Уравнения тока в цепи с емкостью

Цепь переменного тока с ёмкостью

Поскольку после того, как конденсатор зарядился полностью, он не пропускает через себя электрический ток, и поэтому идеальный конденсатор (ёмкость), установленный в цепи постоянного тока, обладает бесконечно большим сопротивлением.

Цепь переменного тока с ёмкостью

Если же произвести подключение конденсатора к источнику переменного тока, то процесс его заряда и разряда будет осуществляться непрерывно. Это означает, что через ёмкость будет проходить переменный электрический ток.

Ток i при условии включения в цепь переменного тока некоторой ёмкости будет определяется количеством электричества q , протекающего по этой цепи в единицу времени. Из этого следует, что:

где Δq – это изменение заряда q (то есть количества электричества) в течение времени Δt .

Что касается заряда q , который накоплен при изменениях напряжения u в конденсаторе, то он также подвержен непрерывному изменению, которое выражается формулой:

где Δu – это изменение напряжения u в течение промежутка времени Δt .

Та скорость, с которой изменяется напряжение (она выражается отношением Δu / Δt ) будет иметь свои наибольшие значения тогда, когда угол ωt равняется 360° , 180° и 0° . Из этого следует, что значение тока i принимает свои наибольшие величины именно в эти моменты времени. Если же угол ωt равняется 270° и 90° , то i = 0 , поскольку скорость изменения напряжения Δu / Δt = 0 .

Ток и напряжение в цепи переменного тока с ёмкостью

Ток заряда, который принято считать положительным, в цепи течет тогда, когда происходит заряд конденсатора, то есть на протяжение первой четверти периода. По мере того, как разница потенциалов на электродах ёмкости растет вследствие накопления ею электрического заряда, значение тока i падает. Когда ωt = 90° , наступает полный заряд емкости, значение i = 0 , а разность потенциалов между электродами конденсатора обретает то же самое значение, что и напряжение источника тока.

Значение тока i становится отрицательным тогда, когда он меняет свое направление. Это происходит тогда, когда ёмкость начинает разряжаться, то есть во второй четверти периода. Тогда, когда u = 0 а ωt = 180° , значение тока i становится максимальным. В этот же самый момент ток i начинает течь в обратном направлении (его принято считать отрицательным), начинается процесс перезарядки емкости, а полярность напряжения u источника также меняется на противоположную. Когда ωt = 270° значение тока i становится равным нулю, и поэтому процесс заряда прекращается. После чего начинается разряд при первоначальном (то есть положительном) направлении тока.

Получается, что ёмкость и заряжается, и разряжается два раза на протяжении одного периода изменения напряжения. Из этого следует, что переменный ток i протекает в цепи непрерывно. Когда ёмкость включается в цепь переменного тока, то ток i опережает напряжение u по фазе на угол, равный 90° . Можно также сказать, что напряжение u отстает по фазе от тока i на угол, равный 90° .

Емкостное сопротивление

Сопротивление, которое проявляет ёмкость к переменному току, носит название емкостного. Единицей измерения этой величины является Ом, а обозначается оно Х_с. Физическая природа емкостного сопротивления заключается в том, что оно обусловлено возникающей в конденсаторе ЭДС е_с . Направление этой электродвижущей силы противоположно приложенному напряжению u , поскольку заряженная ёмкость рассматривается в качестве источника, у которого между пластинами действует некоторая ЭДС е_с . Именно она препятствует тому, чтобы под действием напряжения u происходило изменение тока, то есть оказывает определенное сопротивление его прохождению.

Цепь переменного тока с емкостью.

Как известно из курса физики, совокупность двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, называется конденсатором и представляет собой электрическую емкость.

Следовательно, всякая электрическая линия передачи (воздушная или кабельная) может рассматриваться как некоторая система конденсаторов или емкость.

Особенно большой емкостью обладают кабельные линии. Если приложить к кабелю периодически изменяющееся напряжение и оставить разомкнутым все его жилы в конце линии, то в кабеле, при его значительной длине, будут непрерывно циркулировать зарядно-разрядные токи.

Представим себе электрическую цепь переменного тока, в которую включен конденсатор с емкостью С (рис. 13).

Активное и индуктивное сопротивления будем считать равными нулю.

Пусть генератор имеет синусоидальное напряжение

. (34)

При повышении напряжения электрические заряды будут притекать к обкладкам конденсатора, заряжая его. Вследствие появления зарядов на обкладках конденсаторов появится э.д.с. емкости, которая в любой момент времени равна и противоположна по знаку приложенному напряжению.

Рисунок 13 – Цепь с емкостью.

При понижении напряжения заряды будут стекать с обкладок обратно к генератору.

Под влиянием сил переменного электрического поля между обкладками конденсатора в атомах диэлектрика происходит смещение электронов то в одну, то в другую сторону. Это направленное колебательное движение электронов в атомах диэлектрика представляет собой так называемый ток смещения.

Таким образом, в проводах, соединяющих генератор с конденсатором, будут циркулировать зарядный и разрядный токи проводимости, а в диэлектрике между обкладками конденсатора – токи смещения. Поэтому принято считать, что конденсатор как бы «пропускает» через себя переменный электрический ток.

Для любого момента времени можно написать

, (35)

и – напряжение в данный момент времени.

Подставляя выражение (34) в (35), получим

. (36)

Производная будет представлять собой мгновенное значение тока, поэтому

. (37)

Из выражения (37) следует, что ток опережает по фазе напряжение на угол (или на периода).

Наибольшее значение i будет при , т.е.

. (38)

Разделив левую и правую части выражения (38) на , получим

. (39)

Выражения (38) и (39) представляют собой закон Ома для цепи переменного тока с емкостью. Здесь носит название емкостного сопротивления, или реактивного сопротивления емкости, и измеряется в Омах.

.

Из формулы (38) и (39) следует, что величина тока при и зависит от емкости: при увеличении емкости ток возрастает, при уменьшении – убывает. Поэтому можно считать, что любой конденсатор ведет себя в цепи переменного тока как некоторое сопротивление.

На рисунке 14 показаны векторная (а) и волновые (б) диаграммы напряжения и тока.

а – векторная; б — волновые

Рисунок 14 – Диаграммы цепи с емкостным сопротивлением

Для данной цепи составим уравнение по второму закону Кирхгофа

,

так как

Отсюда , (40)

т.е. в любой момент времени мгновенное значение приложенного к цепи напряжения равно и противоположно по знаку э.д.с. емкости. Следовательно, все ординаты кривой э.д.с. емкости (в том числе и амплитуды) будут равны и противоположны по знаку ординатам кривой напряжения. Поэтому кривая е_L (см. рис. 14) будет сдвинута относительно кривой и на угол 180 о (или π). На такой же угол будут сдвинуты и векторы этих величин.

Мгновенная мощность в цепи переменного тока с емкостью будет равна

(41)

Из выражения (41) следует, что мгновенная мощность изменяется в этом случае также по синусоидальному закону с двойной частотой. Кривую мгновенной мощности можно получить путем умножения ординат тока и напряжения (рис. 14).

Если отсчет времени (t = 0) для тока вести с момента, когда он будет равен нулю (как это сделано на рис. 12), то

;

;

. (42)

Отсюда следует, что ординаты кривой мгновенной мощности для цепи с емкостью равны (при равенстве х_L и х_с) и противоположны по знаку ординатам кривой мощности для цепи с индуктивностью, т.е. эти кривые сдвинуты между собой на угол π.

Из рисунка 14 видно, что в течение первой и третьей четвертей периода, когда напряжение возрастает от нуля до максимального значения, мощность положительна. Это значит, что генератор посылает энергию в конденсатор (конденсатор заряжается), где она накапливается в виде энергии электрического поля; при этом э.д.с. емкости направлена против тока.

В течение второй и четвертой периода, при убывании напряжения от максимального значения до нуля, мощность отрицательна. Это значит, что энергия , накопленная в электрическом поле конденсатора, при его разряде переходит в электромагнитную энергию и возвращается генератору; при этом э.д.с. емкости совпадает по направлению с током.

Таким образом, происходит непрерывный обмен энергией между генератором и конденсатором.

Средняя мощность генератора за период будет равна

. (43)

Следовательно, и энергия, отдаваемая генератором в сеть за период, будет также равна нулю. Поэтому в цепи с емкостью, точно также как и в цепи с индуктивностью, отсутствует необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую или механическую.

Энергия, полученная конденсатором от генератора за четверть периода,

(44)

т.е. она равна энергии, запасенной в электрическом поле конденсатора.

Мощность в цепи, содержащей только емкость, оценивается по ее наибольшему значению и называется реактивной мощностью.

Как следует из формулы (41), амплитуда мощности, или реактивная мощность будет равна, как и в случае цепи с индуктивностью:

. (45)

Обобщая изложенное, можно сделать следующие выводы:

— в цепя переменного ока только с емкостным сопротивлением (R = 0; L = 0) ток опережает по фазе приложенное напряжение на угол , или на четверть периода во времени.

— закон Ома справедлив для амплитудных и действующих значений тока и напряжения. Сопротивлением в данном случае является величина , выражаемая в Омах и называемая емкостным сопротивлением или реактивным сопротивлением емкости. Это сопротивление – следствие противодействия внутреннего электрического поля диэлектрика конденсатора внешнему электрическому полю генератора, осуществляющему перенос электронов.

— при прохождении тока в цепи происходят колебания энергии от генератора к конденсатору и от конденсатора к генератору. Так как R = 0, то средняя мощность и энергия за период равны нулю.

Цепь с емкостью

Напряжение и ток

Приложив к зажимам конденсатора (рис. 5-27) напряжение

на обкладках его получим заряд

изменяющийся пропорционально напряжению (рис. 5-28) Ток в цепи конденсатора

пропорционален скорости изменения заряда конденсатора или скорости изменения напряжения на его зажимах.

Рис 5-27. Цепь с емкостью.

Синусоидальное напряжение в моменты прохождения через нулевые значения (рис. 5-28) имеет наибольшую скорость изменения следовательно, в эти моменты времени сила тока в цепи конденсатора будет иметь наибольшее значение. В моменты прохождения напряжения через амплитудные значения скорость изменения его, а следовательно, и сила тока в цепи будут равны нулю.

Рис, 5-28. Графики тока, напряжения и мощности цепи с емкостью.

Рис. 5-29. Векторная диаграм ма цепи с ем костью

Таким образом, ток в цепи конденсатора

изменяется синусоидально, опережая по фазе напряжение

Векторная диаграмма цепи с емкостью дана на рис. 5-29.

Емкостное сопротивление

Из выражения следует, что амплитуда тока

Разделив написанное выражение на √2, получим:

называется реактивным соп р отивлением емкости или емкостным сопротивлением.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости и частоте переменного тока. При изменении частоты от f = 0 (постоянный ток) до f = ∞ оно изменяется от

в) Мощность Мгновенное значение мощности

р = u i = U_м sin ωt • I _м cos ωt = U I sin 2ωt. На рис. 5-28, б показан график мгновенной мощности.

Мгновенная мощность в цепи с емкостью изменяется с двойной частотой, достигая то положительного максимума U I = I 2 (1/ ωC) то такого же по величине отрицательного максимума. При нарастании напряжения (первая и третья четверти периода, рис. 5-28) происходит накопление энергии электрического поля от нуля до максимального значения

которая получается от генератора, таким образом, цепь работает в режиме потребителя, что соответствует положительному значению мощности.

При уменьшении напряжения (вторая и четвертая четверти периода, рис. 5-28) происходит уменьшение энергии электрического поля от максимального значения до нуля, которая возвращается цепью генератору. Таким образом, в эти части периода цепь работает в режиме генератора, что соответствует отрицательному значению мощности цепи с емкостью. Энергия, получаемая цепью за полупериод, равна нулю, следовательно, равна нулю и средняя мощность цепи.

Максимальное значение мощности в цепи с емкостью называется реактивной мощностью

Она характеризует скорость обмена энергией между генератором и цепью с емкостью.

Пример 5-8. Конденсатор емкостью 80 мкф включен в сеть с напряжением 380 в и частотой 50 гц. Определить: х_с, I и W_M;

x_C = 1/2 πf C = 1/2π • 50 • 80 • 10 -6 = 10 6 /25000 = 40 ом

Статья на тему Цепь с емкостью

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.