Уравнения умножение многочленов 7 класс

Умножение многочлена на многочлен

О чем эта статья:

Определение многочлена

Прежде чем мы расскажем, как умножить один многочлен на другой многочлен, разберемся в основных понятиях.

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.

Многочлен— алгебраическое выражение, которое представляет из себя сумму или разность нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена — представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.

Как привести многочлен к стандартному виду:

1. Привести к стандартному виду все одночлены, которые входят в многочлен.
2. Привести подобные члены.

Вспомним, как умножать многочлен на одночлен, двучлен на двучлен, трехчлен на трехчлен:

Правило умножения двучленов:

(a + b) * (c + d) = ac + ad + bc + bd.

Правило умножения двучлена на трехчлен:

(a + b + c) * (x + y) = ax + bx + cx + ay + by + cy.

Правило перемножения трехчленов:

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Эти правила можно описать так: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого умножить на каждый член второго многочлена. Затем полученные произведения сложить и привести результат к многочлену стандартного вида, если это возможно.

Правило умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим пример, а после решения сформулируем правило умножения многочлена на многочлен:

• Возьмем два многочлена (a + b) и (c + d) и выполним их умножение.
• Сначала составим их произведение: (a + b)(c + d).
• Теперь обозначим (c + d) как x. После этой замены произведение примет вид: (a + b)x.
• Выполним умножение многочлена на одночлен: (a + b)x = ax + bx.
• Проведем обратную замену x на (c + d):
  a(c + d) + b(c + d). Преобразуем: ac + ad + bc + bd.
• Как изменилось произведение исходных многочленов:
  (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
  Как раз так и выглядит формула умножения многочлена на многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и все полученные произведения сложить.

Алгоритм умножения многочлена на многочлен:

1. Первый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. Второй член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. И так далее.
2. Сложить полученные произведения.
3. Преобразовать полученную сумму в многочлен стандартного вида.

Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен:
(6x – 2a) * (4 – 3x).

• Умножим последовательно первый одночлен 6x из первой скобки на оба одночлена второй скобки.
• Уумножим второй одночлен −2a первой скобки на оба одночлена второй скобки.

Ответ: (6x – 2a) * (4 – 3x) = 24x – 18x 2 – 8a + 6ax.

Рассмотрим пример умножения трех многочленов:
(x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3).

• Умножим первый многочлен на второй. Результат запишем в скобках.
  
• Перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Приведем подобные одночлены.
  

Ответ: (x – 2) * (3x + 1) * (4x – 3) = 12x 3 – 29x 2 + 7x + 6.

Теперь мы знаем все из темы умножения многочлена на многочлен. Осталось отточить на практике новый навык и ловить хорошие и отличные отметки на контрольных.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры умножения многочлена на многочлен

Рассмотрим еще несколько примеров, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1. Выполнить умножение многочленов:
2 − 3x и x 2 − 7x + 1.

Запишем произведение: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1).

Составим сумму произведений каждого члена многочлена (2 − 3x) на каждый член многочлена (x 2 − 7x + 1). Для этого первый член первого многочлена «2» умножим на каждый член второго многочлена: 2x 2 , 2(−7x) и 2*1.

Теперь второй член первого многочлена «−3x» умножим на каждый член второго многочлена: −3xx 2 , −3x(−7x) и −3x*1.

Из полученных выражений составим сумму: 2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1.

Чтобы убедиться, что мы все сделали правильно, посчитаем количество членов в полученной сумме. Их шесть. Так и должно быть, так как исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов: 2 * 3 = 6.

Осталось полученную сумму преобразовать в многочлен стандартного вида:

2x 2 + 2(−7x) + 2*1 − 3xx 2 − 3x(−7x) − 3x*1 = 2x 2 − 14 x + 2 − 3x 3 + 21x 2 − 3x = (2x 2 + 21x 2 ) + (−14x − 3x) + 2 − 3x 3 = 23x 2 − 17x + 2 − 3x 3 .

Получается, что (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1) = 23x 2 − 17x + 2 − 3x 3 .

Ответ: (2 − 3x)(x 2 − 7x + 1) = 23x 2 − 17x + 2 − 3x 3 .

Пример 2. Найти произведение трех многочленов:
x 2 + xy − 1, x + y и 2y − 3.

Запишем их произведение: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3).

Умножим первые два многочлена:

(x 2 + xy − 1)(x + y) = x 2 x + x 2 y + xyx + xyy − 1x − 1y = x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y.

Таким образом: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = (x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3).

Снова выполним умножение двух многочленов:

(x 3 + 2x 2 y + xy 2 − x − y)(2y − 3) = x 3 2y + x 3 (−3) + 2x 2 y 2 y + 2x 2 y(−3) + xy 2 2y + xy 2 (−3) − x 2 y − x(−3) − y 2 y − y(−3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.

Ответ: (x 2 + xy − 1)(x + y)(2y − 3) = 2x 3 y − 3x 3 + 4x 2 y 2 − 6x 2 y + 2xy 3 − 3xy 2 − 2xy + 3x − 2y 2 + 3y.

Урок алгебры «Умножение многочлена на многочлен». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Тип урока: урок открытия нового знания.

Цель урока: создать условия для усвоения и осмысления алгоритма умножения многочлена на многочлен.

• Деятельностная цель: формирование способности обучающихся к новому способу действия – умножению многочлена на многочлен.
• Образовательная цель: совершенствование умений складывать, вычитать многочлены, умножать одночлены на многочлен, расширение способов преобразований выражений при изучении темы «Многочлены» за счет включения в нее алгоритма умножения многочлена на многочлен.

Познавательная задача: организовать деятельность учащихся по совершенствованию умений преобразовывать многочлены, формированию умения умножать многочлен на многочлен.

Развивающая задача: продолжить формирование умений и навыков работы с научным текстом, умения анализировать информацию, способность ее оценивать, использовать; развитие логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная задача: повышение интереса к процессу обучения и активного восприятия учебного материала, развитие коммуникативных навыков работы в парах, группах.

Практическая задача: формирование навыков критического мышления как творческого, аналитического, последовательного и структурированного мышления, формирование навыков самообразования.

Форма урока: проблемный урок с использованием технологии развития критического мышления (ТРКМ) и технологии деятельностного метода.

Используемые технологии: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве, деятельностного метода.

Используемые приемы: притча, «верные, неверные утверждения», ИНСЕРТ, синквейн, логическая схема «Паучки».

Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал.

Ход урока

1. Мотивирование к учебной деятельности.

Добрый день! Приятно видеть всех вас в классе, и я очень надеюсь, что сегодня у нас состоится полезный, продуктивный урок. Начнем мы с притчи.

Однажды султан решил подвергнуть испытанию своих придворных, чтобы узнать, кто из них способен занять в его государстве пост визиря. Подвел он многочисленных желающих к огромному дверному замку. «Это самый большой и самый тяжелый замок, который когда-либо был в моем государстве. Кто из вас откроет его, тот займет пост визиря», — объявил султан. Никто не решался открыть замок. Лишь один человек решительно подошел к нему, стал внимательно его осматривать, ощупывать, попытался различными способами сдвинуть с места и, наконец, одним рывком дернул его. О чудо! Замок открылся! Тогда царь объявил: «Ты достоин важного поста визиря, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, но еще и надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».

Вам, ребята, тоже не нужно бояться трудностей постижения математики, а смело осваивать ее законы.

Сегодня вы будете работать в парах, группах, индивидуально. Каждый из вас будет осуществлять самооценку своей деятельности на уроке, используя листы самооценки и критерии оценивания. (Приложение №1)

2. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

• Над освоением какой темы мы с вами работаем? («Многочлены»)
• Что вы уже знаете? (понятия многочлена, одночлена, многочлена стандартного вида, подобных членов многочлена, степени многочлена. )
• Что умеете? (приводить одночлены и многочлены к стандартному виду, определять степень многочлена, складывать, вычитать многочлены, умножать одночлен на многочлен. ).
• Конечно, это лишь начало, вам предстоит еще многому научиться. Но чтобы двигаться дальше посмотрим, что вы действительно знаете и умеете.

Устная работа.

• Упростите:
  • -7х 2 +7х 2 +х 2 ;
  • 13 — 5а — а;
  • 3х+5+8х
• Выполните умножение:
  • 3ху · 5х 2 у;
  • -2х 2 у 3 · 4ху 5 ;
  • — 0,8х 2 у 3 · (-10х 3 у).
• Раскройте скобки:
  • 7(х – у);
  • 3х (х 2 + 4у 3 );
  • 5х 2 (2х – 3х 2 )

— Какие действия выполняли в заданиях 1, 2 и 3? (1 – приведение подобных, 2 — умножение одночлена на одночлен, 3 — умножение одночлена на многочлен).

— Где практически мы применяем эти правила? (упрощение выражений, решение уравнений, приведение многочленов к стандартному виду)

Проверим, как вы знаете основные понятия темы и алгоритмы действий.

Теоретическая разминка. (Работа в группах)

Ребята, задайте вопросы ученикам другой группы, проверяя знание понятий и способов деятельности. Вопросы не должны предполагать ответы «да», «нет», старайтесь вопросы не повторять.

Ученики одной группы задают вопросы ученикам другой, выслушивают своих товарищей, комментируют ответы, исправляют ошибки. Каждый ученик должен задать по два вопроса и ответить на два вопроса.

• Какое выражение называют одночленом?
• Какой одночлен называют одночленом стандартного вида?
• Как записать одночлен в стандартном виде?
• Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?
• Как записать многочлен в стандартном виде?
• Что такое двучлен, трехчлен, бином, полином?
• Что называют коэффициентом одночлена?
• Что такое многочлен?
• Что является членами многочлена?
• Какие одночлены называются подобными членами?
• Как определить степень многочлена?
• Что мы понимаем под свободным членом многочлена?
• Как сложить или вычесть два многочлена?
• Что является результатом сложения (вычитания) многочленов?
• Сформулируйте правило умножения одночленов.
• Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

По окончании теоретической разминки происходит обсуждение работы, внесение баллов в листы самооценки (за каждый правильный ответ – 1 балл).

3. Выявление места и причины затруднения.

Ученикам предлагается упростить выражения.

Упростите выражения:

II вариант

Урок по математике в 7 классе «Умножение многочленов»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок по теме «Умножение многочлена на многочлен»

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Используемые учебники и учебные пособия:

Учебник «Алгебра 7». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение».2011г.

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, школьная доска

Цель урока: Вывести алгоритм умножения многочлена на многочлен.

Задачи: Деятельностная: формировать способность к построению правила умножения многочлена на многочлен.

Образовательные: — научить умножать многочлен на многочлен;
— повторить умножение степеней, умножение одночленов, умножение одночлена на многочлен.

Воспитательная: — развивать коммуникативные способности учащихся при работе в группе.

I. Организационный момент.

Учитель
– Добрый день ребята, у нас сегодня необычный урок, посмотрите, пожалуйста, друг на друга, улыбнитесь, посмотрите на меня, улыбнулись, пожелаем успеха друг другу, и начнём работать.
Сегодня на уроке вы будете работать в группах. Для совместной работы нужна взаимовыручка, взаимоподдержка, умение слушать друг друга, умение принять точку зрения другого. Надеюсь, ваша совместная работа, сегодня на уроке, будет именно такой.

II. Открытие новых знаний. (презентация)

На слайде записаны следующие выражения:

Учитель: Посмотрите на выражения, записанные на слайде.

Назовите номера примеров на умножение одночлена на многочлен, как умножить одночлен на многочлен? ( Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и результаты сложить .)

— Назовите номера примеров на сложение и вычитание многочленов

— Как сложить и вычитать многочлены?( раскрыть скобки и привести подобные слагаемые .)

— Какие задания вы не сможете выполнить? ( Умножить многочлен на многочлен.)

— ИТАК, какую учебную задачу поставим на урок? ( Научиться умножать многочлен на многочлен.)

— А что значит научиться? ( Вывести правило или алгоритм умножения многочлена на многочлен).

— Т.е. мы должны разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен.

(Записываем тему урока «Умножение многочлена на многочлен).

— Какую учебную задачу мы поставим на урок? ( Разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен. )

— Попробуем решить задачу: Найти площадь поверхности стены, занятой шкафом, размеры которого указаны на рисунке.

Итак, как вы нашли площадь поверхности стены, занятый шкафом?

Площадь шкафа можно найти двумя способами:

1)найти площадь каждой полки и результаты сложить;

2)найти длину и ширину шкафа и результаты сложить

Итак, вы получили такую формулу: (а+ b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd

Именно так великий греческий математик Евклид доказывал справедливость этого равенства с помощью чертежа, изображенного на рисунке 68 вашего учебника.

— Какие знания нам понадобятся для этого? ( Распределительный закон умножения, правило умножения одночлена на многочлен. )

Учитель разбирает один из примеров.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

А теперь вернемся к тем примерам, которые вызвали у вас затруднения

Пример1. ( х+у)(х-у)=х =

Пример2. ( 2х +1)(х – 3)=

Пример 3. (2у+3)(4-х)=8у-2 xy +12-3 x

— Кто пойдет к доске? Кто готов выбрать одно из предложенных выражений и попробовать умножить многочлен на многочлен?

— Остальные могут выбрать другое выражение и разобрать его самостоятельно.

Какой первый шаг нашего алгоритма?(умножение каждого члена одного многочлена,на каждый член другого.)

Какой второй шаг нашего алгоритма?

Попробуем дать полный алгоритм умножения многочленов:

1 шаг: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена;

2 шаг: найти произведения полученных одночленов;

3 шаг: привести подобные слагаемые;

4 шаг: полученный многочлен записать в стандартном виде.

— Мы справились с учебной задачей? (Справились) Откроем учебники на стр.136 и прочитаем правило умножения многочлена на многочлен. (расскажите это правило друг другу) (ТАЙМД ПЭА ШЭА)(30 сек)

-Несколько учеников проговаривают правило.

— Что же еще нам осталось сделать? ( Потренироваться. )

1.Выполнение задания у доски и в тетрадях
№ 677 (с комментариями у доски по одному учащемуся)

№ 678 (3 человека у доски одновременно решают по два номера, без комментариев. С последующей классной проверкой)

Этап IV . Применение в жизни.

Ребята на ГИА встречаются задачи такого типа:

Сторона участка квадратной формы на 3 м меньше участка прямоугольной формы и на 2 м больше другой. Найти сторону участка квадратной формы, если ее площадь на 14 кв. метров меньше площади прямоугольного участка .

НариНарисуем эти участки в виде прямоугольника и квадрата, пусть сторона квадратного листа участка x м, тогда его площадь х 2 м 2 . Стороны прямоугольного участка (х — 2) м и (х + 3) м, площа площадь (х — 2) (х + 3) м 2 . Составим и решим уравнение: (х — 2) (х + 3) — х 2 =14

Найдите площадь участка квадратной формы и ответ запишите в арах.

S =20м x 20м=400

Этап V. Проверка усвоенных знаний.

Самостоятельна работа (в парах)

1. Закончите запись:

2. Узнайте, какие три планеты были открыты за последние 200 лет. Для этого, выполните умножение многочлена на многочлен и, используя найденные ответы и данные таблицы:

Проверка с/р обеспечивается на уроке . Оценки учащиеся ставят себе сами, согласно критериям оценивания.

в остальных случаях – “2”

Этап V. Подведение итога урока.

Проверяется правильность выполнения заданий по готовому решению по презентации, разбираются ошибки.

Этап VI . Рефлексия деятельности .
– Что нового вы узнали на уроке? (Как умножать многочлены).
– Достигнута цель нашего урока?
— Наш урок подходит к концу. Проведём минутку хвастовства.

— я узнал….
— у меня получилось…
— я смог…
— я научился…
— теперь я могу…

В своих тетрадях поставьте звездочку, если вы считаете, что материал усвоен; квадратик – если остались вопросы; треугольник- недовольны результатами своей работы.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд К успеху приведут!

Ребята, сегодня на уроке вы работали в паре. И, надеюсь, убедились, вместе работать легче, вместе – интереснее. И как бы ни был труден путь к знаниям, вместе его преодолеть легче.

Мне было приятно с вами работать. Спасибо за урок.