Уравнения установившегося режима в форме баланса токов

Уравнения установившегося режима электрической сети

Установившимся режимом работы электрической сети при постоянных источниках тока и напряжения называется такое её состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение в любом узле остаются относительно неизменны-ми в течение сколь угодно длительного времени.

Рассмотрим узел электрической сети, в котором соединены несколько ветвей. В качестве ветвей могут быть участки ЛЭП, трансформаторы, батареи статических конденсаторов (БСК), синхронные компенсаторы (СК) и другие элементы электрической сети.

1,2,3,…,j – номера узлов, имеющих электрическую связь с рассматриваемым

;

y_i0 – проводимость i — го узла, включающая проводимости (поперечные)

элементов, установленных в i – м узле (БСК, СК, реакторы, и другие

элементы), половины поперечных проводимостей линий, подключен-

ных в i – м узле, поперечные проводимости трансформаторов (если

они примыкают к этому узлу узлом начала схемы замещения).

.

— токи в ветвях, примыкающих и к рассматриваемому узлу. В зависимости от направления тока устанавливается знак » + » или » — » , если ток , то противоположный ему ток

Расчетное направление тока или мощности может не совпадать с реальным.

В этом случае они будут отличаться знаками.

В соответствии с I — законом Кирхгофа в узле i должен соблюдаться баланс токов, то есть сумма токов в ветвях, присоединенных к узлу (с учетом направ-лений токов ) должна быть равна инъекции тока в узле:

(1)

N – количество узлов непосредственно связанных с i – м узлом.

Инъекцию тока в узле Іi можно определить:

(2)

Левая часть уравнения выражения (1):

(3)

Объединим выражения (2) и (3), и запишем формулу (1):

(4)

Умножим обе части уравнения (4) на :

(5)

Рассмотрим левую часть уравнения (4). Запишем баланс токов в i – м узле в развернутом виде:

(6)

(7)

Сгруппируем элементы в левой части:

(8)

y_ij – взаимная проводимость узлов i и j. Равна продольной проводимости участка i – j : y_ij = 1 / Z_ij .

— собственная проводимость узла. Равна сумме проводи-мостей всех участков, присоединенных к i – му узлу:

Во вторых скобках – сумма произведений напряжений узлов, соединенных с i – м, на их взаимные проводимости.

Запишем уравнение (8) с учетом принятых обозначений:

Это уравнение установившегося режи-ма в форме баланса токов.

(9) Оно описывает режим i — го узла и

баланс токов в нём.

Неизвестным являются напряжения узлов: — напряжение рассматрива-емого узла, — напряжение в узлах, непосредственно связанных с i – м узлом.

Заданные величины: инъекция тока . Известными являются: собственная проводимость узла , взаимная проводимость . Уравнение (9) линейно относительно неизвестных напряжений в узлах.

Подставим в правую часть формулы (9) формулу (2):

(10)

Умножим обе части уравнения (10) на :

.

Получаем уравнение установившегося режима в форме баланса мощности:

Описывает баланс мощностей в i – м узле.

— сопряженный комплекс мощности, заданной в i – м узле.

Неизвестные величины: напряжения в узлах .

Известные величины: .

Уравнение (11) — нелинейное относительно неизвестных напряжений.

1. Уравнения (9) и (11) – уравнения с комплексными неизвестными и

комплексными неизвестными. Содержат параметры, характеризую-

щие схему сети (проводимости y_ii и y_ij) и её режим ( напряжения U_i

2. Неизвестными величинами в них являются напряжения узлов U_i и U_j ;

3. Известные величины в них – собственная и взаимные проводимости

узлов. Заданные величины – ток и мощность в узле;

4. Уравнения записаны для одного узла электрической сети. Для схемы,

состоящей из N узлов, потребуется записать систему из N таких

Лекция 8

В практических расчетах комплексные уравнения (9) и (11) часто исполь-зуются в преобразованном виде. Комплексные величины в их составе пред-ставляются в виде действительных и мнимых составляющих. В результате, комплексное уравнение распадается на два действительных уравнения.

Преобразуем уравнение (11), представив неизвестные напряжения (комп-лексные величины) U_i ,U_j в прямоугольных координатах:

Проводимости тоже представим в виде составляющих:

(12)

Мощность: ;

Подставим эти значения в (11):

Выполняем преобразование: раскрываем скобки, группируем, разделяем действительную и мнимую части уравнения. Получаем два действительных

уравнения установившегося режима в форме баланса мощностей, записанных в прямоугольных координатах:

(13)

Неизвестные величины в них — составляющие напряжений U_i ’ , U_i ” , U_j ’ , U_j ” .

Уравнение (13) описывает баланс активной и реактивной мощности в одном i – м узле сети. Для сети, состоящей из n узлов нужно записать 2n таких урав-нений. Неизвестными являются составляющие напряжения .

Представим уравнение (11) в полярных координатах. Для этого комплексы неизвестных напряжений запишем в соответствии с формулой Эйлера:

.

Здесь U_i – модуль, — фаза напряжения .

(14)

Подставим (14) в (11) учетом того, что

(15)

Преобразуем уравнение (15): раскрываем скобки, группируем, разделя-ем действительные и мнимые части, меняем местами

(16)

Это уравнение установившегося режима в форме баланса мощности,

записанное в полярных координатах. Неизвестные величины в нём — модули напряжений и фазы напряжений .

Это два действительных уравнения, записанные для одного i-го узла схемы. Определяют баланс активной и реактивной мощности в нем.

Существуют и другие формы записи уравнений установившегося режима.

Пример:

Составить уравнения в форме баланса токов для каждого из узлов сети

Составим уравнение для первого узла.

— собственная проводимость 1 – го узла.

Для узла 0: i=0; j=1; n=1;

Для узла 2: i=2; j=1,3; n=2;

Для узла 3: i=3; j=1,2; n=2;

Уравнения в форме баланса мощностей можно получить, если умножить каждое из полученных уравнений на сопряженный комплекс соответствующе-го напряжения.

Запишем уравнение для 1 – го узла в прямоугольных координатах:

Для узлов 2 и 3 уравнения в прямоугольных координатах записать самостоятельно.

Уравнения для 1-го узла в полярных координатах:

Уравнения узловых напряжений

Уравнения узловых напряжений (УУН) — система нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются напряжения в узлах электрической сети, наиболее часто применяемая для расчёта установившегося режима электрической сети.

Содержание

Описание

Установившийся режим электрических систем можно рассчитывать при различных способах задания исходных данных в зависимости от физической сути и цели расчёта. В статье рассмотрен наиболее часто встречающийся и наиболее простой случай, когда известны сопротивления и проводимости всех пассивных элементов электрической сети. Кроме того, заданы постоянные величины всех значений токов (мощности) во всех узлах, кроме балансирующего и все ЭДС, а также напряжение одного узла — базисного. При этом необходимо определить напряжения всех [math](n-1)[/math] узлов и токи во всех m ветвях.

В общем случае базисный по напряжению и балансирующий узлы могут не совпадать. Как правило, при расчётах режимов электрических систем предполагают, что эти узлы совпадают, в дальнейшем для простоты изложения предполагается, что базисным по напряжению и балансирующим является один и тот же [math]n[/math] -й узел. Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу независимых узлов [math](n-1)[/math] . Уравнение первого закона Кирхгофа для [math]n[/math] -го узла является следствием уравнений для остальных [math](n-1)[/math] узлов и не входит в число независимых уравнений.

Если в качестве неизвестных принять [math](n-1)[/math] узловых напря¬жений, то установившийся режим можно описать только узловыми уравнениями, вытекающими из первого закона Кирхгофа и закона Ома [1] , [2] , [3] , [4] . Уравнения узловых напряжений следуют из первого закона Кирхгофа, если все токи в ветвях выразить через узловые напряжения и проводимости ветвей. Число уравнений узловых напряжений равно числу независимых узлов [math](n-1)[/math] .

Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две математические модели уравнений узловых напряжений:

Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели, которая предполагает задание активной и реактивной мощностей. В большинстве задач нагрузки в узлах задаются активной и реактивной мощностями, по этой причине обычно используется нелинейная модель.

Вывод уравнений узловых напряжений

Для формирования УУН рассмотрим представленную на рис. 1 часть схемы замещения:

Первый закон Кирхгофа для к-го узла:

Наличие знака сопряжения в этом выражении обусловлено тем, что для идеального двухобмоточного трансформатора выполняется закон сохранения мощности [math]\dot=\dot=\hat\dot=\hat\dot[/math] , где индексами «Н» и «В» обозначены соответственно низшая и высшая обмотки трансформатора, поэтому, если [math]\dot=\dot\dot>[/math] , то из закона сохранения следует:

Подстановка полученных выражений в уравнение (1.1) с приведением подобных членов позволяет получить уравнение для k-го узла в виде:

В прямоугольной системе координат

В данной системе комплексные величины [math]\displaystyle \underline_, \dot>, \dot>[/math] представляются в виде

для проводимости справедливо следующее:

получаем, что [math]\displaystyle \underline=g-jb,[/math]

но для удобства расчёта матрицы проводимостей будем использовать соотношение

Запишем УУН для линейной ЭЭС:

левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть — токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы.

Подставляем (1), (2), (3) в (4), [math]\dot_б[/math] представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее:

[math]\displaystyle \begin \sum_^ \left( g_ + j b_ \right) \left( U_‘ + j U_» \right) = J_‘ + j J_»- \left( g_ + j b_ \right) \left(U_<б>‘ + j U_<б>»\right), i = 1 \ldots N \end.[/math]

Сгруппируем и приведем подобные:

Сгруппируем относительно [math]j[/math] левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные и мнимые части. Получаем:

Представим данную систему (6) в матричной форме:

В случае, если [math]\dot_б=U_б+j0,[/math] система (6) преобразуется к виду:

Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8):

Вернемся к нелинейной модели ЭЭС. Для этого перенесем составляющую токов базы системы (4) в левую часть, изменив при этом диапазон [math]i=1 \ldots (N-1)[/math] . Получаем:

Добавим, что [math]\dot = P + j Q.[/math] (12)

Подставляем (11) в выражение (10), получаем следующее:

Подставляем (1), (3), (12) в (13), получаем:

[math]\displaystyle \begin \sum_^ \left( g_ + j b_ \right) \left( U_‘ + j U_» \right) = \frac< P_i - j Q_i >< U_i' - j U_i'' >, i = 1 \ldots (N-1)\end.[/math]

Раскрываем скобки, домножаем правую часть на сопряженное и группируем относительно [math]j[/math] :

Вынесем [math]j[/math] за знак суммы в левой части, а в правой части разобьем дробное выражение на две составляющие относительно [math]j[/math] , получим:

Преобразуем систему (14) к виду, аналогичному системе (8), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса токов:

Выведем систему нелинейных УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей. Для этого домножим систему (13) на [math]\hat[/math] , получаем:

[math]\displaystyle \begin\left(U_i’-jU_i»\right)\sum_^\left(g_+jb_\right)\left(U_‘+jU_»\right)=P_i-jQ_i\end, i=1 \ldots (N-1).[/math]

Вносим сопряженный комплекс напряжения под знак суммы и группируем относительно [math]j[/math] , имеем:

Преобразуем систему (17) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей:

В полярной системе координат

Комплексное число можно представить в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:

[math]\displaystyle \dot=U_k’+jU_k» = V_k \cdot e^ = V_k \big(\cos(δ_k)+j \sin(δ_k)\big).[/math]

Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса мощностей в полярной системе координат, необходимо в систему (16) подставить показательную запись комплексного числа [math]\dot[/math] . Выполнив это, получим:

[math]\displaystyle \begin V_i e^ <-j δ_i>\sum_ \limits^ (g_ + j b_) \cdot V_k \cdot e^ = P_i — j Q_i \end, i= \overline< 1 \ldots (N-1) >.[/math]

Переносим экспоненты в одну сторону:

[math]\displaystyle \begin V_i\sum_\limits^V_k(g_+jb_) \cdot e^ \cdot e^<-jδ_i>=P_i-jQ_i\end, i= \overline< 1 \ldots (N-1) >.[/math]

Используя свойство степеней, выполним преобразования:

[math]\displaystyle \begin V_i\sum_\limits^ V_k (g_+jb_) \cdot e^ = P_i — jQ_i\end, i= \overline< 1 \ldots (N-1) >.[/math]

Переходим к тригонометрической форме:

[math]\displaystyle \begin V_i\sum_\limits^ V_k \bigg( \big(g_ + jb_ \big) \big( \cos(δ_k-δ_i) + j \cdot \sin(δ_k-δ_i) \big) \bigg) = P_i-jQ_i \end, i= \overline< 1 \ldots (N-1) >.[/math]

Группируем относительно [math]j[/math] :

Преобразуем систему (19) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в полярных координатах в форме баланса мощностей:

Методы решения

Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:

1. Метод Гаусса-Зейделя — это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основными особенности — это малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
2. Метод Якоби.
3. Метод Z-матриц.
4. Метод Ньютона-Рафсона — один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
5. Метод голоморфного встраивания — прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.

Курсовая работа: Расчет установившегося режима работы электрической системы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Пензенский государственный университет

Кафедра «Автоматизированные электроэнергетические системы»

«Расчет установившегося режима работы электрической системы»

пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине: «Математические задачи в электроэнергетике»

Выполнил: ст. гр. 02РЭ1

Принял: к.т.н., доцент

Реферат

Объект исследования: электрическая система.

Цель работы: рассчитать напряжения в узлах электрической системы в установившемся режиме с помощью программы, написанной на любом языке программирования.

Методы расчетов: аналитические. Результатом работы является программа, рассчитывающая напряжения в узлах электрической системы.

Содержание

2. Определение параметров схемы замещения электрической системы. Формирование матрицы узловых проводимостей

2.1 Схемы замещения элементов электрической системы

2.1.1 Схема замещения ВЛ-500 кВ и определение ее параметров

2.1.2 Схема замещения автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220

2.1.3 Схема замещения ВЛ-220 кВ, определение ее параметров

2.1.4 Схема замещения автотрансформатора АТДЦТН-200000/220/110

2.1.5 Схема замещения трансформатора ТРДЦН-100000/220

2.2 Схема замещения электрической системы

2.3 Расчетная схема

2.4 Диагональная матрица проводимостей ветвей

2.5 Граф расчетной схемы

2.6 Расчет матрицы узловых проводимостей

3. Нелинейные уравнения установившегося режима

3.1 Метод Зейделя

3.2 Метод Ньютона

Список использованной литературы

Введение

Современные электроэнергетические системы относятся к категории сложных. Данные системы имеют весьма глубокие внутренние связи и состоят из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. При изучении таких систем мы не можем расчленить их на составляющие, изучать влияние отдельных параметров «по одному», так как сложная система в целом обладает новыми свойствами, не свойственными её отдельным элементам. Решаемые задачи электроэнергетики являются многофункциональными, многопараметрическими, громоздкими, требующими сложных и объемных решений. По этой причине электроэнергетика является одной из отраслей народного хозяйства, где нашли широкое применение различные моделирующие и вычислительные устройства.

В настоящее время основным методом моделирования в электроэнергетике является метод численного решения задачи, который включает в себя следующие этапы: техническая постановка задачи, математическая, выбор модели, выбор алгоритма, составление программы.

Для расчета установившегося режима электрической системы на этапе технической постановки задачи формируется или задается схема электрической сети; на этапе математической постановки задачи формируется первичная модель, то есть схеме-оригиналу ставится в соответствие схема замещения и граф, описывающий эту схему, формулируются в виде математических выражений решений об ограничениях системы, о допустимых упрощениях. На этапе выбора модели решается, с помощью каких средств будет решаться задача: с помощью готового пакета программ, например MathCad , или с помощью собственной разрабатываемой программы. Для расчета систем нелинейных уравнений в основном используют три алгоритма: метод Гаусса, метод Зейделя и метод Ньютона.

1. Описание

На рис. 1 изображена однолинейная схема электрической системы.

Данные по ЛЭП приведены в табл. 1.

Таблица 1

				l2
220	АС400/51	110	АС300/39	200	АС400/51	110	АС500/64	220	АС240/32

Данные по нагрузкам приведены в табл. 2.

2. Определение параметров схемы замещения электрической системы. Формирование матрицы узловых проводимостей

Определим параметры схемы замещения элементов электрической системы. Все удельные параметры для ВЛ и каталожные данные трансформаторов находим по справочным данным.

Все параметры схем замещения приводим к номинальному напряжению 220 кВ.

2.1 Схемы замещения элементов электрической системы

2.1.1 Схема замещения ВЛ-500 кВ и определение ее параметров

Двухцепная ВЛ-500 кВ выполнена с расщеплением фазы на три провода марки АС-400/51. Длина линии

Схема замещения ВЛ-500 кВ изображена на рис. 2.

На 100 км длины , , . Так как напряжение лини больше 330 кВ, то необходимо учесть потери на корону, которые для ВЛ-500 кВ составляют примерно 5,6 кВт/м. Так как линия Двухцепная, то необходимо все параметры продольной ветви поделить на 2, поперечных ветвей умножить на 2.

Приведение параметров к номинальному напряжению происходит путем умножения их на коэффициент трансформации в квадрате () – для продольной ветви, и деления на для поперечных ветвей.

2.1.2 Схема замещения автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220

Схема замещения трансформатора представлена на рис. 3.

Каталожные данные автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220:

Параметры поперечной ветви:

Рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем реактивные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные реактивные сопротивления каждой фазы:

Рассчитаем полные сопротивления каждой фазы и полную проводимость поперечной ветви:

2.1.3 Схема замещения ВЛ-220 кВ, определение ее параметров

Для ВЛ-220 кВ допустимо не учитывать потер на корону. Схема замещения ВЛ-220 кВ изображена на рис. 4.

Двухцепная линия выполнена проводами марки АС-300/39

Длина линии .

На 100 км: , , .

Одноцепная линия выполнена проводами марки АС-400/51.

Длина линии .

На 100 км: , , .

Одноцепная линия выполнена проводами марки АС-500/64.

Длина линии .

На 100 км: , , .

Одноцепная линия выполнена проводами марки АС-240/32.

Длина линии .

На 100 км: , , .

2.1.4 Схема замещения автотрансформатора АТДЦТН-200000/220/110

Схема замещения автотрансформатора аналогична схеме замещения автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220

Каталожные данные автотрансформатора АТДЦТН-200000/220/110:

Параметры поперечной ветви:

Рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем реактивные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные реактивные сопротивления каждой фазы:

Рассчитаем полные сопротивления каждой фазы и полную проводимость поперечной ветви:

2.1.5 Схема замещения трансформатора ТРДЦН-100000/220

Схема замещения двухобмоточного трансформатора изображена на рис. 5.

Каталожные данные трансформатора ТРДЦН-100000/220:

Параметры схемы замещения:

2.2 Схема замещения электрической системы

На рис. 8 изображена схема замещения электрической системы. Все параметры схемы замещения рассчитаны в пункте 2.1.

2.3 Расчетная схема

Просуммировав проводимости, имеющие общий узел, и объединив все нейтрали N в один узел, получим расчетную схему.

Расчетная схема с пронумерованными ветвями и буквенными обозначениями узлов изображена на рис. 9.

2.4 Диагональная матрица проводимостей ветвей

Т.к. количество ветвей следуемой расчетной схемы – 17, то размерность матрицы проводимостей ветвей – 17´17. Определим диагональные элементы матрицы :

2.5 Граф расчетной схемы

По расчетной схеме, изображенной на рис. 9. составим граф. Для каждой ветви графа расчетной схемы произвольно задается направление. Граф расчетной схемы изображен на рис. 10.

По графу составляем матрицу соединений ветвей узлов (первая матрица инциденций) — .

В матрице отбрасываем строку, соответствующую балансирующему узлу. В качестве балансирующего узла принимаем узел O.

Запишем матрицу M :

2.6 Расчет матрицы узловых проводимостей

Матрица узловых проводимостей может быть определена следующим образом:

где – транспонированная матрица соединений ветвей и узлов,

– диагональная матрица проводимостей ветвей, элементы матрицы определены в пункте 2.4.

Решая матричное уравнение

в среде MathCAD, получена следующая матрица узловых проводимостей :

3. Нелинейные уравнения установившегося режима

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя и генератора ток задается в следующем виде:

где – сопряженная заданная мощность трех фаз -го узла;

– сопряженный комплекс междуфазного напряжения -го узла;

– нелинейный ток, зависящий от напряжения.

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:

где – вектор-столбец, -й элемент которого равен ;

– заданное напряжение балансирующего узла.

Записанное уравнение – уравнение узловых напряжений в форме баланса токов.

Уравнения узловых напряжений можно записать в форме баланса мощности. В матричной форме:

где – диагональная матрица, -й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения -го узла.

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

где – вектор-функция;

и – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.

При расчетах вектор независимых переменных задан, т.е. .

Нелинейную систему можно записать:

3.1 Метод Зейделя

Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением:

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для ускорения сходимости метода Зейделя применяются ускоряющие коэффициенты. Основное достоинство метода Зейделя состоит в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода – в медленной сходимости, или расходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлениями обмотки среднего напряжения и для систем с сильной неоднородностью параметров.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в среде MathCAD методом Зейделя, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

3.2 Метод Ньютона

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системе нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значение неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение.

Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных уравнений с действительными переменными:

Если использовать вектор-столбец и вектор-функцию , где

,

то систему нелинейных уравнений можно записать в матричном виде:

Пусть , , — начальные приближения неизвестных. Заменим каждое из нелинейных уравнений линейным, полученным разложением в ряд Тейлора.

Запишем матрицу Якоби, т.е. матрицу производных системы функций , по переменным :

Тогда систему линеаризованных уравнений можно зависать в матричном виде:

Эта система линейна относительно поправок

.

Матрица Якоби не должна быть вырожденной, тогда решая полученную систему (линейную) любым способом, находим первое приближение переменных:

Каждый шаг итерационного процесса состоит из решения линейной системы:

и определения следующего приближения неизвестных:

Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок:

Уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для -го узла можно записать в следующем виде:

Слагаемое внесено в сумму, балансирующему узлу присвоен номер .

Выделим в уравнении действительные и мнимые части:

где , – соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле ;

, – вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений.

В расчетах на ЭВМ обычно в качестве неизвестных используются модули и фазы напряжений узлов и .

Уравнение баланса мощностей для -го узла при переменных и :

где

Уравнение в форме баланса мощностей:

С учетом реальных условий в электрических системах можно пренебречь недиагональным элементами матрицы Якоби, т.е.

Метод Ньютона очень быстро сходится и имеет высокую надежность.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей в полярной системе координат в среде MathCAD методом Ньютона, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

Заключение

В курсовой работе была рассмотрена сложная электрическая система. Подробно рассмотрено составление схемы замещения электрической системы и расчет матрицы узловых проводимостей. Приводятся основные методы решения нелинейных уравнений установившегося режима работы электрической системы. Разработана программа в среде MathCAD для решения нелинейных систем методам Ньютона и Зейделя. Предпочтение отдается методу Ньютона из-за высокой надежности и быстрой сходимости.

Список использованной литературы

1. «Справочник по проектированию электроснабжения, линий электропередачи и сетей». Под ред. Я.М. Большама, В.И. Круповича, М.Л. Самовера; М.: «Энергия», 1974г.

2. «Справочник по электроснабжению промышленных предприятий». Под ред. А.А. Федорова, Г.В. Сербиновского. М.: «Энергия», 1973г.

3. «Электрические системы и сети». Под ред. Л.Н. Баптиданова. Л.: «Госэнергоиздат», 1963г.

4. Конспекты лекций по «Математическим задачам в энергетике».