Уравнения сводящиеся к квадратным заменой переменной

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16

2х 2 = 50

х 2 + 9 = 0

х 3 — 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

  1. а 2 — 36 =
  2. 3в 2 — 12 =
  3. х 2 — 10х + 25 =
  4. х 3 — 49х =

Раскрыть скобки:

  1. (х 2 + 3х ) 2 =
  2. (7 — х 2 ) 2 =
  3. — (3х — 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

— Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

— Посмотрите решение еще одного примера.

— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

Вернемся к замене.

1) 3х — 4 = 3

2) 3х — 4 = 2

Ответ: ; 2.

Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3

Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25

Вернемся к замене:

1) х 2 + 3 = 3

х = 0

2) х 2 + 3 =

х 2 =

нет корней

6. Закрепление изученного материала.

— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.

7. Подведение итогов и задание на дом.

— Что нового вы узнали на уроке?

— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?

— Ваше домашнее задание на экране.

— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!

8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)

Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:

1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8

2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0

Решить уравнения:

1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5

2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12

Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:

1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12

2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0

Решить уравнения:

1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0

2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15

Дополнительно.

  1. (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
  2. (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24

Конспект урока по теме «Уравнения, сводящиеся к квадратным»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Свободненская средняя общеобразовательная школа»

« Уравнения, сводящиеся к квадратным »

(Алгебра 8 класс)

Алеевская Татьяна Петровна

Тема урока: « Уравнения, сводящиеся к квадратным »

Класс: 8 класс, учебник «Алгебра – 8» Ш.А. Алимов и др. Форма проведения: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Систематизация знаний, учащихся по теме «Квадратные уравнения» и «Уравнения, сводящиеся к квадратным». Изучение алгоритма решения уравнений, сводящимся к квадратным методом замены переменных, решение уравнений из второй части ОГЭ.

Воспитание дисциплинированности, самостоятельности, упорства в достижении поставленной цели, формирование интеллектуальные умений.

Развитие навыков памяти, самоконтроля, наблюдательности, умения правильно обобщать и делать вывод. культуру устной и письменной речи.

Тип урока : урок изучения новой темы.

Место проведения : учебный кабинет

Оборудование : Учебник: Алгебра, 8 класс. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин, Издательство «Просвещение», 2019 г. Карточки, школьная доска-компьютер, доска для маркера.

Формирование навыков решения уравнений, сводящихся к квадратным, навыков исследовательской работы, работы в парах и индивидуально, привитие интереса к предмету, навыков самооценки.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний и умений.

  1. Первичное усвоения новых знаний.
  2. Работа в парах, направленная на первичное закрепление новых знаний.
  3. Физкультминутка.
  4. Решение более сложных заданий.
  5. Задание на дом.
  6. Итог урока. Выставление оценок учащимся.

1. Организационный момент:

Организация начала занятия, приветствие, проверка готовности класса к уроку.

2. Проверка домашнего задания

3 ученика вызываются к доске с заданиями: разложить квадратный трёхчлен на множители. Задания аналогичные домашней работе. Один ученик находит корни квадратного трёхчлена по приведенному уравнению, другой – по полному, третий решает, как удобнее.

Разложите на множители:

Разложите на множители:

Разложите на множители:1) x 2 -8 x — 9

3. Актуализация знаний и умений .

Работа по закреплению знаний, полученных на прошлом уроке.

Фронтальная работа с классом . Повторение теоретического материала по изученной теме «Квадратные уравнения».

Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение?

Какие уравнения мы называем линейными? Какие уравнения мы называем квадратными? Приведите примеры.

Сколько корней может иметь линейное уравнение (квадратное) уравнение?

Какие виды неполных квадратных уравнений вам известны? Приведите примеры.

Какой общий вид имеет полное квадратное уравнение? Приведите пример.

Какие квадратные уравнения мы умеем решать? Приведите примеры.

Назовите корни следующих квадратных уравнений. Как называется этот вид уравнений?

Почему последнее уравнение не имеет корней?

1. Первичное усвоения новых знаний

Мы научились решать квадратные уравнения по формулам. Как полного квадратного уравнения, так и приведенного. Мы умеем решать такие уравнения и по теореме, обратной теореме Виета.

Ученик у доски. Решает квадратное уравнение:

1) x 2 -10x + 9 = 0

x 1 x 2 = 9

Теперь подумаем, как решить вот такое уравнение:

2) x 4 -10 x 2 + 9 = 0,

Какая степень уравнения? Как можно понизить степень данного уравнения? Вводим замену переменной: x 2 = t . Получим уравнение: t 2 -10 t + 9 = 0. Чем оно отличается от первого уравнения? Мы уже вычислили корни данного уравнения. Теперь вернёмся к нашей замене переменной и решим получившиеся неполные квадратные уравнения:

Сколько корней получили в ответе?

3) Решим следующее уравнение. Второй ученик у доски.

x 4 -3 x 2 — 4 = 0. Введите замену переменной x 2 = t .

t1 t2 = -4

Вернёмся к замене переменной.

Имеет ли корни уравнение x 2 = -1? Сколько действительных корней будет иметь данное уравнение?

Класс решает уравнения по учебнику № 468(2), №469(2) . Одновременно два ученика на доске решают следующие уравнения.

Уравнения учеников: x 4 -6 x 2 — 5 = 0; x 4 — 2 x 2 — 3 = 0.

Затем проверяются уравнения, решенные учениками на доске, и идет переход на другую страницу доски-компьютера, на которой решение уже написано.

1) Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1 -4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 1-5. Повторить 4-5 раз.

2) Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4. До усталости глаза не доводить. Затем открыть глаза, посмотреть вдаль на счет 1-5. Повторить 4-5 раз.

3) Нарисовать глазами восьмёрку.

4) Потереть руками пальцы, похлопать в ладоши. (Устают не только глаза, но и пальцы, держащие ручку).

7. Решение более сложных заданий.

(Задания №19 второй части ОГЭ)

Продолжаем освоение нового метода решения уравнений. Предлагаю решить следующие уравнения:

Как можно освободиться от дроби? Какая замена переменной нас устроит?

t1 t2 = -4 ,

Вернёмся к замене переменной.

Каждое из получившихся приведённых уравнений имеет корни? Почему первое уравнение не имеет решения?

Ответ: — .

= -1,

=4

x 2 =

Найдем корни следующего уравнения:

перепишем уравнение в удобной для нас форме.

Замена: = t

=-1 = 4

1= — x +3 4( x — 3) = 1

x = 2 x -3 =

x = 3 Ответ: 2; 3 .

Ребята, вы поняли метод решения данного типа уравнений? Уравнения для закрепления темы решаем в парах с последующей проверкой на доске.

1) ( x — 3) 4 – 5( x — 3) 2 – 14 = 0

Одновременно два ученика решают у доски похожие уравнения:

№1. ( x + 2) 4 – 3( x + 2) 2 – 18 = 0

№2.

8. Домашнее задание: № 468(3), №469(3) , 472.

9. Итог урока. Выставление оценок учащимся.

Какой тип уравнений мы научились решать? Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Сколько корней может иметь уравнение четвертой степени? От чего это зависит? С какой целью мы вводили замену переменных? (В первом случае понизили степень уравнения, во втором случае не стали приводить к общему знаменателю алгебраические дроби, чем и упростили решениеуравнений).

На уроке я разобрался в теме и успел сделать…

В результате научился…

Я не понял, у меня не получилось…

Кому на уроке все было понятно встаньте и похлопайте в ладоши, у крого остались вопросы и не все получалось поднимите руки.

Краткое описание документа:

Сначала решается приведенное квадратное уравнение. Затем предлагается решить уравнение четвертой степени, причем, после замены переменной мы приходим к предыдущему уравнению, еще и еще раз предлагается решить более сложные уравнения. В результате приходим к предыдущему уравнению. После этого обсуждаем принцип решения подобных уранений и закрепляем полученные знания самостоятельной работой. Такой подход экономит время на уроке и позволяет больше решить приведенных уравнений.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 572 575 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Алимов Ш.А. и др.

§ 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным

Другие материалы

  • 10.02.2022
  • 116
  • 6
  • 10.02.2022
  • 47
  • 1

  • 10.02.2022
  • 19
  • 0
  • 10.02.2022
  • 24
  • 0

  • 10.02.2022
  • 22
  • 0

  • 10.02.2022
  • 40
  • 2

  • 10.02.2022
  • 26
  • 0

  • 10.02.2022
  • 48
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 10.02.2022 60
  • DOCX 107 кбайт
  • 1 скачивание
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Алеевская Татьяна Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 5 лет и 4 месяца
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 18200
  • Всего материалов: 29

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Разберем показательные уравнения, сводящиеся к квадратным. Их могут ученики кратко называть «квадратные показательные уравнения», хотя это название не точное. Однако, многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax 2 +bx+c=0.

Показательные уравнения, приводимые к квадратным на примерах

Уравнение 1

Решить уравнение:

1) 4 x +2 x+1 -3=0. Представим 4 x в виде степени с основанием 2.

(2 2 ) x +2 x ∙2 1 -3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

вводим новую переменную: пусть 2 x =y;

y 2 + 2 y -3 =0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=1 2 -1∙(-3)=1+3=4=2 2 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2 x =-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2 x = 1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2 x = 2 0 ;

Уравнение 2

2) 0,25 2x -5∙0,5 2x +4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,25 2x — в виде степени с основанием 0,5.

(0,5 2 ) 2x -5∙0,5 2x +4=0;

(0,5 2x ) 2 -5∙0,5 2x +4=0.

0,5 2x =y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y 2 — 5 y+ 4 =0;

Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙1∙4=25-16=9=3 2 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y1+y2= 5 , y1+y2= 4 . Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,5 2x = 1 ; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,5 2x = 0,5 0 ;

2) 0,5 2 x =4; приведем степень 0,5 2 x к основанию 2, применив формулу: (1/a) x =а -х

2 -2 x =2 2 ; приравниваем показатели:

Уравнение 3

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а -х =1/a x и a x ∙a y =a x + y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Итак, решение показательных уравнений, которое мы разбирали в предыдущем уроке, пополнилось еще одним методом — приведением показательного уравнения к обычному квадратному уравнению. Такие уравнения называют — показательные уравнения, сводящиеся к квадратным.


источники:

http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-teme-uravneniya-svodyashiesya-k-kvadratnym-5766447.html

http://mathematics-repetition.com/pokazatelnye-uravneniya-svodyachshiesya-k-kvadratnym/

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут