Уравнения сводящиеся к квадратным задания повышенной сложности

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.

Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах

Уравнение 1

Решить уравнение:

1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.

(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

вводим новую переменную: пусть 2 x =y;

y 2 + 2 y -3 =0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D₁=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2 x = 2 0 ;

Уравнение 2

2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.

(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;

(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.

0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y 2 — 5 y+ 4 =0;

Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂= 5 , y₁+y₂= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y₁=1, y₂=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,5 2x = 0,5 0 ;

2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х

2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:

Уравнение 3

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.

Уравнения сводящиеся к квадратным задания повышенной сложности

Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

Разработка открытого урока «Решение квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Министерство образования и науки Республики Дагестан

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11»

«Решение квадратных уравнений и уравнений,

сводящихся к квадратным»

учитель по математике

Тема «Решение квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным»

1. образовательная цель: систематизация знаний, умений, навыков учащихся по

2. развивающая цель: формирование ключевых и предметных компетенций

(учебно-познавательной, общекультурной, информационной,

коммуникативной, компетенции личного

— карточки с заданиями теста;

— карточки с заданиями самостоятельной работы;

1. Организационный момент.

2. Теоретический опрос.

3. Проверочный тест.

4. Работа в группах (самостоятельная работа).

5. Решение задач на составление рационального уравнения.

6. Решение уравнения повышенной сложности из ГИА.

8. Домашнее задание.

1. Организационный момент .

(в тетрадях и на доске заранее записана дата, тема урока )

УЧИТЕЛЬ : С древних времён на Руси, прощаясь и встречаясь, говорили «Будь

здрав», позднее «Будь здоров», и, наконец, «Здравствуйте», т.е. люди

желали здоровья друг другу и я говорю : «Здравствуйте, ребята,

здравствуйте, наши гости». Садитесь, ребята.

УЧИТЕЛЬ : Урок я хочу начать притчей. Однажды молодой человек пришёл к

мудрецу и пожаловался ему: «Каждый день оп 5 раз я произношу фразу «Я

принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет».

Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови,

что ты выбираешь из них».

«Ложку» , — ответил юноша.

«Произнеси это слово 5 раз», — сказал мудрец.

«Я выбираю ложку», — послушно произнёс юноша 5 раз.

«Вот видишь, сказал мудрец, — повторяй хоть миллион раз в день, ложка не

станет твоей. Надо протянуть руку и взять ложку».

УЧИТЕЛЬ: Вот именно сегодня надо взять свои знания и применить их на практике,

потому что на нашем уроке мы обобщим все знания и покажем все наши

умения по теме СЛАЙД 1. «Квадратные уравнения ».

А эпиграфом к нашему уроку станут слова «Уравнения – это

золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

УЧИТЕЛЬ : Сегодня на уроке мы повторим теоретический материал по данной теме,

повторим и обобщим способы решения квадратных уравнений (как

полных, так и неполных), решение рациональных уравнений, проведём

тестирование, выполним самостоятельную работу, решим задачи на

составление рационального уравнения.

А чтобы выполнить всё намеченное вы должны быть активны и бодры, и для этого

мы сейчас проведём такие упражнения:

1. сложите ладони, интенсивно потрите их (это упражнение способствует мобилизации энергетического потенциала и работы всех внутренних органов, т.к. ан ладонях находится много биологически активных зон).

2. А теперь раздвиньте указательный и средний пальцы ан обеих руках, просуньте между ними уши и с силой растирайте кожу, этот массаж улучшит ваше зрение и активизирует работу головного мозга.

УЧИТЕЛЬ: Теперь вы готовы к активной и плодотворной работе.

Каждый вид работы на уроке будет оцениваться в баллах, которые вы

будете заносить в оценочный лист (заранее положить на парты).

2. Теоретический опрос .

УЧИТЕЛЬ : Итак, приступаем к работе. Сначала проверим ваши теоретические знания

по данной теме. Правильный ответ оценивается в 1 балл.

1. Какое уравнение называется квадратным?

(квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где коэффициенты а, b, с – любые действительные числа, причём а ≠ 0. Коэффициенты различают по названиям: а – первый или старший коэффициент, b- второй коэффициент, с – свободный член)

2. Какое квадратное уравнение называется приведённым, а какое — неприведённым?

( квадратное уравнение называется приведённым, если его старший коэффициент равен 1, неприведённым – если первый коэффициент отличен от 1)

3. Какие ещё квадратные уравнения, кроме приведённых и неприведённых, различают?

(Полные и неполные квадратные уравнения)

4. Какое уравнение является полным?

(полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все 3 слагаемых или в котором второй коэффициент и свободный член не равны 0).

5. Записать виды неполных квадратных уравнений.

6. Записать решение неполных квадратных уравнений в общем виде.

7. В чём состоит алгоритм решения полного квадратного уравнения?

( вычислить дискриминант по формуле D = b 2 – 4ас;

Если D = 0, то уравнение имеет 1 корень

Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня и их находят по формуле: х = -b± √ D

8. Какое уравнение называется рациональным?

( Рациональное уравнение – это уравнение, в левой части которого стоит рациональное выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, а в правой части стоит 0, т.е r (х) = 0).

9. В чём состоит алгоритм решения рационального уравнения?

(- перенести, если нужно, все члены уравнения в одну часть;

— преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби р(х)/q(х) = 0

— решить уравнение р (х) = 0;

— для каждого найденного корня уравнения р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения, если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует).

10. Указать номера уравнений, являющихся квадратными.

1. х 2 + 3х + 1 = 0

2. 5х 3 – х 2 + 4 = 0

4. 3х 2 – 2х 3 + 7 = 0

9. 3,2х 2 + 6х = 0 (Ответ:1, 5, 7, 8,9)

УЧИТЕЛЬ : Подсчитайте число набранных вами баллов на пройденном этапе работы

и занесите в соответствующую графу оценочного листа (заносят).

УЧИТЕЛЬ: Продолжаем. СЛАЙД 3. Михаил Васильевич Ломоносов говорил:

«Теория без практики мертва и бесплодна. Практика без теории

невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных

квадратных уравнений, выполнив задания теста в течение 10 мин.

№ 1. Решить уравнение: 3х 2 = 0

1) — 3; 2) 0; 3) 3; 4) 1.

№ 2. Решить уравнение: 3х 2 – 3х + 4= 0

1) 4 ; 2) 3 и 4; 3) -3 и 4; 4) нет корней

№ 3. Решить уравнение: 3х 2 – 5х + 6 =0

1) – 2 и 3; 2) 2 и — 3; 3) 2 и 3; 4) -0,25

№ 4. Решить уравнение: х 2 – 64 = 0

1) 8 и — 8; 2) 4 и -4; 3) 2 и 32; 4) -2 и 32

№ 5. Решить уравнение: 25х 2 + 10х + 1 = 0

1) 0,2; 2) 2 и 5; 3) – 0,2; 4) 5.

Оценка теста: 1задание – 1 балл

2 задание — 2 балла

3 задание – 2 балла

4 задание – 1 балл

5 задание -1 балл

СЛАЙД 4. Ответы теста : 24313

УЧИТЕЛЬ : (По окончании работы открываю заранее приготовленные ответы,

ученики подсчитывают баллы и заносят их в оценочный лист ).

Ребята, проверьте ваши решения и поставьте набранные вами баллы в

УЧИТЕЛЬ : А сейчас мы проведём с вами физкультминутку.

1. откиньтесь на спинку стула, прикройте веки, крепко зажмурьте глаза, откройте глаза, поморгайте. Повторите 4 раза.

2. сидя, руки на пояс. Повернуть голову вправо – посмотреть на локоть правой руки, повернуть голову влево – посмотреть на локоть левой руки. Повторить 4 раза.

3. по 4 раза, не поворачивая головы, глазами проводим вверх – вниз, затем влево – вправо, по часовой стрелке, против часовой стрелки, рисуем глазами знак бесконечности.

УЧИТЕЛЬ : Достаточно. Продолжаем нашу работу. Сядьте, пожалуйста,

Парами : Маша сядет с Юлей, Лиза — с Никитой, Паша — с Ваней

СЛАЙД 5 . А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время

между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по – моему, гораздо

важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения

будут существовать вечно». И решать их нужно правильно.

Я предлагаю вам решенное уравнение (СЛАЙД 6)

Но вы должны проверить, правильно ли я его решила?

Помогите мне с этим разобраться. Проверьте и выступите в роли

Ответ: (исправляет ученик у доски)

УЧИТЕЛЬ : Итак, корнем данного уравнения является число 11.

4. Самостоятельная работа (работа в парах)

УЧИТЕЛЬ: А теперь самостоятельно в группах решить уравнения .

УЧИТЕЛЬ : Спрашиваю ответы у пар учащихся.

Итак, корнями последних четырёх уравнений стали числа 11, 15, 19,21.

Об этих числах можно сказать следующее:

11 ч. – время наивысшей трудоспособности;

15 ч.- время наибольшего утомления;

19ч — вечерний подъем трудоспособности;

21 ч.- время прекращения всякой трудоспособности.

УЧИТЕЛЬ : Использование полученных знаний о биологических ритмах при

составлении режима дня позволит вам достичь максимальной

трудоспособности и повысить сопротивляемость организма к

утомлению. Так что будьте здоровы и не утомляйтесь.

Поставьте в оценочный лист ваши баллы (ставят).

УЧИТЕЛЬ: Ребята, а сейчас мы приступаем к решению задач на составление

УЧИТЕЛЬ: Откройте задачник на с. 165. Задача № 27.15 (резерв № 27.10)

Всего пар обуви

— = 9 и т. д. Ответ: 5400 : 150 = 36 дней.

1 ученик составляет таблицу с условием,

2 –й – составляет уравнение и решает уравнение до приведения его к виду р(х)/q(х) = 0

3-й – решает его, находя корни

4- й – проверяет корни

5- й – отвечает на вопрос задачи

— Составляем краткую запись условия (вызываю 6 ученика )

— Составляем уравнение (вызываю 7 ученика)

— оставьте место для решения этой задачи дома.

УЧИТЕЛЬ: А сейчас Маша покажет решение рационального уравнения, которое

взято из экзаменационной работы по математике за курс основной школы.

= — 10 , D = 9, t = 2, t = -1,

2 и — 1

х 2 – 3х = 4 и х 2 – 3х = — 2 (дома дорешать)

УЧИТЕЛЬ : Спасибо, Маша, поставь себе 1 балл.

6. Итоги урока . (рефлексия)

УЧИТЕЛЬ : Ребята, наш урок подходит к концу. Подсчитайте, пожалуйста,

набранные вами баллы и, используя критерии оценки, поставьте себе

оценку за урок (ставят), а я выставлю ваши оценки в журнал (сообщают

свои оценки, я ставлю их в журнал).

7. Домашнее задание № 27.10 (дорешать), дорешать 2 уравнения.

УЧИТЕЛЬ: А теперь проведём небольшую физкультминутку.

— Наклоните голову на грудь, затем отведите назад и опять вперёд.

(это упражнение снимает напряжение мышц шеи, а также умственную усталость).

— Встаньте, поверните туловище влево, поднимите руки вверх, поверните туловище вправо, руки опустили. Садитесь.

УЧИТЕЛЬ : Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока СЛАЙД 1 «Решение

уравнений — это золотой ключ, открывающий все сезамы».

Мне хотелось бы вам пожелать , чтобы каждый из вас нашел в жизни свой золотой ключик, с помощью которого перед вами открывались бы любые двери.

Урок окончен. Спасибо за работу. Будьте здоровы.

Краткое описание документа:

В данной разработке имеются подробные этапы всего урока. Материал пригодится как начинающему педагогу, так и опытному.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 759 материалов в базе

Другие материалы

• 23.04.2021
• 71
• 2

• 23.04.2021
• 124
• 2

• 23.04.2021
• 144
• 0

• 23.04.2021
• 74
• 1

• 23.04.2021
• 120
• 0

• 23.04.2021
• 57
• 0

• 23.04.2021
• 98
• 0

• 23.04.2021
• 59
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.04.2021 83
• DOCX 410.5 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Меджидова Заира Меджидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5114
• Всего материалов: 12

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.