Уравнения в полных дифференциалах курсовая работа

Курсовая работа: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

2. Интегрирующий множитель. 5

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ… 10

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных[1] .

Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Пусть уравнение вида f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая дифференцируемая функция F (t, x), что

dF (t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt ((t, x) О D (f) = D (g)).

Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:

Доказательство. Пусть функции t = y(s ), x = j(s ) определены на некотором промежутке J Ì R. Тот факт, что пара (y, j) есть решение уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C эквивалентен тождеству

которое, в свою очередь эквивалентно тождеству

Последнее в точности означает, что

Таким образом, f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F (t, x) = C

Для уравнения с разделяющимися переменными f (x )dx – g (t )dt = 0 существует функция F(t, x ) = F (x ) – G (t ), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах.

функции fi (x) = fi (x1, . xn ) непрерывны вместе со своими частными производными ¶fi /¶xk (i ¹ k) на декартовом произведении интервалов J1 × J2 ×… × Jn = D.

Тогда левая часть уравнения f 1 (x )dx 1 + f 2 (x )dx 2 +… + fn (x )dxn = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции F(x) в том и только том случае, если

Читать курсовая по математике: «Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах» Страница 1

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. В данной работе рассмотрены уравнения в полных дифференциалах. Физический смысл этих уравнений в том, что они показывают элементарную работу в потенциальном силовом поле.

Данная работа несет реферативный характер.

Курсовая работа содержит 4 главы.

В первой описываются основные определения и утверждения, необходимые для изучения данного вопроса. Во второй главе рассмотрена и доказана теорема существования и единственности решения.

В третьей главе рассматривается алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах и примеры. В четвертой главе рассматривается интегрирующий множитель и примеры.

1. Основные понятия и определения

дифференциальный уравнение теорема

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, (включая саму эту точку). Если существует предел отношения приращения функции Дy = f(x0 + Дx) − f(x0) к вызвавшему его приращению аргумента Дx, когда Дx → 0, то этот предел называется производной функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом f ‘(x0), т.е.Определение 1.2

Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y).

Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x0, y0)D(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).,

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде x0+) — f(x0)=A+o(,

где A — число, не зависящее от Дх, а o(Дx) — функция более высокого порядка малости чем Дx при Дх → 0 .

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е. df(x0)=A

Определение 1.5 Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке P0(x0;y0), то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

=df(x0;y0)=(x0;y0) ∆x+(x0;y0) ∆y. Определение 1.6 Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3. Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Определение 1.7 Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C1,C2,C3. Cn) = 0.

Определение 1.8 Частный интеграл дифференциального уравнения — это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1,C2,C3. Cn.

Определение 1.9 Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределенного интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C, где каждому C соответствует определенная кривая семейства.

Определение 1.10 Функция µ=µ(x,y)≠0 называется

Уравнения полных дифференциалов

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Сентября 2014 в 22:19, реферат

Краткое описание

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

Содержание

Введение…………………………………. 3
Основные понятия………………………………………………………5
Уравнения в полных дифференциалах………………………………. 7
Список используемой литературы…………………………………….16

Вложенные файлы: 1 файл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мурманский государственный гуманитарный университет»

Тема: «Уравнения полных дифференциалов»

Выполнил: студент 2 курса, факультета ФМОИиП

Воробьева Мария Петровна

Проверила: Ст. преподаватель кафедры МиМОМ Шупова Галина Михайловна

Уравнения в полных дифференциалах………………………………. 7

Список используемой литературы…………………………………….16

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

, где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=gN (g — доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество .

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

, описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.