Уравнения сводящиеся к однородным тригонометрическим

Западно-Казахстанский Университет им. М. Утемисова

По предмету «Профессиональный русский язык»

На тему: «Однородные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним».

Выполнила студ. группы М-31: Жумакожиева А.А.

Проверила: Лукпанова Л.Х.

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….….3
2. Теоретический раздел

1. Глоссарий по теме………………………………………………………4
2. Однородные уравнения ………………….……………………………..5
3. Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени…. 6

1. Раздел решения задач

1. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки………………………………..……7
2. Решение более сложных тригонометрических уравнений……. 11

1. Заключение …………………………………………………………………. 14
2. Список литературы…………………………………………………. ………15

Тригонометрия возникла как аппарат для вычисления неизвестных параметров треугольника по заданным значениям других его параметров. Так, методами тригонометрии по данным сторонам треугольника можно вычислить его углы, по известной площади и двум углам вычислить стороны и т.д. Необходимость отыскивать неизвестные параметры данного треугольника впервые возникла в астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия была одним из ее разделов.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до нашей эры. Греческие астрономы не рассматривали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они составили и использовали таблицы, позволяющие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в средние века в работах индийских и арабских ученых. Современные буквенные обозначения появились в тригонометрии в середине XVIII века. Приблизительно в то же время в тригонометрии стала рассматриваться радианная мера угла, были введены тригонометрические и обратные тригонометрические функции числового аргумента, после чего тригонометрия приобрела свой современный вид.

Глоссарий по теме

1. Синус угла– ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается.

1. Косинус угла – абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол .

Обозначается.

1. Тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу.

Обозначается .

1. Котангенс угла отношение косинуса угла к его синусу.

Обозначается .

1. Арккосинусом числа называется такое число α, что: . Арккосинус числа m обозначают: .
2. Арксинусом числа называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .
3. Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают: .
4. Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и . Арккотангенс числа n обозначают:
5. Уравнение вида:

называется однородным. Здесь f и g произвольные функции, — коэффициенты.

1. Универсальная тригонометрическая подстановка — это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

Все тригонометрические функции рационально выражаются через sinx и cosx, то в общем случае рациональное уравнение относительно тригонометрических функций одного аргумента можно представить в виде

Где R – рациональная функция относительно sinx и cosx.

Если то любое тригонометрическое уравнение вида (1), рационально относительно всех входящих в него тригонометрических функций, можно привести к рациональному уравнению относительно неизвестного с помощью формул, выражающих тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Однако, решая уравнение таким методом, можно потерять корни вида для которых не имеет смысла. Поэтому необходимо проверять, являются ли числа

корнями исходного уравнения.

Если уравнение вида (1) или приводимое к нему при замене не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно sinx.

Если уравнение (1) или приводимое к нему не изменяется при замене то его имеет смысл приводить к рациональному относительно cosx.

Если уравнение (1) или приводимое к нему при замене не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно tgx.

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 (однородное уравнение 3-й степени) и т.д.

Общий вид однородного тригонометрического уравнения:

.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin n x или на cos n x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx:

Справедливы соотношения:

1. tg a ctg a=1
2. tg a=1/ctg a
3. ctg a=1/tg a
4. 1+tg 2 a=1/cos 2 a
5. 1+ctg 2 a=1/sin 2 a

Уравнение вида atg x+bctgx+c=0 приводится к квадратному уравнению одной тригонометрической функции путем замены ctgx=1/tgx

Уравнение вида называется однородным первой степени относительно sinx и cosx. Оно решается делением обеих частей на В результате получается уравнение вида atg x+b=0.

Уравнение вида

Называется однородным уравнением второй степени относительно sin f(x) и cosf(x) если все три коэффициента a, b, k или какие-либо два из них отличны от нуля. Считая, что разделим обе части уравнения на тогда получим:

Уравнение (2) равносильно уравнению (1), т.к. корни уравнения cos 2 f(x)=0 не являются корнями уравнения (1).

Однако если a=0, то уравнение (1) принимает вид которое решается разложением левой части на множители:

Как, например, быть в том случае, когда тригонометрическое уравнение выглядит, например, так:

.

Для этого нам нужно рассмотреть некоторые вспомогательные приемы решения уравнений, а также формулы преобразования тригонометрических выражений.

1. Итак, рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение.

называется однородным.

Здесь f и g произвольные функции, коэффициенты.

В зависимости от значения показателя n, мы можем получить однородное уравнение первой, второй или более высокой степени.

Например, уравнение является однородным, а уравнение однородным не является.

2. Теперь перейдем к рассмотрению однородных тригонометрических уравнений.

Если функции f и g это синус и косинус одного и того же аргумента, то мы получим тригонометрическое однородное уравнение.

Рассмотрим сначала однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Запишем его в общем виде: (1).

Разделим это уравнение на (или на ) и получим: .

Решать такие уравнения мы умеем: , .

Заметим, что, решая это уравнение, мы выполняли деление уравнения на выражение с переменной. Так как это действие не является равносильным, проверим, не потеряли ли мы корни.

Если , то . То есть при подстановке в уравнение (1) таких значений х, при которых , оно не обратиться в верное числовое равенство, а значит такие х корнями исходного уравнения не являются, и значит наше действие не приведет к потере корней.

.

Ответ:

Решим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Общий вид такого уравнения:

(2)

Так же, как и уравнение (1), разделим его на наибольшую степень косинуса х.

Так же, как и при решении уравнения (1), мы должны убедиться в том, что при делении уравнения на выражение с переменной мы не потеряли корней. Это не произойдет в том случае, если .

После деления мы получили квадратное уравнение относительно тангенса х, которое и решаем известными способами.

.

При решении этого уравнения мы можем вводить новую переменную , но можем этого и не делать.

.

В зависимости от значения дискриминанта этого квадратного уравнения оно может иметь от 0 до 2 корней. И, соответственно, исходное уравнение может иметь две серии решений, одну или ни одной.

.

.

Ответ: .

Даже если исходное тригонометрическое уравнение второй степени не является однородным, можно его преобразовать к такому виду.

Рассмотрим это сначала на примере уравнения второй степени.

Сначала умножим 3 на тригонометрическую единицу, то есть на выражение

( . Мы получим:

Теперь преобразуем полученное уравнение к однородному виду:

Теперь решим полученное однородное уравнение:

.

.

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим, как можно привести к однородному уравнение вида

, то есть левая часть которого является однородной первой степени, а в правой стоит число.

Рассмотрим это на примере.

Используем формулы двойного аргумента:

Подставим их в исходное уравнение и домножим на тригонометрическую единицу 2, стоящую в правой части.

.

.

Ответ: .

Заметим, что подобные уравнения можно решить и по-другому, а именно, применив формулу вспомогательного аргумента:

Рассмотрим решение примера 4 этим способом.

Преобразуем левую часть:

Ответ:

Мы видим, что результат, полученный при решении разными способами, кажется разным. Но на самом деле в тригонометрии одно и то же число может быть записано разными способами.

Можно сказать, что первый способ в этом случае приводит к более короткому и красивому результату.

В такой записи уравнение не является однородным.

Используем формулу синуса двойного аргумента.

Теперь уравнение однородное.

, .

Ответ: .

Решить уравнение

1) с помощью формулы вспомогательного аргумента

Ответ:

2) с помощью формул синуса и косинуса двойного аргумента

Ответ:

3) Решите уравнение:

Ответ:

4. Рассмотрим теперь решение тригонометрических уравнений с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Она называется универсальной, так как позволяет любое уравнение вида

(*), где рациональная функция, свести к рациональному алгебраическому уравнению.

Универсальная тригонометрическая подстановка – это формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса аргумента через тангенс половинного аргумента:

То есть если сразу обозначить , то уравнение (*) примет вид: . А так как сама функция F является рациональной, то и получающееся уравнение будет рациональным алгебраическим.

Рассмотрим пример 5.

Решить уравнение .

Область определения исходного уравнения:

Преобразуем исходное уравнение:

или

Используем универсальную тригонометрическую подстановку.

Если , то получим уравнение:

, .

Ответ: .

Заметим, что когда мы используем универсальную тригонометрическую подстановку, у нас появляется тангенс половинного угла, который не всегда определен. Поэтому мы можем потерять корни. Нужно проверить.

определен для всех .

Так как эти числа, не принадлежат области исходного уравнения, то мы не потеряем корней.

Рассмотрим решение уравнения

(**)

Найдем область допустимых значений:

Теперь используем универсальную тригонометрическую подстановку и формулу тангенса суммы аргументов.

Область допустимых значений полученного уравнения уже, чем исходного:

.

Решим полученное уравнение:

.

Но необходимо проверить те числа, которые выпали из области определения после использования универсальной тригонометрической подготовки.

Это числа вида .

Подставим π в (**): верное равенство. Это означает, что числа вида тоже являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, получается ответ.

.

Ответ: .

В данной работе были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений, как простейших, так и сложного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические — характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.

В моей работе были рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений.

Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при составлении факультативов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к вступительным экзаменам и централизованному тестированию.