Уравнения в натуральных числах мишин евтушенко

Вычисление по действиям. Тренировочные задания

Посоветуйте книгу друзьям! Друзьям – скидка 10%, вам – рубли

Эта и ещё 2 книги за 299 ₽

В пособии, которое Вы держите в руках, собраны задания для отработки техники работы с числами и арифметическими действиями. Задачи сгруппированы по сложности. В одной категории сложности приводится шесть вариантов. Материал, представленный в этой книге, служит для формирования устойчивых вычислительных навыков, которые необходимы современному школьнику. Задачи книги можно использовать для отработки навыка самопроверки и использовать для различных соревнований, конкурсов, для дифференцированного обучения.

Пособие будет полезно учителям, в качестве дополнительного материала при подготовке к урокам, обучающимся и их родителям.

• Возрастное ограничение: 6+
• Дата выхода на ЛитРес: 23 октября 2018
• Дата написания: 2018
• Объем: 42 стр.

• ISBN: 978-5-00118-155-2
• Общий размер: 0 MB
• Общее кол-во страниц: 42
• Размер страницы:
• Правообладатель: Бук

Отзывы 1

Супер. Хорошая книга для тренировки счета с большим количеством разноуровневых примеров. Подходит как и для начальных классов, так и для работы в среднем звене!

Супер. Хорошая книга для тренировки счета с большим количеством разноуровневых примеров. Подходит как и для начальных классов, так и для работы в среднем звене!

Оставьте отзыв

Напишите отзыв и получите 50 бонусных рублей на ваш счёт ЛитРес

Презентация «Решение уравнений в целых числах»

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Из этого уравнения получим следующие системы

Решив эти системы, получим:

2. Метод решения относительно одной переменной Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0 Решение:3xy+17y=-14x — 71 ; y(3x+17)=-14x-71 , где 3х + 17≠0 Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число, следовательно, дробь также целое число,и значит 25 делится на (3х+17). Получаем: 3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом 3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3 3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом 3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5 3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом 3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13 Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5) Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2x²-2xy+9x+y = 2 Решение. Выразим у через х и выделим целую часть: 2xy—y = 2x² +9x — 2 y (2x-1)=2x² + 9x— 2 Т.к. у должно быть целым числом, то дробь также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1). Получаем: если 2x — 1=1, то x = 1, y = 9 если 2x — 1=-1, то x = 0, y = 2 если 2x — 1= 3, то x=2, y = 8 если 2x — 1 = -3, то x = -1, y = 3 Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3) Использование дискриминанта (неотрицательность)

• Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах.Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0. Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1. Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е. − 27y² + 90y +1≥ 0. Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1). Ответ: (0;0); (1;1).

Использование дискриминанта (полный квадрат)

• Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах.Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: x² − ( y +1)x + y² − y = 0. Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение 3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4. Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2. 1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.

2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет целые решения При y = 2 получаем квадратное уравнение x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 . При y = 0 получаем квадратное уравнение x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1. 3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1. При y =1 получаем квадратное уравнение x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 . Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1) 3. Метод оценки Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40. Решение.Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40; (x+3y)²+4y² = 40. Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3 Перебирая значения у, получим системы: Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3) Метод «спуска» ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах. Решение. Так как 2x² — четное число, а 7 — нечетное, то 5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно переписать в виде x² −10z² −10z = 6. Отсюда видно, что х должно быть четным. Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m² − 5z(z +1) = 3, что невозможно, так как число z(z +1) — четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений