Уравнения умножение одночлена на многочлен примеры

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен используется распределительное свойство умножения:

Произведением одночлена и многочлена будет многочлен.

Пример 1. Умножить одночлен -5a на многочлен 3a + 4b 2 .

Решение: Составим произведение одночлена и многочлена и с помощью распределительного свойства умножения раскроем скобки:

Теперь осталось выполнить умножение одночленов друг на друга:

Так как в получившемся результате нет подобных членов, то многочлен -15a 2 — 20ab 2 — это окончательный результат умножения одночлена -5a на многочлен 3a + 4b 2 .

Пример 2. Выполните умножение многочлена x — xy + 2 на одночлен 2y.

Решение: Составим произведение многочлена и одночлена:

Для удобства можно записать одночлен перед многочленом, используя переместительное свойство умножения. После этого раскроем скобки:

Теперь надо перемножить одночлены:

Решение данного примера можно записать короче, не выписывая промежуточные результаты:

Пример 3. Упростите выражение:

Решение: Раскроем скобки, выполнив умножение —x на 4x — 6y, и затем сделаем приведение подобных членов (если они будут):

Так как получившийся в результате многочлен является алгебраической суммой, то его можно записать так:

Умножение одночлена на многочлена

Что такое одночлен и многочлен

Одночленом называют произведение чисел, переменных и степеней.

Многочленом является алгебраическое выражение в виде суммы или разности нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена представляет собой запись многочлена, как суммы одночленов стандартного вида, среди которых отсутствуют подобные одночлены.

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду:

1. Запись всех одночленов, которые составляют многочлен, в стандартном виде.
2. Приведение подобных членов.

Существует несколько полезных правил, которые можно использовать при решении задач на умножение многочленов и одночленов.

Умножение двучленов в алгебре выполняют таким образом:

( a + b ) × ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Когда требуется найти произведение двучлена и трехчлена, следует воспользоваться следующей формулой:

( a + b + c ) × ( x + y ) = a x + b x + c x + a y + b y + c y

При умножении трехчленов, включая дроби, можно руководствоваться правилом, записанным в виде уравнения:

( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Таким образом, произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена и каждого члена второго многочлена. После сложения полученных произведений при наличии такой возможности следует привести сложный многочлен к стандартному виду.

Распределительные свойства умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа и суммы двух чисел равно сумме произведений этого числа и каждого слагаемого.

a × ( b + c ) = a b + a c

( b + c ) × a = a b + a c

Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение числа и разности двух чисел равно разности произведения этого числа и уменьшаемого и произведения этого числа и вычитаемого.

a × ( b — c ) = a b — a c

( b — c ) × a = a b — a c

Распределительное свойство умножения справедливо и в том случае, когда в примере записано большее количество чисел. К примеру, если требуется найти произведение числа и суммы трех слагаемых, то можно воспользоваться следующей формулой:

a × ( b + c + d ) = a b + a c + a d

Рассмотрим несколько примеров решения задач на распределительное свойство умножения, которые часто можно встретить на уроках в средних классах школы:

28 × 7 = ( 20 + 8 ) × 7 = 20 × 7 + 8 × 7 = 140 + 56 = 196

28 × 7 = ( 30 – 2 ) × 7 = 30 × 7 – 2 × 7 = 210 – 14 = 196

56 × 9 = ( 50 + 6 ) × 9 = 50 × 9 + 6 × 9 = 450 + 54 = 504

56 × 9 = ( 60 – 4 ) × 9 = 60 × 9 — 4 × 9 = 540 – 36 = 504

473 × 7 = ( 400 + 70 + 3 ) × 7 = 400 × 7 + 70 × 7 + 3 × 7 = 2800 + 490 + 21 = 3290 + 21 = 3311

Используя распределительное свойство умножения, можно достаточно легко избавляться от скобок. В качестве тренировки рассмотрим примеры:

8 ( 3 x + 5 y ) = 8 × 3 x + 8 × 5 y = 24 x + 40 y

10 ( 7 a – 5 b ) = 10 × 7 a — 10 × 5 b = 70 a – 50 b

Распределительное свойство умножения работает также в обратном порядке:

a b + a c = a ( b + c )

Здесь общий множитель, роль которого играет а, был вынесен за скобки. В скобках в итоге остается сумма двух слагаемых b и c.

Алгоритм умножения одночлена на многочлен, пояснения на примерах

При умножении одночлена на многочлен нужно применить алгоритму:

• найти произведение этого одночлена и каждого члена многочлена;
• полученные результаты суммировать.

В процессе решения задач на умножение одночлена и многочлена пригодятся следующие правила из теории:

• распределительное свойство умножения: a ( b + c ) = a b + a c ;
• правило умножения степеней, которые имеют одинаковые основания: a x × a y = a x + y ;
• правило расстановки знаков при умножении.

Важно заметить, что при умножении одночлена на многочлен в результате получается многочлен. Разберем несколько типичных задач.

Предположим, что требуется найти произведение следующих выражений:

Запишем произведение и раскроем скобки, руководствуясь распределительным свойством умножения:

— 5 a ( 3 a + 4 b 2 ) = — 5 a × 3 a + ( — 5 a ) × 4 b 2

Далее следует найти произведение одночленов:

— 5 a × 3 a + ( — 5 a ) × 4 b 2 = — 15 a – 20 a b 2

При разложении заметим, что подобные члены отсутствуют. Поэтому можно записать ответ в таком виде:

— 5 a ( 3 a + 4 b 2 ) = — 15 a – 20 a b 2

Предположим, что имеются некий одночлен 2y и многочлен x — x y + 2 . Попробуем найти их произведение:

Воспользуемся переместительным свойством умножения и избавимся от скобок:

2 y ( x — x y + 2 ) = 2 y × x – 2 y × x y + 2 y ) × 2

Найдем произведение одночленов:

2 y × x — 2 y × x y + 2 y × 2 = 2 x y — 2 x y 2 + 4 y

Сокращенная запись решения:

( x — x y + 2 ) 2 y = 2 x y — 2 x y 2 + 4 y

Попробуем упростить выражение:

3 x 2 — x ( 4 x — 6 y )

Избавимся от скобок и приведем подобные члены:

3 x 2 — x ( 4 x — 6 y ) = 3 x 2 — 4 x 2 + 6 x y = — 1 x 2 + 6 x y

В результате получилась алгебраическая сумма:

Задания для самостоятельной работы

Требуется найти произведение одночлена 2a и многочлена a 2 − 7 a – 3 .

Воспользуемся распределительным свойством умножения, чтобы избавиться от скобок, и суммируем полученные результаты:

2 a ( a 2 − 7 a − 3 ) = 2 a × a 2 + 2 a × ( − 7 a ) + 2 a × ( − 3 ) = 2 a 3 + ( − 14 a 2 ) + ( − 6 a ) = 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Упрощенный вариант записи:

2 a ( a 2 − 7 a − 3 ) = 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Ответ: 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Вычислить произведение одночлена и многочлена:

a 2 b 2 − a 2 − b 2

С помощью распределительного свойства умножения раскроем скобки и найдем сумму полученных произведений:

− a 2 b 2 ( a 2 b 2 − a 2 − b 2 ) = − a 2 b 2 × a 2 b 2 + ( − a 2 b 2 ) × ( — a 2 ) + ( − a 2 b 2 ) × ( — b 2 ) = − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

Более короткий вариант записи:

− a 2 b 2 ( a 2 b 2 − a 2 − b 2 ) = − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

Ответ: − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 )

Воспользуемся распределительным свойством умножения и найдем сумму полученных произведений:

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 ) = − 1 , 4 x 2 y 6 × 5 x 3 y + ( − 1 , 4 x 2 y 6 ) × ( − 1 , 5 x y 2 ) + ( − 1 , 4 x 2 y 6 ) × ( − 2 y 3 ) = − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Решение можно записать в упрощенном виде:

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 ) = − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Ответ: − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Найти произведение одночлена и многочлена:

— 1 2 x y ( 2 3 x 2 — 3 4 x y + 4 5 y 2 )

В первую очередь найдем произведение одночлена и первого члена многочлена:

— 1 2 x y × 2 3 x 2 = — 1 3 x 3 y

Далее проделаем аналогичное действие с одночленом и вторым членом многочлена:

— 1 2 x y × ( — 3 4 x y ) = 3 8 x 2 y 2

Затем умножим одночлен на третий член многочлена:

— 1 2 x y × 4 5 y 2 = — 2 5 x y 3

— 1 2 x y ( 2 3 x 2 — 3 4 x y + 4 5 y 2 ) = — 1 2 x y × 2 3 x 2 + ( — 1 2 x y ) × ( — 3 4 x y ) + ( — 1 2 x y ) × ( — 3 4 x y ) + ( — 1 2 x y ) × 4 5 y 2 = — 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( — 2 5 x y 3 )

Сокращенный вариант записи:

— 1 2 x y ( 2 3 x 2 — 3 4 x y + 4 5 y 2 ) = — 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( — 2 5 x y 3 )

Ответ: — 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( — 2 5 x y 3 )

В первую очередь умножим 2 на многочлен (a + b), а полученное произведение запишем в скобках:

2 ( a + b ) c = ( 2 a + 2 b ) с

Скобки в данном случае потребовались, чтобы правильно выполнить дальнейшее умножение выражения на член с. Вычислим это произведение:

2 ( a + b ) c = ( 2 a + 2 b ) с = 2 a c + 2 b c

Второй вариант решения заключается в умножении (a + b) на с. Полученное выражение следует умножить на 2:

2 ( a + b ) c = 2 ( a c + b c ) = 2 a c + 2 b c

Заметим, что произведение не определяется порядком действий, когда выражение включает в себя несколько сомножителей. Таким образом, работает сочетательный закон умножения.

Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»