Уравнения связи нормального ускорения с угловой скоростью

§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).

При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ₀ в начальный момент времени t₀ и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87):

Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы. Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени. Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)

В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

T = . (1.28.3)

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),

Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с -1 , винта вертолета — 4—6 с -1 , ротора газовой турбины — 200—300 с -1 .

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t — t0 = t. Тогда угол поворота равен

По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω₀ + β(t — t₀), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t₀. При t₀ = 0

Эта формула подобна формуле проекции скорости v_x = v_0x + a_xt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь. При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR. Модуль линейной скорости движения

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то

Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с 2 .

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения.
2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с. Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?
3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.
4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту. Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?
5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?
6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.
7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м. Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения?

1. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.
2. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с 2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение а₁, будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

   

   Рис. 1.89

3. Маховик приобрел начальную угловую скорость ω = 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился. Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.
4. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через t₁ = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v₁ = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t₂ = 15 с.
5. Шкив радиусом R = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением β = 3 рад/с₂. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с₂?
6. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением β = 0,04 рад/с₂. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?

(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17’48». В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: .

(2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0:

(3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткая теория

Положение материальной точки или твердого тела при заданной оси вращения определяется углом поворота или угловым перемещением , которое направлено вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 2.1). Направление вектора поворота связывают с направлением вращения тела. Следовательно, является не истинным вектором, а псевдовектором.

Средняя угловая скорость и среднее угловое ускорение материальной точки

, (2.1)

где — изменение угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость материальной точки

. (2.2)

Мгновенное угловое ускорение

. (2.3)

Направление векторов угловой скорости и углового ускорения совпадают с осью вращения (рис.2.1). Угловая скорость, угловое ускорение, как и угловое перемещение, являются псевдовекторами.

Частота вращения

(2.4)

где — число оборотов, совершаемых телом за время ; — период вращения (время одного полного оборота).

Число оборотов N, совершаемых телом при вращательном движении, связано с углом поворота φ соотношением:

УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинематическое уравнение равномерного вращательного движения

, (2.6)

где — начальное угловое перемещение; — время. При равномерном вращении

Кинематическое уравнение равнопеременного вращательного движения ( )

, (2.7)

где — начальная угловая скорость.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращательном движении

. (2.8)

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИМИ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Длина пути, пройденного материальной точкой по дуге окружности радиусом при повороте на угол Δφ (рис.2.1)

. (2.9)

Связь между линейной и угловой скоростью(рис.2.2)

; . (2.10)

Связь между тангенциальным и угловым ускорением(рис.2.2)

. (2.11)

Связь между нормальным ускорением и угловой скоростью

— (2.12)

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ	КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
, при	, при
, при	, при
, при	, при

Вопросы для самоподготовки

1. Сформулируйте определение вращательного движения твердого тела.

2. Назовите основные кинематические характеристики вращательного движения, дайте им определение.

3. Объясните, почему линейное перемещение, скорость и ускорение не являются характеристиками вращательного движения твердого тела.

4. Дайте определение периода и частоты вращения.

5. Выведите кинематические уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движения.

6. Выведите уравнение угловой скорости при равнопеременном вращательном движении.

7. Назовите формулы связи кинематических характеристик поступательного и вращательного движения.

8. Покажите аналогию между основными характеристиками поступательного и вращательного движения.

9. Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рисунке показан график зависимости проекции скорости v_τ от времени ( — единичный вектор положительного направления, v_τ – проекция на это направление). Как при этом меняется величина нормального a_n и тангенциального a_τ ускорения материальной точки?

Примеры решения задач

2.1.Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса r=10 см с постоянным касательным ускорением a_τ=0,4 см/с 2 . Найти:

1) момент времени t от начала вращения, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол β=45 0 ;

2) путь, пройденный материальной точкой за это время;

3) угол поворота материальной точки по окружности за это время.

1. По условию задачи материальная точка движется по окружности с постоянным касательным ускорением . Следовательно, мгновенную скорость движущейся точки при v₀=0 можно найти по формуле (1.25), откуда

.

Скорость v и нормальное ускорение a_n=v 2 /r непрерывно возрастают со временем, а вектор полного ускорения со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Так как векторы и в данный момент времени всегда одинаково направлены, то угол β между векторами и зависит от соотношения между нормальным a_n и касательным a_τ ускорениями:

.

Тогда искомый момент времени найдем из соотношения:

.

2. В соответствии с формулой (1.22) путь, пройденный материальной точкой за это время

.

3. Угол поворота φ при вращательном движении линейно зависит от пройденного пути по формуле (2.9) и также изменяется со временем по квадратичному закону. Тогда угол поворота материальной точки в момент времени t=5c равен:

φ .

Ответ: 1. ; 2. ; 3. φ .

2.2. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где — постоянный вектор, — угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла .

. .

Выберем положительное направление оси z вдоль вектора . Согласно формуле (2.3), . Представив dt по формуле (2.2) как , можно преобразовать предыдущее уравнение к виду

. (1)

Проинтегрируем выражение (1) с учетом начального условия ( , ):

;

.

.

Ответ: .

2.3. Круглый конус с радиусом основания R и высотой h катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рисунке 2.5. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О на уровне точки С – центра основания конуса. Точка С движется с постоянной скоростью v. Найти угловую скорость .

R, .

1. За промежуток времени dt цилиндр совершит поворот d вокруг оси ОC и одновременно поворот d вокруг оси ОО / . Суммарный поворот . Поделив обе части этого равенства на dt, получим

, (1)

где и — угловые скорости вращения вокруг осей ОО / и ОС соответственно. Модули векторов и можно найти, используя выражение (2.10): ,

тогда , . (2)

Их отношение . Модуль вектора можно найти по теореме Пифагора, используя выражения (2):

.

Ответ: .

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω