Уравнения трансформатора в комплексной форме

Уравнения напряжений трансформатора

Автор: Евгений Живоглядов.
Дата публикации: 11 августа 2013 .
Категория: Статьи.

Рабочий процесс трансформатора можно исследовать на основе уравнений напряжений его обмоток.

Уравнения напряжения в дифференциальной форме

Емкостные токи между элементами обмоток (витки и катушки) и между обмотками и магнитопроводом трансформатора в обычных условиях работы трансформаторов (f 0 и положительные токи i₁ и i₂ создают в магнитопроводе потоки одинакового направления.

Отметим, что в правой части второго уравнения (1) можно было бы изменить знаки на обратные. Тогда u₂ следовало бы трактовать как напряжение, приложенное к вторичной обмотке со стороны вторичной сети. Некоторые, в особенности иностранные, авторы применяют также и эту последнюю форму записи.

Уравнения напряжения для синусоидально изменяющихся токов и напряжений в комплексной форме

Обычно силовые трансформаторы, а также ряд видов специальных трансформаторов работают с синусоидально изменяющимися токами и напряжениями. В этом случае вместо дифференциальных уравнений (1) удобнее пользоваться комплексными уравнениями для действующих значений токов и напряжений. Для получения этих уравнений в уравнения (1) следует подставить

и после дифференцирования сократить уравнения на множитель √2 × e jωt . Тогда будем иметь

представляют собой полные собственные и взаимные индуктивные сопротивления обмоток.

При симметричной нагрузке трехфазных трансформаторов электромагнитные процессы протекают во всех фазах одинаково и соответствующие электромагнитные величины в каждой фазе также одинаковы и лишь сдвинуты по фазе на 120°. Некоторая несимметрия магнитной цепи трехстержневого трансформатора, а также появление в ряде случаев третьих гармоник потока (смотрите статью «Явления, возникающие при намагничивании магнитопроводов трансформаторов») обычно не оказывают заметного влияния на работу трансформатора под нагрузкой. К тому же эти явления при необходимости можно учесть отдельно. По этим причинам уравнения (2) с большой точностью применимы также для фазных величин трехфазного трансформатора при симметричной его нагрузке. Система уравнений (2) не учитывает лишь потерь в стали магнитопровода трансформатора. Учет этих потерь рассмотрен в отдельных статьях.

Для трехфазного трансформатора в соответствии со сказанным выше U₁, U₂, I₁ и I₂ представляют собой фазные значения напряжений и токов.

Уравнения (1) и (2) полностью определяют процессы, происходящие в трансформаторе при указанных выше допущениях, и позволяют решать задачи, связанные с работой трансформатора. Например, если определить из первого уравнения (2) I₁ и подставить его значение во второе уравнение (2), то получим зависимость вторичного напряжения U₂ от тока нагрузки I₂:

(4)

Первый член правой части выражения (4) определяет величину U₂ = U₂₀ при холостом ходе, то есть при I₂ = 0:

(5)

а второй член – падение напряжения на вторичных зажимах при нагрузке.

Из уравнения (4) можно найти также значение вторичного тока короткого замыкания I₂ = I_2к, когда вторичная обмотка замкнута накоротко и U₂ = 0:

(6)

Соображения о точности результатов вычислений на основе представленных уравнений напряжения

Однако на практике расчеты по формулам, получаемым непосредственно из уравнений (1) и (2), и в частности по формулам (4) и (6), не могут быть выполнены с необходимой точностью. Причина этого заключается в том, что входящий в (4) и (6) множитель

представляет собой разность двух весьма близких величин. В этом можно убедиться, если пренебречь весьма малыми по сравнению с x₁₁ и x₂₂ величинами r₁ и r₂. Тогда вместо приведенной выше формы этого множителя получим

(7)

то есть значение коэффициента рассеяния согласно равенству (12), в статье «Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние». Но как уже указывалось выше, определение σ по расчетным или опытным значениям M, L₁₁ и L₂₂ связано с большой погрешностью.

Таким образом, если положить r₁ = r₂ = 0, то вместо (4) и (6) получим соответственно

Из этих соотношений видно, что такие важные с эксплуатационной точки зрения величины, как падение напряжения и ток короткого замыкания, определяются небольшой долей σ полного индуктивного сопротивления x₂₂, обусловленной электромагнитным рассеянием. Это же можно сказать и о ряде других величин, характеризующих эксплуатационные свойства трансформаторов и вращающихся электрических машин. Поэтому определение величин, характеризующих электромагнитное рассеяние, составляет важную задачу теории электрических машин.

В связи с изложенным теорию электрических машин в отношении рассматриваемых вопросов целесообразно развивать в следующих тесно связанных друг с другом направлениях:
1. Индуктивно связанные обмотки приводятся путем соответствующих пересчетов к одинаковому числу витков, в результате чего порядки напряжений, токов и параметров этих обмоток становятся соответственно одинаковыми.
2. Из полных собственных индуктивностей L₁₁, L₂₂ и индуктивных сопротивлений самоиндукции x₁₁ и x₂₂ выделяются составляющие – индуктивности рассеяния S₁, S₂ и индуктивные сопротивления рассеяния x₁ и x₂, обусловленные явлением электромагнитного рассеяния, причем это выделение производится с таким расчетом, что остающиеся части полных индуктивностей (L₁₁ – S₁, L₂₂ – S₂) и индуктивных сопротивлений (x₁₁ – x₁, x₂₂ – x₂) соответствуют индуктивно связанным цепям с полной связью (c = 1).
3. Разрабатываются непосредственные методы расчета малых параметров – индуктивностей и индуктивных сопротивлений рассеяния – независимо от расчета полных индуктивностей и индуктивных сопротивлений, чем достигается необходимая точность в определении этих малых параметров.
4. От электрических цепей с индуктивной связью делается переход к схемам замещения с электрической связью цепей, что приводит к упрощению расчетов и большей наглядности теории.
5. Индуктивности и индуктивные сопротивления рассеяния вводятся в явном виде в расчетные соотношения и схемы замещения, что позволяет с необходимой точностью рассчитывать величины, зависящие от электромагнитного рассеяния.

Эти вопросы применительно к трансформаторам рассматриваются в следующих статьях.

Источник: Вольдек А. И., «Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений» – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.

Результирующая индуктивность и полное сопротивление двухобмоточного трансформатора в дифференциальной форме

Однофазный двухобмоточный трансформатор представляет собой простейшую цепь с взаимоиндукцией, имеющую всего два индуктивно связанных контура (рис. 5.1). Дифференциальные уравнения для напряжений обмоток трансформатора имеют вид:

, (5.1)

где U₁ и U₂ – напряжения на зажимах первичной и вторичной обмоток;

R₁ и R₂ – активные сопротивления обмоток.

Рис. 5.1. Двухобмоточный трансформатор

Потокосцепления обмоток равны сумме собственных потокосцеплений, создаваемых токами, протекающими по рассматриваемой обмотке, и потокосцеплений взаимоиндукции:

(5.2)

где L₁₁ и L₂₂ – полные индуктивности первичной и вторичной обмоток;

М₁₂ = М₂₁ – взаимные индуктивности обмоток, равные друг другу в связи с тем, что обмотки находятся в одинаковых магнитных условиях.

Уравнения для напряжений (5.1) с учетом выражения (5.2) для потокосцеплений обмоток можно записать в виде:

, (5.3)

.

В идеализированном трансформаторе принимается, что насыщение магнитной цепи отсутствует, поэтому коэффициенты L₁₁, L₂₂, М₂₁ и М₁₂ – постоянные величины. При таком допущении решение системы уравнений (5.3) не представляет затруднений. Такая картина имеет место, например, при рассмотрении внезапного КЗ трансформатора.

В этом случае при КЗ уравнения (5.3) будут для одной фазы:

; (5.4)

На основе схемы замещения трансформатора, пренебрегая током намагничивания, предположим i₁ = i₂ = i. Сложим уравнения (5.4), получим:

, (5.5)

где ; – активное сопротивление и индуктивность трансформатора, обусловленная потоками обмоток.

Уравнение (5.5) аналогично уравнению, описывающему переходный процесс в простейшей трёхфазной цепи.

Таким образом, при исследовании процесса КЗ в схеме, содержащей трансформаторы, каждый трансформатор можно рассматривать как обычный элемент электрической цепи со своими сопротивлениями (R_k и L_k) после приведения параметров одной обмотки к другой.

5.3. Уравнения двухобмоточного трансформатора
в операторной форме

Для получения операторной формы записи уравнений, то есть для перехода от функций к изображениям, нужно заменить d /dt на оператор Р. При этом уравнения для напряжений первичной и вторичной обмоток трансформатора будут иметь вид:

, (5.6)

.

В этой системе уравнений

, (5.7)

,

U₁(P) и U₂(P) – изображения напряжений, приложенных к обмоткам.

На практике расчеты ведут в системе относительных единиц, заменяя само- и взаимные индуктивности равными им в системе относительных единиц при базисной частоте индуктивными сопротивлениями. Для обмоток трансформатора

,

где Х₁₁ и Х₂₂ – полные индуктивные сопротивления обмоток трансформатора;

Х₁₂– сопротивление взаимной индуктивности обмоток.

Тогда систему уравнений (5.6) можно представить в следующем виде:

, (5.8)

.

Сравнивая комплексные уравнения (5.4) с операторными уравнениями (5.8), приходим к заключению, что уравнения установившегося режима при синусоидальных приложенных напряжениях и постоянных параметрах обмоток могут быть получены из операторных уравнений простой заменой Р на j и изображений функций их комплексными значениями.

5.4. Изменение свободных токов двухобмоточного
трансформатора

Рассмотрим переходный процесс при включении на постоянное напряжение (рис. 5.2) трансформатора. Для простоты будем считать, что все параметры вторичной обмотки приведены к напряжению первичной обмотки.

В том случае, если вторичная обмотка отсутствует или разомкнута, то при включении первичной обмотки на постоянное напряжение в обмотках появятся апериодические составляющие токов, которые будут затухать с постоянными времени, определяемыми только параметрами контуров первичной и вторичной обмоток:

, с; , с. (5.9)

Рис. 5.2. Включение трансформатора на постоянное напряжение

В выражениях (5.9) индекс «о» у постоянной времени указывает, что она определена для данного контура при отсутствии влияния другого контура.

Магнитосвязанные цепи характеризуются коэффициентом связи К и коэффициентом рассеяния С.

Если имеются две магнитосвязанные цепи, то коэффициент рассеяния С представляет собой отношение индуктивности первичной обмотки при замкнутой накоротко вторичной обмотке к индуктивности первичной обмотки при разомкнутой вторичной обмотке, т. е. .

Аналогично для вторичной обмотки .

Коэффициент магнитной связи между обмотками .

Общий коэффициент рассеяния

.

В операторной форме при нулевых начальных условиях (U₂= 0) уравнения (5.8) будут иметь вид:

, (5.10)

.

Решая совместно систему уравнений (5.10), после промежуточных преобразований имеем:

(5.11)

где

Из уравнения (5.11) видно, что влияние вторичной обмотки приводит к уменьшению L, причем оно тем сильнее, чем меньше рассеяние С.
В пределе, когда С = 1, а, следовательно, К = 0, т. е. при отсутствии магнитной связи между обмотками индуктивность L неизменна.

Найдем корни Р₁и Р₂ характеристического уравнения Z_(P)= 0, предварительно проделав некоторые преобразования.

(5.12)

Из выражения (5.12) имеем:

. (5.13)

Решение уравнения (5.13) имеет вид:

, (5.14)

где

Наличие двух корней свидетельствует о том, что свободный ток в каждой обмотке состоит из двух составляющих, затухающих по экспоненте с постоянными времени и .

(5.15)

Для , , .

Для нахождения тока первичной обмотки в функции времени воспользуемся для выражения (5.11) формулой разложения:

(5.16)

где i’ – медленно затухающий свободный ток;

i» – быстро затухающий свободный ток.

Аналогично находится ток во вторичной обмотке.

(5.17)

Воспользовавшись теоремой разложения, имеем ток вторичной обмотки в функции во времени:

(5.18)

Естественно, что при включении на постоянное напряжение принужденный ток во вторичной обмотке отсутствует, а начальные значения свободных токов равны и взаимно противоположны:

. (5.19)

Для рассматриваемого переходного процесса на рис. 5.3 приведены кривые изменения свободных токов и их отдельных составляющих. Начальные значения свободных токов первичной обмотки (рис. 5.3 а) для простоты приняты равными . Ток ,возрастая по экспоненциальному закону, стремится к своему установившемуся значению U/R. Ток i_2(t) вначале возрастает до некоторого своего максимального значения, а затем затухает, стремясь к нулю.

В начальной стадии переходного процесса скорость изменения токов в обмотках велика, что обусловлено наличием быстрозатухающих свободных токов ( и ). После их полного исчезновения скорость изменения токов резко снижается, так как характер изменения общего тока определяется в этом случае оставшимся медленно затухающим свободным током (для первичной обмотки – , для вторичной – ).

Медленно затухающие свободные токи практически связаны с изменением только общего магнитного потока или потока взаимоиндукции между контурами, а быстро затухающие свободные токи – только с изменением потоков рассеяния контуров.

Рис. 5.3. Кривые изменения токов первичной (а) и вторичной (б) обмоток трансформатора при включении его на постоянное напряжение

РАБОТА ТРАНСФОРМАТОРА ПРИ НАГРУЗКЕ

Работа трансформатора при нагрузке характеризуется нали­чием тока i2 во вторичной обмотке, изменение которого вызывает изменение тока i1 в первичной обмотке, поскольку первичная обмотка электромагнитно связана со вторичной (рнс.1.13).

Токи i1 и i2 создают первичную и вторичную МДС F1=i1∙ω1 и F2=i2∙ω2 , совместным действием которых создается магнитное поле

Рис. 1.13 Действительные значения МДС обмоток трансформатора (а) н частичные системы МДС с вызываемыми ими полями (б, в)

трансформатора. С целью упрощения анализа электромагнитных процессов, происходящих в трансформаторе при нагрузке, магнит­ное поле как и при исследовании холостого хода, представим в виде иналожения двух полей: основного поля, или поля взаимной индукции и поля рассеивания или поля самоиндукции.

Для этого представим сумму МДС первичной и вторичной обмоток F1+F2 как МДС Fo некоторого намагничивающего тока, про­текающего по первичной обмотке:

(1.24)

i1 = io-i2*w2/w1 (1.25)

т. е. первичный ток трансформатора при нагрузке имеет как бы две
составляющие: намагничивающий ток io и ток i2*ω2/ ω1 обуслов­ленный нагрузкой. При холостом ходе, т. е. при i2=0, весь первич­ный ток i1= iо является намагничивающим. При нагрузке намагничивающее действие первичного тока i1 компенсируется составляющей,- i2*ω2/ ω1 вторичного тока i2 . _
Теперь МДС первичной обмотки i1* ω1 можно представить в виде
суммы МДС iо* ω1 и МДС – i2* ω2

i1∙ ω1= io∙ ω1+(- i2∙ ω2)

МДС первичной обмотки iоω1 создает как основное магнитное поле (поле взаимной индукции), поток Ф которого замыкается по магнитопроводу трансформатора (рис. 1.13) и индуцирует в его первичной и вторичной обмотках ЭДС е1 и е2 , так и поле рассеяния, поток Фσо которого замыкается в основном вне магнитопровода (рис. 1.13) и индуцирует в первичной обмотке ЭДС еσо.

Поток рассеяния Ф_s трансформатора целесообразно представить в виде суммы двух потоков, один из которых, Ф_s1 , сцеплен только с витками первичной обмотки, а другой, Ф_s2, сцеплен только с витками вторичной обмотки (рис. 1.13),. Отметим, что чем ближе располагаются друг к другу первичная и вторичная обмотки, тем меньше поток рассеяния Ф_s . В пределе, если вообра­зить первичную и вторичную обмотки совмещенными, поток рас­сеяния Ф_s =0, поскольку МДС обмоток полностью компенсируют друг друга. Потоки рассеяния первичной Ф_s1 и вторичной Ф_s2 обмоток индуцируют в них ЭДС е_s1 и е_s2.

Таким образом, магнитное поле рассеяния в трансформаторе при нагрузке можно представить в виде двух полей: поля рассеяния, линии которого сцеплены только с первичной обмоткой и обра­зуют с ней потокосцеплення y_s0 ,от тока i₁-i₀ и поля рассеяния линии которого сцеплены только со вторичной обмоткой и образуют с ней потокосцепления y_s2 от тока i₂. Так как потоки рассеяния Ф_s0, Ф_s1 и Ф_s2 замыкаются в основном в немаг­нитной среде, магнитная проницаемость которой m= const, то потокосцепления y_s0 , y_s1 и y_s2 пропорциональны соответственно образующим их токам i₀ , i₁-i₀ , i₂. Следовательно,. индуктивности рассеяния обмоток, определяемые

являются постоянными для данного трансформатора параметрами , зависящими только от размеров немагнитных промежутков и чисел витков в обмотках .

Подставляя (1.7), (1.8) и (1.28) в (1.27), получим :

При постоянной магнитной проницаемости стали магнитопровода, т. е. без учета его насыщения, для потокосцеплений первичной y₁ и вторичной y₂ обмоток запишем:

где L₁ и L₂— полные индуктивности первичной и вторичной обмо­ток, соответствующие всему сцепленному с данной обмоткой потоку; M₁₂= M₂₁=M_— взаимные индуктивности обмоток.

Уравнения (1.31) получили название дифференциальных урав­нений трансформатора. Они широко используются при исследова­нии переходных процессов, но неудобны для исследования рабоче­го процесса трансформатора в установившемся режиме. Для приведения этих уравнений к виду, удобному для анализа устано­вившихся процессов, для токов i₁ и i₂ , согласно (1.25), запишем

Подставив эти выражения в (1.31) , получим

При синусоидальных напряжениях и токах, учитывая равенства

получим систему комплексных уравнений, характеризующих рабо­ту трансформатора при нагрузке:

(1.32)

При насыщении магнитопровода намагничивающий ток i₀ будет несинусоидальным. Как и при исследовании холостого хода, несинусоидальный ток i₀ может быть заменен эквивалентным синусоидальным намагничивающим током с действующим значением активная составляющая которого связана с потеря­ми в стали магнитопровода. Эта замена позволяет записать урав­нения МДС (1.24) в комплексной форме:

(1.33)
а ЭДС первичной и вторичной обмоток — в виде

(1.34)

где Z₀=r₀+jx₀ — комплексный коэффициент пропорциональности между током и ЭДС (см. § 1.4).

Если через Р_н обозначить магнитные потери в стали магнитопровода от вихревых токов и гистерезиса, то

откуда r₀=P_m/ I_o 2 — коэффициент пропорциональности между по­терями р стали магнитопровода и квадратом намагничивающего тока (см. § 1.4).

Таким образом, учитывая потери в стали, систему уравнений в комплексной форме при работе трансформатора под нагрузкой за­пишем в виде

Показать в формульном редакторе (1.35)

Уравнения (1.35) можно представить на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы. Однако так как числовые значения первичных и вторичных напряжений и токов сильно отличаются друг от друга, то изображение их на векторной диаграмме в одном масштабе весьма неудобно. Кроме, того, непосредственное сумми­рование ЭДС или токов двух несоединенных электрических цепей, какими являются первичная и вторичная обмотки трансформатора, не представляется возможным из-за разного числа витков. Эти затруднения устраняются тем, что обмотки трансформатора приво­дят к одинаковому числу витков, либо к числу витков первичной обмотки, либо к числу витков вторичной обмотки. Обычно приводят вторичную обмотку к первичной.

Физический смысл приведения состоит в том, что вторичная обмотка с числом витков w₂ заменяется обмоткой, у которой число витков w ’ ₂= w₁. При этом все параметры вторичной обмотки приводятся к числу витков первичной обмотки таким образом, чтобы физические процессы в приведенном трансформаторе оставались такими же, как в реальном. Все параметры, относящиеся к приве­денной вторичной обмотке, обозначают теми же символами, что и действительные, но со штрихом сверху: E’₂, I’₂, r’₂, x’₂, и т. д.

Для приведения вторичной обмотки трансформатора к первич­ной необходимо обеспечить:

1) равенство МДС приведенной и реальной вторичной обмотки:

С учетом сделанных преобразований запишем комплексные уравнения для приведенного трансформатора:

Показать в формульном редакторе

(1.36)

Векторные диаграммы, соответствующие (1.36), приведены на рис. 1.14.

Последовательность построения диаграммы зависит от того, какими параметрами задан режим работы трансформатора и значе­ния каких величин требуется найти путем графических построений.

Из приведенных на рис. 1.14 векторных диаграмм нетрудно заметить, что при постоянном первичном напряжении U1=const любое изменение тока нагрузки I ` <sub>2</sub> приводит не только к изменению первичного тока I<sub>1</sub> , но и к соответствующему изменению вторичного напряжения U<sub>2</sub> ` . Так, при активной и активно-индуктивной нагрузках (рис. 1.14, а, б) увеличение тока I ` ₂ вызовет некоторое уменьшение U₂ , а при активно-емкостной нагрузке (рис. 1.14, в)— некоторое его увеличение. Векторные диаграммы позволяют также рассмотреть процесс преобразования энергии в трансформаторе, который, как известно, в целях переменного тока ха­рактеризуется активной и реактивной мощностями.

Рассмотрим процесс преобразования активной мощности, потребляемой первичной обмоткой трансформатора из сети и определяемой по формуле

Заменим проекцию вектора напряжения U₁ на вектор тока I₁ суммой проек­ций вектора ЭДС E₁ и вектора падения напряжения i₁r₁ (рис.1.14):

где I₁ 2 r₁=P₀₁— электрические потери в первичной обмотке; E₁i₁ cosy₁ — мощность, передающаяся магнитному полю трансформатора. Если заменить проекцию тока I₁ на направление ЭДС E₁ , то

Рис. 1.14. Векторные диаграммы трансформатора:

а —при активной нагрузке; б — при актнвно-индуктивной нагрузке;
в —при активно-емкостной нагрузке

Здесь E1I0 cosy0=E1Ioa=Pм— потери в стали трансформатора; E1I2cosy2=Pэм—электромагнитная мощность, которая передается электромагнитный пу­тем из первичной обмотки во вторичную.

Диаграмма преобразования активной мощности в трансформаторе представлена на

Аналогично рассмотрим преобразование реактивной мощности в трансформаторе.

Реактивная мощность, поступающая в первичную обмотку,

Q1=(U1sinj1)I1=(E1 siny1+I1x1)I1=E1I1 siny1+Qs1

Здесь Qs1=I21r1—реактивная мощность для образования магнитного поля рассеяния первичной обмотки

Диаграмма преобразования реактив­ной мощности в трансформаторе пред­ставлена на рис. 1.15,б,.

Напомним, что реактивная мощность
считается положительной (Q>0) при
отстающей от напряжения реактивной
составляющей тока и отрицательтой
(Q 0, то реактивная мощность потребляется трансформато­ром одновременно из первичной и вторичной цепей и идет на намагничивание магннтопровода.

СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ

Расчет характеристик транс­форматора в различных режимах

удобно производить с помощью электрической схемы замещения, в которой электромагнитные связи между первичной и вторичной обмотками заменяются на чисто электрические.

Действительно, если вторичную обмотку трансформатора привести к первичной, что в математическом отношении соответствует переходу от исходных реальных переменных

к новым (приведенным) переменным то все электрические величины параметры обмоток трансформатора будут приведены к одному (первичному) напряжению и трансформатор с его двумя электрически не соединенными, но магнитно связанными обмотками может быть представлен в виде одной электрической цепи (схемы замещения).

Эквивалентное сопротивление схемы замещения определим из системы уравнений (1.36). С учетом (1.36) и
шем уравнения (1.36J в следующем виде:

(1,37)

(1,38)

(1,39)

Подставив в (1.38) значение из (1.39), найдем (1.40)

Подставив (1.40) в (1.37), получим

Сопротивлению соответствует схема, представленная на рис. 1.16,а, которая называется Т-образной схемой замещения трансформатора.

рис. 1.16. Электрическая схема замещения трансформатора: а —с последовательным соединением активного в индуктивного сопротивлений намаг­ничивающего контура; б —с параллельным соединением активного в индуктивного со­противлений намагничивающего контура

В схеме замещения:

— активные сопротивления первичной и приведенной вторичной обмоток; — индуктивные сопротивления первичной и приведенной вторичной обмоток, обусловленные потоками рассеяния; —полное сопротивление намагничивающего контура.

Ток протекая по намагничивающему контуру, создает поток Ф взаимной индукции, сцепленный с первичной и вторичной обмотками и индуци­рующий в каждой из них ЭДС ; x₀ — индуктивное сопротивление намаг­ничивающего контура; r₀ —активное сопротивление намагничивающего контура.

В отличие от сопротивления сопротивлениеr₀„ не имеет никакой связи ни с активным сопротивлением проводниковых материалов, ни с магнитным со­противлением среды. Это коэффициент пропорциональности между Р₀ и .

В схеме замещения сопротивления принимаются по­стоянными, а сопротивление задается условием работы. При U₁=const ЭДС изменяется мало, так как . Вследствие этого насыщение магнитопровода меняется так же ма­ло и можно приближенно считать, что = const. Потери в стали магнитопровода, равны

, при r₀=const пропорциональны ,а следовательно, пропорциональны Ф 2 или В 2 .

Параметры схемы замещения можно определить расчетным или опытным путем. Для опытного определения пара­метров схемы замещения проводят исследование режимов холостого хода и короткого замыкания трансформатора.

При опыте холостого хода вторичная обмотка разомкнута, а к первичной подводится регулируемое напряжение в пределах (0,2-1,2) U_1ном (рис. 1.17). Построенные по данным измерения зависимости , и (рис, 1.18)
называют характеристиками холостого хода и объясняют следую­щим образом.

Рис. 1.17. Схема проведения опыта хо­
лостого хода и короткого замыкания
трансформатора

Кривая практически повторяет кривую намагничива­ния стали магнитопровода (см. рис. 1.6), так как Ф

U₁ и намагничивающая (реактивная) составляющая тока I₀ пропорциональна напряженности поля. Поэтому нелинейная зависимость, тока хо­лостого хода трансформатора от напряжения обусловлена насыщением стали магнитопровода.

Кривая зависимости близка к параболе, поскольку Р₀

Коэффициент мощности с увеличением напряжения па­дает, так как при насыщении стали магнитопровода растет реак­тивная мощность.

По кривым на рис. 1.18 при U₁=U_1ном определяют значения I₀ и Р₀.

Расчетом находят эквивалентные входные параметры схемы замещения трансформатора при холостом ходе (рис. 1.19,а):

(1.42)

Из схемы замещения

Рис. 1.18. Характеристики холостого хода Рис. 1.19. Схемы замещения трансформатора при холостом ходе (а) и трансформатора коротком замыка­нии (б)

(1.43)

Таким образом, из опыта холостого Хода определяют парамет­ры намагничивающего контура схемы замещения трансформатора.

При опыте холостого хода также определяют коэффициент трансформации:

k =

Выражение (1.43) показывает, что практически вся активная мощность, потребляемая из сети при холостом ходе, расходуется на потери в магнитопроводе трансформатора. Действительно, электрические потери в первичной обмотке при холостом ходе

относительно невелики, так как ток Iо при U_1ном у силовых транс­форматоров не превышает 0,35-8% от Iн (см. табл. 11.5—11.7). В то же время потери Р₀ определяются при U₁=U_1ном a Р₀

U₁ 2 Следовательно, основными потерями при холостом ходе трансформатора являются потери в стали магнитопровода.

В современных силовых трансформаторах мощностью 10—1000000 кВ-А потери холостого хода составляют 1,5—0,05% и оказывают существенное влияние на значение годового КПД трансформатора, особенно работающего с сезонной нагрузкой. Это объясняется тем, что потери холостого хода, как будет показано в § 1.6, практически не зависят от нагрузки и имеют место все время, пока трансформатор включен в сеть, /

При опыте короткого замыкания вторичная обмотка замкнута накоротко, а к первичной через регулятор подводится пониженное напряжение, при котором токи в обмотках не превышают (1 + 1,2) I_ном.

Если при замкнутой накоротко вторичной обмотке к первичнои подвести номинальное напряжение, то токи в обмотках во много раз превысят номинальные значения, резко возрастут действующие на обмотки электродинамические силы, а также потери в обмотках, в результате чего обмотки трансформатора могут быть разрушены. Таким образом, в реальных условиях эксплуатации режим корот­кого замыкания является аварийным.

Если же режим короткого замыкания создать при пониженном первичном напряжении, то он может быть использован, так же как и режим холостого хода, для исследования трансформатора.

С этой целью опыт короткого замыкания проводят при пони­женном напряжении. Его изменяют от нуля до значения, при кото­ром токи в обмотках становятся равными номинальным. Схема опыта приведена на рис. 1.17 (ключ К замкнут).

Построенные по данным опыта

зависимости , и

называют характери­стиками короткого замыкания и по­казаны на рис. 1.20. Они объясня­ются следующим образом. Так как опыт проводится при пониженном напряжении, то магнитопровод нена­сыщен и параметры схемы замещения постоянны. Поэтому зависи­мость будет линейна, ,а —постоянным, — парабола.

Намагничивающий ток при опы­те короткого замыкания мал, так как U₁= (0,02-7-0,1 )U_1ном, и им можно пренебречь. Тогда схема за­мещения при опыте короткого замыкания принимает вид, показан­ный на рис. 1.19,6.

Мощность, измеряемая ваттметром, при опыте короткого замы­кания в основном учитывает потери в металле обмоток:

откуда активное сопротивление , полное сопротивление обмоток zk^uk/i* индуктивное сопротивление , коэффициент мощности при коротком замыкании

Сопротивления r₁ и r’₂, х₁ и x’₂ отдельно опытным путем не определяются, но для силовых трансформаторов можно принять

.

При опыте короткого замыкания определяется весьма важная для эксплуатации трансформаторов величина — напряжение ко­роткого замыкания U_k. Под U_k понимают такое напряжение, которое необходимо подать на , одну из обмоток трансформатора при замкнутой другой, чтобы по обмоткам протекали номинальные токи. Напряжение короткого замыкания принято выражать в процентах от номинального напряжения:

100%.

В современных силовых трансформаторах u_k=4,5-14,5% и имеет важное значение для оценки их эксплуатационных свойств. Оно оказывает непосредственное влияние на изменение вторичного напряжения трансформатора (см. § 1.6), определяет значение ударного и установившегося токов при коротком замыкании транс­форматора при номинальном напряжении (см. § 5.8) и в значи­тельной степени определяет распределение нагрузки между парал­лельно работающими трансформаторами (см. § 1.9). Большее u_k вызывает большие колебания вторичного напряжения, но сильнее ограничивает токи короткого замыкания. Для силовых трансфор­маторов значения u_k стандартизованы. Соответствующие данные приведены в табл. 11.5—11.10.

При коротком замыкании трансформатор описывается следую­щими уравнениями:

(1-44)

Учитывая, что , преобразуем первое уравнение (1.44) и подставим в него уравнение токов:

(1.45)

Уравнению (1.45) соответствует векторная диаграмма в режиме короткого замыкания (рис. 1.21), которую также называют тре­угольником короткого замыкания. При номинальном токе гипоте­нузой этого треугольника является напряжение короткого замыка­ния U_k , а катетами — активная и реактивная составляющие этого напряжения. Составляющие напряжения короткого замыкания так­же выражают в процентах от номинального напряжения:

(1.46)

Составляющую u_ka можно определить и по каталожным данным трансформатора, умножив числитель и знаменатель (1.46) на I_ном:

Рис. 1.21. Векторная диаграмма трансформатора при коротком замыкании

Из (1.48) нетрудно заметить, что по u_ka можно судить о процентном значении электрических потерь в обмотках трансформатора или потерь короткого замыка­ния при номинальных токах.

Потеря короткого замыкания P_k, как и потери холостого хода P₀ , определя ют КПД трансформатора (см. § 1.6) и поэтому имеют важное эксплуатационное значение. В современных силовых трансформаторах P_k/P₀= 2,5-3-6, причем мень­шее значение относится к трансформаторам большей мощности.

Уравнение (1.45) и векторная диаграмма (рис. 1.21) показы­вают, что U_k является функцией параметров трансформатора. Так, более мощные трансформаторы, имеющие, как правили, более высокие напряжения по сравнению с трансформаторами средних

мощностей, имеют и более высокое значение напряжения u_k , как при увеличении мощности и напряжения увеличиваются размеры обмоток и изоляционные расстояния между ними, что ведет к увеличению потоков рассеяния, а следовательно, и параметров схемы замещения х₁ и .