Уравнения второго порядка с произвольными коэффициентами

Примеры решений дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа

Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>> .

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение второго порядка.

Решаем квадратное уравнение:
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .

Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .

Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .

Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные:
;
.

Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .

Общее решение исходного уравнения:

;
.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Решаем однородное дифференциальное уравнение:

(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:

Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

Теперь варьируем постоянные C ₁ и C ₂ . То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .

Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .

Решение системы уравнений

Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.

Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:

.
По формулам Крамера находим:
;
.

Первый интеграл немного сложней (см. Интегрирование тригонометрических рациональных функций). Делаем подстановку :

.
Поскольку , то знак модуля под знаком логарифма можно опустить. Умножим числитель и знаменатель на :
.
Тогда
.

Общее решение исходного уравнения:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 19-06-2017

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка записывают как:

а линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка записывают как:

где функции f(x), p(x) и q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X.

Для понимания того, в каком виде необходимо искать общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений и линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка необходимо сформулировать 2 теоремы:

Общее решениее y₀ ЛОДУ на интервале X с непрерывными коэффициентами на X — линейная комбинация n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения с произвольными постоянными коэффициентами , т.е. .

Общим решением y ЛНДУ на интервале X с непрерывными на этом же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) является суммой , где y₀ — является общим решением решаемого линейного однородного дифференциального уравнения , а — является любым частным решением заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂ — является общим решением ЛОДУ , где y₁ и y₂ – являются его линейно независимыми частные решения,
а — является общим решением ЛНДУ , где — является любым из частных решений уравнения, а y₀— является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Теперь рассмотрим методы определения y₁, y₂ и .

В самых элементарных примерах эти функции вычисляются методом подбора. Линейно независимые функции y₁ и y₂ чаще всего определяют из наборов:

Проверить линейную независимость функций y₁ и y₂ можно при помощи определителя Вронского:

Если функции линейно независимы на интервале X, значит, определитель Вронского не равен нулю для всех x из промежутка X.

Например, функции y₁ = 1 и y₂ = x являются линейно независимыми для всех действительных значений x, потому что

Функции y₁ = sinx и y₂ = cosx тоже являются линейно независимыми на R, потому что

А функции y₁ = — x — 1 и y₂ = x + 1 являются линейно зависимыми на интервале (-∞; +∞), потому что

В общем случае определение функций y₁, y₂ и методом подбора достаточно сложно и зачастую невозможно.

Если удастся подобрать нетривиальное (не равное нулю) частное решение y₁ линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка , тогда общее решение этого уравнения можно найти методом понижения степени уравнения до первой при помощи подстановки .

Разберем метод на примере.

Необходимо вычислить общее решение ЛОДУ 2-го порядка .

Хорошо видно, что y₁ = x оказывается частным решением исходного уравнения при x не равном нулю. Понижаем степень заданного ЛОДУ используя замену

откуда .

Вспоминая правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, получаем

Интегрируем обе части равенства:

произведя потенцирование, записываем общее решение исходного уравнения

где С – является произвольной постоянной.

Т.к. мы принимали , то общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается как:

где F(x) является одной из первообразных функции .

В элементарных функциях первообразная F(x) не выражается.

Решая ЛНДУ второго порядка , если получилось вычислить y₁ и y₂, тогда можно не подбирать . В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти варьируя произвольные постоянные.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть так:

Варьируя произвольные постоянные, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем

Производные неизвестных функции C₁(x) и C₂(x) вычисляются из системы уравнений

а функции C₁(x) и C₂(x) вычисляются при дальнейшем интегрировании.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y — функция, которую требуется найти, а p(x) , q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b) .

Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0 ), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю ( f(x) ≠ 0 ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y» :

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Если y 1 (x) и y 2 (x) — частные решения этого уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y 1 (x) + y 2 (x) — также является решением этого уравнения;

2) Cy 1 (x) , где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C 1 и C 2 можно получить все возможные решения уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y 1 (x) и y 2 (x) .

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема. Функция C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y 1 (x) и y 2 (x) линейно независимы.

Определение. Функции y 1 (x) и y 2 (x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x) :

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

где p и q — постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения — действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Корни характеристического уравения — вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид