Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Метод решения
Рассмотрим уравнение, не содержащее независимую переменную в явном виде:
(1) .
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:
Далее считаем, что функция u зависит от переменной y , тогда:
;
;
и т. д.
В результате такой подстановки, порядок уравнения понижается на единицу.
Пример
Уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Делаем подстановку:
.
Считаем, что функция u зависит от переменной y . Тогда
.
Подставляем в исходное уравнение:
.
Делим на u . При имеем:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Делим на и умножаем на dy . При имеем:
.
Интегрируем:
(2) .
Подставляем в (2):
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную интегрирования . Знак модуля сводится к умножению на ±1 . Включим ±1 в постоянную . То есть мы теперь полагаем, что может быть не только положительным, но и отрицательным числом. Тогда:
.
Выполняем преобразования:
;
.
При имеем:
;
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируем:
(3) .
Вычисляем интеграл:
.
Подставляем в (3):
;
.
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
;
;
(4) .
При выводе формулы (4) мы предполагали, что
и .
Теперь рассмотрим случаи
.
Нетрудно видеть, что решение, охватывающее эти три равенства, есть
(5) ,
где C – произвольная постоянная. Тогда . Подставляя это в исходное уравнение нетрудно убедиться, что оно выполняется. Это особое решение. Добавим его в ответ.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-07-2013 Изменено: 27-06-2018
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка
с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Заменяя z произведением функций u и v , получим
Тогда получим выражения с функцией v :
Выражения с функцией u :
Дважды интегрируем и получаем:
.
.
Интегрируем по частям и получаем:
.
Итак, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Интегрируем полученную функцию:
Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:
.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :
Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:
Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:
.
Понижение порядка уравнения, не содержащего x
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
.
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
.
Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
.
При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Используя вновь подстановку
,
получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:
.
Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :
.
.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
.
Из начального условия y(0) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Таким образом, получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим
Интегрируем обе части уравнения
Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому
.
Из начального условия y(1) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям первого порядка
Вы будете перенаправлены на Автор24
Дифференциальные уравнения второго порядка, в которых правая часть не зависит от неизвестной функции и её производной
Таким дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида $y»=f\left(x\right)$. В нем правая часть не зависит от неизвестной функции $y$ и её производной $y’$, а зависит только от $x$. Решается это уравнение последовательным интегрированием.
Представим его в таком виде: $\frac
Интегрируем первый раз, используя то свойство, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: $\int d\left(y’\right) =\int f\left(x\right)\cdot dx $ или $y’=\int f\left(x\right)\cdot dx +C_ <1>$, где $C_ <1>$ — произвольная постоянная.
Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка сведено теперь к дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно представить в таком виде: $dy=\left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_ <1>\right)\cdot dx$.
Интегрируем полученное дифференциальное уравнение повторно: $y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx +C_ <1>\right)\cdot dx =\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +\int C_ <1>\cdot dx$. Окончательно получаем:$y=\int \left(\int f\left(x\right)\cdot dx \right)\cdot dx +C_ <1>\cdot x+C_ <2>$, где $C_ <2>$ — произвольная постоянная.
Процесс интегрирования завершен. Получена неизвестная функция $y$, которая является общим решением данного дифференциального уравнения второго порядка.
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y»=f\left(x\right)$ может быть представлен в следующем виде:
- находим интеграл $I_ <1>\left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx $ и записываем первую производную искомой функции в виде $y’\left(x,C_ <1>\right)=I_ <1>\left(x\right)+C_ <1>$;
- находим интеграл $I_ <2>\left(x\right)=\int I_ <1>\left(x\right)\cdot dx $ и записываем окончательно общее решение данного дифференциального уравнения: $y=I_ <2>\left(x\right)+C_ <1>\cdot x+C_ <2>$;
- для поиска частного решения начальные условия подставляем в выражение для первой производной $y’$, а также в общее решение; в результате находим значения произвольных постоянных $C_ <1>$ и $C_ <2>$.
Готовые работы на аналогичную тему
Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка $y»=4$. Записать также его частное решение, которое удовлетворяет начальным условиям $y=1$ при $x=1$, $y’=1$ при $x=1$.
В данном дифференциальном уравнении правая часть не зависит ни от неизвестной функции $y$, ни от её производной $y’$. Следовательно, оно решается последовательным интегрированием два раза подряд.
Находим интеграл $I_ <1>\left(x\right)=\int f\left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot dx =4\cdot x$. Записываем выражение для первой производной в виде $y’\left(x,C_ <1>\right)=I_ <1>\left(x\right)+C_ <1>$, то есть $y’=4\cdot x+C_ <1>$.
Находим интеграл $I_ <2>\left(x\right)=\int I_ <1>\left(x\right)\cdot dx =\int 4\cdot x\cdot dx =2\cdot x^ <2>$. Записываем окончательно общее решение в виде $y=I_ <2>\left(x\right)+C_ <1>\cdot x+C_ <2>$. Получаем: $y=2\cdot x^ <2>+C_ <1>\cdot x+C_ <2>$.
Ищем частное решение. Подставляем начальное условие $y’=1$ при $x=1$ в выражение для $y’$: $1=4\cdot 1+C_ <1>$, откуда $C_ <1>=-3$. Подставляем начальное условие $y=1$ при $x=1$ в выражение для $y$: $1=2\cdot 1^ <2>+\left(-3\right)\cdot 1+C_ <2>$, откуда $C_ <2>=2$. Таким образом, частное решение имеет вид: $y=2\cdot x^ <2>-3\cdot x+2$.
Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие неизвестной функции
Указанные дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.
Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее неизвестной функции $y$, имеет вид $y»=f\left(x,y’\right)$.
Для его решения применяют замену $y’=z\left(x\right)$.
При этом $y»=z’\left(x\right)$. После подстановки данное дифференциальное уравнение приобретает вид дифференциального уравнения первого порядка относительно $z$, то есть $z’=f\left(x,z\right)$. Решая его, находим $z\left(x\right)=\phi \left(x,C_ <1>\right)$.
В свою очередь, поскольку $y’=z\left(x\right)$, то $y’=\phi \left(x,C_ <1>\right)$. Это также дифференциальное уравнение первого порядка, которое допускает непосредственное интегрирование. Следовательно, интегрируя еще раз, окончательно получаем общее решение $y=\int \phi \left(x,C_ <1>\right)\cdot dx +C_ <2>$.
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y»=f\left(x,y’\right)$ может быть представлен в следующем виде:
- переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y»$ на $z’$, а $y’$ — на $z$;
- полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
- найденное решение $z=\phi \left(x,C_ <1>\right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y’=\phi \left(x,C_ <1>\right)$, которое допускает непосредственное интегрирование;
- находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_ <1>\right)\cdot dx $ и получаем общее решение в виде $y=I+C_ <2>$.
Найти общее решение дифференциального уравнения$y»-\frac
Данное дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции $y$, поэтому переписываем его в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y»$ на $z’$, а $y’$ — на $z$. Получаем: $z’-\frac
Это дифференциальное уравнение первого порядка является линейным неоднородным, решая которое известным методом, получаем $z=\left(3\cdot x+C_ <1>\right)\cdot x$.
Найденное решение представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $y’=\phi \left(x,C_ <1>\right)$, то есть $y’=\left(3\cdot x+C_ <1>\right)\cdot x$. Это дифференциальное уравнение допускает непосредственное интегрирование.
Находим интеграл $I=\int \phi \left(x,C_ <1>\right)\cdot dx =\int \left(3\cdot x+C_ <1>\right)\cdot x\cdot dx =x^ <3>+C_ <1>\cdot \frac
Дифференциальные уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной
Указанные дифференциальные уравнения второго порядка также допускают понижение порядка посредством замены переменных. После этого к полученным дифференциальным уравнениям первого порядка могут быть применены известные методы решения.
Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной $x$, имеет вид $y»=f\left(y,y’\right)$.
Для его решения применяют замену $y’=z\left(y\right)$.
Подставляем выражения для $y’$ и $y»$ в данное дифференциальное уравнение: $z\cdot \frac
В свою очередь, поскольку $\frac
Алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка $y»=f\left(y,y’\right)$ может быть представлен в следующем виде:
- переписываем данное дифференциальное уравнение в виде дифференциального уравнения первого порядка относительно переменной $z$, формально заменив $y»$ на $z\cdot z’$, а $y’$ — на $z$;
- полученное дифференциальное уравнение первого порядка решаем одним из подходящих известных методов;
- найденное решение $z=\phi \left(y,C_ <1>\right)$ представляем в виде дифференциального уравнения первого порядка $\frac
=\phi \left(y,C_ <1>\right)$, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными; - находим интеграл $I=\int \frac
<\phi \left(y,C_<1>\right)> $ и получаем общее решение в виде $I=x+C_ <2>$.
http://function-x.ru/differential_equations6.html
http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/differencialnye_uravneniya_privodimye_k_uravneniyam_pervogo_poryadka/