Уравнения сводящиеся к квадратным уравнениям вариант 2

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида
(ax + b)(ax + b + c)(ax +
+ b + 2c)(ax + b + 3c) = d , левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Трехчленные уравнения

Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида

а также уравнения вида

(2)

где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.

Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим

тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :

Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .

Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.

Покажем, как это осуществляется на примерах.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Если обозначить

то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение

В первом случае из равенства (6) получаем:

Во втором случае из равенства (6) получаем:

Пример 2 . Решить уравнение

(8)

Решение . Если обозначить

,

(9)

то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение

которое эквивалентно уравнению

В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:

Во втором случае из равенства (9) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Если обозначить

(12)

то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение

которое эквивалентно уравнению

В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:

Во втором случае из равенства (12) получаем:

Ответ :

Пример 4 . Решить биквадратное уравнение

Решение . Если обозначить

то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение

В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (15) получаем:

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Если обозначить

уравнение (17) превращается в уравнение

которое при умножении на y принимает вид

В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (18) получаем:

Ответ :

Пример 6 . Решить уравнение

Решение . Если обозначить

,

(21)

уравнение (20) превращается в уравнение

которое при умножении на y принимает вид

В первом случае из равенства (21) получаем уравнение

Во втором случае из равенства (21) получаем:

Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b , а разность равна c .

Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.

Тогда уравнение (23) примет вид:

Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:

Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:

Если теперь в уравнении (27) обозначить

то уравнение (27) станеи квадратным уравнением

Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .

Пример 7 . Решить уравнение

Решение .Если обозначить

уравнение (30) превращается в уравнение

Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):

Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:

Если теперь обозначить

то уравнение (34) станет квадратным уравнением

В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:

которое корней не имеет.

Во втором случае из равенства (35) получаем:

В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:

Во втором случае из равенства (31) получаем:

Ответ :

Контрольная работа по теме: «Уравнения сводящиеся квадратным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 40 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 30 км, за­тра­тив на весь путь 5 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 48 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 36 км, за­тра­тив на весь путь 6 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 40 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 30 км, за­тра­тив на весь путь 5 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 48 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 36 км, за­тра­тив на весь путь 6 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 40 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 30 км, за­тра­тив на весь путь 5 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 48 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 36 км, за­тра­тив на весь путь 6 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 40 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 30 км, за­тра­тив на весь путь 5 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

3) Сократите дробь: .

4) Решите уравнение: .

5) Баржа про­шла по те­че­нию реки 48 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 36 км, за­тра­тив на весь путь 6 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

Самостоятельная работа «Уравнения, сводящиеся к квадратным»

Вариант 1. Решить уравнения

1) х 4 – 5х 2 – 36 = 0

2)

3)

Вариант 2. Решить уравнения

1) х 4 + 12х 2 – 64 = 0

2)

3)

Вариант 3. Решить уравнения

1) х 4 + 4х 2 – 45 = 0

2)

3)

Вариант 4. Решить уравнения

1) х 4 – 6х 2 – 7 = 0

2)

3)

Вариант 5. Решить уравнения

1) 6х 4 – 5х 2 +1 = 0

2)

3)

Вариант 6. Решить уравнения

1) 8х 4 – 2х 2 – 1 = 0

2)

3)

Вариант 1. Решить уравнения

1) х 4 – 5х 2 – 36 = 0

2)

3)

Вариант 2. Решить уравнения

1) х 4 + 12х 2 – 64 = 0

2)

3)

Вариант 3. Решить уравнения

1) х 4 + 4х 2 – 45 = 0

2)

3)

Вариант 4. Решить уравнения

1) х 4 – 6х 2 – 7 = 0

2)

3)

Вариант 5. Решить уравнения

1) 6х 4 – 5х 2 +1 = 0

2)

3)

Вариант 6. Решить уравнения

1) 8х 4 – 2х 2 – 1 = 0

2)

3)

Для скачивания материалов с сайта необходимо авторизоваться на сайте (войти под своим логином и паролем)

Если Вы не регистрировались ранее, Вы можете зарегистрироваться.
После авторизации/регистрации на сайте Вы сможете скачивать необходимый в работе материал.

Заказать рецензию на методическую разработку
можно здесь

Оказание первой помощи в образовательных учреждениях Пройти обучение