a^2-2a+1) $

г) $125-64y^3 = 5^3-(4y)^3 = (5-4y)(25+20y+16y^2 )$

Пример 2. Докажите что выражения $19^3-11^3$ кратно 8

Что и требовалось доказать.

Пример 3*. Дайте геометрическое объяснение формуле суммы кубов (аналогичная задача – см. Пример 5 §23 данного справочника).

Рассмотрим куб со стороной (a+b), в противоположные углы которого вписаны кубы со сторонами a и b.
Объемы кубов: $V_ = (a+b)^3, V_a = a^3, V_b = b^3$
Объём фигуры, закрашенной оранжевым: $V_ <ор>= a(a+b)^2-V_a = a(a^2+2ab+b^2 )-a^3$ $= 2a^2 b+ab^2$
Объём фигуры, закрашенной синим: $V_ <син>= b(a+b)^2-V_b = b(a^2+2ab+b^2 )-b^3$ $= a^2 b+2ab^2$

$$ (a+b)^3 = a^3+b^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2 $$

$$ a^3+b^3 = (a+b)^3-3a^2 b-3ab^2 = (a+b)^3-3ab(a+b) = $$

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Сумма кубов, разность кубов.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Формулы сокращённого умножения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула суммы кубов.

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 +b 3 = a 3 + b 3

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Формула разности кубов.

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – ba 2 – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

Выражения (a 2 + ab + b 2 ) и (a 2 – ab + b 2 ) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a 3 + b 3 и a 3 – b 3 на два множителя:

(a + b)(a 2 – a b+ b 2 ) и (a – b)(a 2 + ab + b 2 ).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Выполните умножение многочленов:

1. ( x + 3)(x 2 –3x +9) = x 3 + 3 3 = x 3 + 27.
2. (2x – 3y)(4x 2 +6xy + 9y 2 ) = (2x) 3 – (3y) 3 = 8x 3 –27y 3 .

Разложите многочлен на множители:

1. x 3 – 8 y 3 = x 3 – (2y) 3 = (x – 2y) (x 2 +2xy + 4y 2 )
2. 64 a 3 – 27c 3 = (4a) 3 – (3c) 3 = (4a – 3c)(16a 2 +12 ac + 9c 2 ).

(x +2)(x 2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).

x 3 + 2 3 – x(x 2 – 9) = x 3 + 8 – x 3 + 9x = 8 + 9x.

Доказать, что выражение 123 3 + 27 3 кратно 50.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ),

получим: (123 + 27)(123 2 –123 · 27 + 27 2 ) =150 · (123 2 –123 · 27 + 27 2 ).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»