Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка
Пусть X 1 , X 2 , . Xn – заданные функции переменных x 1 , x 2 , . xn .
Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:
необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ 1( x 1 , x 2 , . xn ) = C 1 ,
φ 2( x 1 , x 2 , . xn ) = C 2 ,
.
φn- 1 ( x 1 , x 2 , . xn ) = Cn- 1 ,
где Ck – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n – 1 аргументов.
Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F .
Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка
Пусть X 1 , X 2 , . Xn+ 1 – заданные функции от переменных x 1 , x 2 , . xn и z .
Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в следующем виде:
φ 1( x 1 , x 2 , . xn , z ) = C 1 ,
φ 2( x 1 , x 2 , . xn , z ) = C 2 ,
.
φn ( x 1 , x 2 , . xn , z ) = Cn .
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:
где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ 1 = F ( φ 2 , φ 3 , . φn ) ,
φ 2 = F ( φ 1 , φ 3 , . φn ) ,
и т. д.
Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
Однородное уравнение
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .
Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:
Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.
Выбираем и решаем первое уравнение:
Здесь переменные уже разделены, интегрируем:
Интегралы табличные,
Потенцируем:
Отсюда
Подставим во второе уравнение:
Или:
Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:
Интегрируем:
Подставим полученное ранее выражение C1 = x y 2 :
Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:
где F — произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2) . Найдем ее вид из граничного условия
при .
Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1 :
Отсюда
На границе
.
Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F ( φ 1 , φ 2 ) = φ 1 φ 2 .
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:
Общее решение:
где F — произвольная функция от двух аргументов F ( φ 1 , φ 2 ) .
Неоднородное уравнение
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:
Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.
Решаем уравнение:
Умножаем на 2 z и интегрируем:
Интегралы табличные,
Потенцируем:
Отсюда
x = C 1 y
Подставим во второе уравнение:
Или:
Замечаем, что , тогда
Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:
Интегрируем:
Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:
Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:
Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:
Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F ( φ 1 , φ 2) = 0
Но, поскольку F — произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ 1 = F ( φ 2) ,
где F — произвольная функция от одного аргумента.
Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Из уравнения x + y + z = 0 , z = – ( x + y ) . Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 = a 2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = a 2
Разделив на y 2 , имеем
Итак, мы нашли, что на границе:
.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ 1 = F ( φ 2)
.
Сделаем подстановку
:
.
Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ1 и φ2 :
.
Умножим на a 2 y 2 .
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-09-2014
Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных
Немного теории
Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.
ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).
В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.
ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).
Приведение к каноническому виду
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение
Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.
Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:
Решение ДУ в ЧП
Задача 4. Решить уравнение Пфаффа
$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$
Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных
$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$
Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных
Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.
$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$
Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных
$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$
Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных
Разные задачи на исследование ДУ в ЧП
Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию
Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.
Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что
Помощь с решением ДУ в ЧП
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Уравнения в частных производных первого порядка задача коши
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х²у' + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;
3) y'³ + y"y''' = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у', у") = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;
5) – уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у') = 0 или (в разрешенном относительно у' виде) y' = f(х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у' = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y' = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).
Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у'= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.
△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем
x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲
508. Найти частный интеграл уравнения у' cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.
△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
, или
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
▲
509. Найти общий интеграл уравнения у' = tg x tg y.
△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.
Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.
△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим
, или ln |y| = – arctg x + С
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,
ln у = – arctg х + π/4,
откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maducp
http://an-site.ru/kr/ko.htm