Уравнения видов движения твердого тела

Техническая механика

Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение

Различают два вида простейшего движения твердого тела: поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению, называется поступательным.
Так, например, поршень двигателя относительно других деталей и узлов (гильзы, блока, головки цилиндров и т. п.) совершает поступательное движение.

Закономерности перемещения всех точек тела при поступательном движении можно описать движением любой из его точек. Этот вывод опирается на утверждения теоремы о поступательном движении твердого тела.

Т еорема: при поступательном движении все точки твердого тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения .

Пусть за время Δt тело, двигаясь поступательно, переместилось из положения АВ в положение А₁В₁ , причем произвольная точка А прошла путь Δs_А , а другая произвольная точка В прошла путь Δs_В по некоторым траекториям (дугам) АА₁ и ВВ₁ (см. рис. 1) .
Требуется доказать, что траектории, скорости и ускорения точек А и В при поступательном перемещении были одинаковы.

Соединим точки А и А₁ , В и В₁ хордами. Так как АВ = А₁В₁ (поскольку тело является твердым, и расстояние между его частями и точками неизменно) , а АВ || А₁В₁ (по определению поступательного движения, любая прямая внутри тела перемещается параллельно своему первоначальному положению) , то фигура АВВ₁А₁ – параллелограмм. Следовательно, хорда АА₁ равна и параллельна хорде ВВ₁ .

Возьмем промежуточное положение прямой А₂В₂ и соединим концы этого отрезка с точками А и А₁ , В и В₁ , как показано на рисунке.
Аналогично предыдущему можно доказать, что вписанные ломаные линии АА₂А₁ и ВВ₂В₁ имеют попарно равные и параллельные стороны.
Если бесконечное число раз удваивать число сторон этих ломаных линий, то в пределе они дадут дуги Δs_А и Δs_В . Но так как эти ломаные линии всегда одинаковы, то они одинаковы и в пределе, следовательно, траектории произвольных точек А и В будут одинаковы.
Поскольку точки А и В выбраны произвольно, то, следовательно, траектории всех точек тела будут одинаковы.

Докажем теперь, что скорости и ускорения произвольных точек А и В , а, следовательно, и всех других точек тела в каждый данный момент времени будут равны.

Так как векторы перемещений точек А и В равны между собой (АА₁ = ВВ₁) , то, разделив обе части этого векторного равенства на Δt и перейдя к пределу при Δt стремящемся к нулю, получим:

lim АА₁/Δt = lim ВВ₁/Δt при Δt→0 .

Поскольку эти пределы являются векторами скоростей точек, следовательно v_А = v_В .

Перенесем векторы скоростей v_А1 и v_В1 в точки А и В и найдем векторы приращения скоростей Δv_А и Δv_В . Рассмотрим треугольники АМN и ВМ₁N₁ . Эти треугольники конгруэнтны (равны), и их равные стороны попарно параллельны, следовательно, Δv_А = Δv_В .

Разделим обе части этого векторного равенства на Δt и перейдя к пределу при Δt стремящемся к нулю, получим:

Таким образом, поступательное движение твердого тела вполне определяется движением одной из его точек и, следовательно, все формулы кинематики точки применимы для тела, движущегося поступательно.

Вращение вокруг неподвижной оси

Движение, при котором по крайней мере две точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называется вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки, называется осью вращения.
В определении вращательного движения говорится о неизменяемой системе, потому что ось вращения может лежать и вне тела.

Вращательное движение в технике встречается очень часто. Во многих машинах имеются звенья, совершающие вращательное движение, например, валы, шкивы, зубчатые колеса, ступицы и т. п.
Следует отметить, что понятие вращательного движения может относиться лишь к телу, но не к отдельной точке, и, например, движение точки по окружности является не вращательным, а криволинейным движением.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа (см. рис. 2) . Точка О – след этой оси.
Очевидно, что траектории точек вращающегося тела есть окружности различных радиусов, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, с центрами, лежащими на этой оси.

Пусть за время Δt диск повернулся на угол φ . При этом точка А прошла путь s_А , а точка В – путь s_В .
Так как точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, за один и тот же промежуток времени проходят разные пути, то, следовательно, они имеют разные скорости и ускорения. Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линейные скорость и ускорение точек не могут характеризовать вращательное движение тела в целом.
Вращательное движение тела можно характеризовать углом φ , на который повернулось тело за данный промежуток времени. Этот угол называется угловым перемещением тела .

Угловое перемещение тела выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угловое перемещение обозначают N . Для установлении зависимости между этими величинами составим пропорцию:

1 об = 2 π рад, N об = φ рад, откуда φ = 2πN рад,
где N – число оборотов тела.

Угловое перемещение есть функция времени, следовательно, закон вращательного движения в общем виде можно записать так: φ = f(t) .

Из рис. 2 видно, что путь любой точки вращающегося тела может быть определен из уравнения:

s = rφ , где r – расстояние от точки до оси вращения.

Скорость любой точки тела определяется так:

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r(dφ/dt)

(r вынесли за знак производной, так как для данной точки твердого тела эта величина постоянна).

Выражение dφ/dt называется угловой скоростью и обозначается ω .
Угловая скорость есть кинематическая мера движения вращающегося тела, характеризующая быстроту его углового перемещения: ω = dφ/dt .

Угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени. Единица угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Формула для определения скорости любой точки вращающегося тела имеет следующий вид:

Скорость точки в каждый момент времени прямо пропорциональна ее расстоянию от оси вращения, следовательно, график скоростей точек, например, диаметра В₁В₂ , будет представлять собой два треугольника. Очевидно, что вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с осью вращения.
Если точка лежит на поверхности вращающегося тела, то ее скорость называют окружной .

В технике часто скорость вращения выражают в оборотах в минуту, обозначают буквой n и называют частотой вращения . Зависимость между угловой скоростью и частотой вращения выглядит так:

ω = πn/30 рад/с, где n = частота вращения тела (об/мин).

Различные случаи вращательного движения

Равномерное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, то движение называется равномерным.
При этом:

ω = const ; φ = ωt .

Касательное, нормальное и полное ускорения любой точки равномерно вращающегося тела определяют так:

Неравномерное вращательное движение

Если угловая скорость вращающегося тела с течением времени меняется, то движение называется неравномерным.
В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения выглядят так:

Касательное движение любой точки неравномерно вращающегося тела определяют следующим образом:

Выражение dω/dt обозначают α (альфа) и называют угловым ускорением .
Угловое ускорение есть кинематическая мера изменения угловой скорости вращающегося тела:

α = dω/t = d 2 φ/dt 2 .

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. Единица углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с 2 ).

Формулу для определения касательного ускорения любой точки неравномерно вращающегося тела можно записать в таком виде: а_τ = αr .

Нормальное ускорение определяется по такой же формуле, как и в случае равномерного вращения:

а = √[(а_τ 2 ) + (а_п 2 )] = √[(αr) 2 + (ω 2 r) 2 ] , откуда а = r √(α 2 + ω 4 ) .

Направляющий тангенс полного ускорения можно определить так:

Если направление углового ускорения совпадает с направлением вращения, то вращательное движение является ускоренным, и наоборот.

Равнопеременное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением, то движение называют равнопеременным.
Формулы для этого вида вращательного движения могут быть выведены при помощи интегрального исчисления.

Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси равнопеременно, то:

α = dω/dt = const , откуда dω = αdt .

Интегрируя это равенство по t , получим:

∫dω = ∫αdt , где ω изменяется от 0 (начальная угловая скорость) до ω , t изменяется от 0 до t .

Получим окончательную формулу угловой скорости в следующем виде:

Далее выведем формулу углового перемещения. Так как при любом вращательном движении

dφ/dt = ω , то dφ = dω/dt ,

то, интегрируя это равенство по t , получим:

∫dφ = ∫dω/dt = ∫( ω₀ + αt)dt = ∫ω₀dt + ∫αtdt ; φ – φ₀ = ω₀t + αt 2 /2 ,

где φ₀ – начальное угловое перемещение.

Очевидно, что в случае φ₀ = 0 , формула примет вид: φ = ω₀t + αt 2 /2 .

Итак, формулы для равнопеременного вращательного движения твердого тела записываются следующим образом:

α = const ; ω = ω₀ + αt ; φ = ω₀t + αt 2 /2.

Из этих формул можно получить формулы углового перемещения в другом виде:

φ = (ω 2 – ω₀ 2 )/(2α) или φ = (ω₀ + ω)t/2 .

Уравнения видов движения твердого тела

Пусть известно ускорение точки в каждый момент времени.

По определению имеем .

1.2.5. Кинематика твердого тела. Виды движения

Различают пять видов движения:

• поступательное;
• вращательное — вокруг неподвижной оси;
• плоское;
• вокруг неподвижной точки;
• свободное.

Поступательное движение и вращательное движение вокруг оси — основные виды движения твердого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из этих основных видов или к их совокупности.

Поступательное — это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе и все точки твердого тела совершают равные перемещения за одинаковое время (рис. 1.2.9).

При вращательном движении вокруг оси все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью ОО’ вращения (рис. 1.2.10).

Движение твердого тела

Вы будете перенаправлены на Автор24

Любое твердое тело имеет возможность двигаться в любом направлении. Это неотъемлемое свойство каждого физического объекта. Для точного понимания происходящих вокруг процессов необходимо ввести описание движения твердого тела. Это необходимо для существования и использования самой системы отсчета, которая служит для пространственно-временного описания разнообразных движений. Такая система может быть связана только с понятием твердого тела. Эта означает, что изучение процессов движения твердых тел тождественно изучению движения систем отсчета.

Рисунок 1. Простейшие движения твердого тела. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Виды движения твердых тел

Различают основные виды движения твердых тел:

• вращательное;
• поступательное;
• плоское;
• свободное;
• сферическое.

При вращательном движении твердого тела все точки, которые лежат на определенной прямой, что носит название ось вращения, остаются в неподвижном состоянии. Как пример, движение двери, когда ее открывают или закрывают.

Рисунок 2. Плоское движение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Поступательное движение характеризуется наличием прямой, которая соединяет любые две точки тела. Эта прямая перемещается, но при этом остается в параллельном положении по сравнению со своим первоначальным состоянием в пространстве. Такое движение совершает транспортное средство, которое движется вдоль железнодорожных путей.

Готовые работы на аналогичную тему

При плоском движении твердого тела все точки определенного объекта должны двигаться в плоскостях, которые идут параллельно определенной плоскости, однако при этом сама плоскость остается в неподвижном состоянии в рассматриваемой системе отсчета. Такое движение характерно для колеса, что совершает вращение вокруг своей оси во время поездки по прямому участку дороги.

Свободное движение твердого тела представляют в виде свободного произвольного движения объекта. Оно может сочетать признаки вращательного, поступательного, плоского и сферического движения вместе.

При сферическом движении одна из точек тела должна всегда оставаться в неподвижном состоянии все время. Его можно представить в виде гироскопа.

Рисунок 3. Поступательное движение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основными движениями твердых тел в естественных условиях являются поступательное и вращательное движение. Все остальные представленные виды движения сводятся к одному из основных движений или их совокупности в определенный отрезок времени.

Движение центра инерции твердого тела

Движение твердого тела представляют в виде результата суммы поступательного и вращательного движений. При этом любая произвольная точка твердого тела будет испытывать перемещение. Это перемещение будет одинаковым во всех точках тела. Если разделить его на определенный промежуток времени, то можно вычислить скорость этой точки. Она будет одинакова для всех точек при поступательном движении.

Каждое твердое тело возможно представить в виде определенной совокупности материальных точек. Между ними расстояние будет неизменным. Известно, что любая точка тела может осуществлять движение под действием различных внутренних и внешних усилий. Это движение соответствует Второму закону Ньютона.

В твердом теле центр масс движется таким же образом как производит движение материальная точка массы, когда на нее действует внешняя сила. Подобное движение твердого тела вычисляется несколькими уравнениями.

При рассмотрении движения тела вокруг неподвижной оси необходимо взять любое произвольное тело, у которого ось вращения будет закреплена в неподвижных частях. После этого можно разбить тело на элементарные массы и вычислить модуль момента импульса. Момент импульса исследуемого тела будет относителен оси. Сумма произведений элементарных масс на квадрат до расстояния выбранной произвольным способом оси будет заключать в себе понятие момента инерции всего тела.

Сложное движение точки

Движение, при котором точка одновременно участвует в нескольких параллельных движениях, является сложным движением. В таком движении тела положение точки можно определить относительно неподвижной или подвижной системы отсчета.

Переносным движением точки можно назвать такое движение тела, при котором движение этой точки в подвижной системе отсчета полностью совпадает в определенный момент с движением точки относительно неподвижной системы отсчета.

Относительное движение определяется, как движение точки относительно подвижной системы отсчета. Для разных видов движения устанавливаются собственные параметры.

Отсюда можно понять, как обозначается сложное движение точки. Его также принято называть абсолютным движением тела. Оно определяется, как движение точки относительно неподвижной системы отсчета в целом.

Ярким примером подобного вида движения твердого тела можно считать момент передвижения человека, находящегося в движущемся по дороге транспорте. Движение человека в этой системе отсчета будет отнесено к подвижной и неподвижной системе координат. Ими можно считать сам транспорт и дорогу, которая остается неподвижной относительно движущихся транспорта и человека.

Импульс тела

Рисунок 4. Импульс тела. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В основе движения твердого тела лежат основные законы механики, которые сформулировал Исаак Ньютон. Для вычисления импульса тела необходимо введение следующих величин:

В основе основного раздела механики лежат три главных закона Ньютона. Первый из них гласит, что любая материальная точка или тело может сохранять состояние покоя, а также осуществлять равномерное прямолинейное движение. Движение происходит до того момента, пока иное воздействие других тел не заставит изменить первоначальные параметры движения этого тела.

При этом тело пытается все время сохранить состояние покоя или равномерное прямолинейное движение. Такое стремление также называют инертностью.

Второй закон Ньютона называют еще основным законом динамики поступательного движения. Он может ответить на вопрос об изменении механического движения определенной материальной точки или твердого тела, когда на нее действуют внешние силы.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 06 2021