Уравнения высших степеней методы решения 8 класс

Уравнения высших степеней в курсе алгебры 8—9-х классов

Разделы: Математика

В классах с углубленным изучением математики уравнения степени выше второй начинают изучать сразу же после прохождения темы «Квадратные уравнения». В курсе алгебры 8-9 классов – это уравнения, которые путем тех или иных преобразований сводятся к квадратным. Чтобы помочь учащимся разобраться в многообразии этих уравнений, я разбиваю их на типы в соответствии с методом их решения. Это облегчает их усвоение, а так же подготавливает учащихся к усвоению темы «Уравнения высших степеней» в 10-11 классах. Все рассмотренные уравнения можно предложить и учащимся общеобразовательных классов, которые интересуются математикой. Уравнения, аналогичные разобранным, можно найти в сборниках и учебной литературе, список которой приведен в конце работы.

а) биквадратные уравнения

б) с модулем

в) введение новой переменной

д) уравнения, в которых во всех квадратных трехчленах равны соответственно старший коэффициент и свободный член

е) сводящееся с помощью введения новой переменной к дробно-линейному

Литература

1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва «Просвещение» 1997 и последующие издания.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва «Просвещение» 1997 и последующие издания.
3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 2001 и последующие издания.
4. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики. Москва «Просвещение» 2001 и последующие издания.
5. М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач пол алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва 1996 и последующие издания.
6. Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н.Трушанина. Задания для проведения письменного экзамена по математики в 9 классе. Москва «Просвещение» 1994 и последующие издания.

Решение уравнений высших степеней

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · ( a n ) n — 1 · x + a 0 · ( a n ) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Схема решения уравнения

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) · P n — 2 ( x ) = 0 .Здесь P n — 2 ( x ) будет частным от деления P n — 1 ( x ) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m ( x ) = 0 . Здесь P n — m ( x ) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на ( х — 1 ) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( — 1 ) 3 + 2 · ( — 1 ) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = ( x — 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1 :

— 1 2 + ( — 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( — 3 ) 2 + ( — 3 ) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11 0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Далее мы приходим к разложению x — 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( — 1 ) 4 — ( — 1 ) 3 — 5 · ( — 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 ( x 3 + x 2 — 3 x — 6 ) = 0 .

Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 , начиная с двойки.

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2 :

В итоге получим ( x — 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3 0

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x :

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

Методическая разработка по алгебре на тему «Решение уравнений высших степеней» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Министерство образования Республики Марий Эл

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3 г. Козьмодемьянска»

элективного курса по математике

«Решение алгебраических уравнений

Разработала: учитель математики

высшей квалификационной категории

МОУ «СОШ № 3 г Козьмодемьянска»

Республики Марий Эл

Авдеева Галина Николаевна

Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» предназначен для предпрофильной подготовки в 9 классе, а так же может быть использован для изучения в профильных 10 – 11 классах. Актуальность этого курса состоит в том, что в последние годы в материалах выпускных экзаменов в форме ОГЭ и ЕГЭ предлагаются задания по этой теме. Курс предназначен для углубления знаний учащихся по теме «Уравнения» и рассчитан на 10 часов. Содержание курса согласовано с государственными стандартами общего среднего образования и примерными программами по математике.

Предлагаемый элективный курс соответствует возрастным особенностям учащихся, не создает у них перегрузок при изучении математики.

Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать уравнения более сложные, чем предлагаются в учебнике, выбирать оптимальный метод решения для данного конкретного уравнения.

Данный элективный курс может быть использован учителями общеобразова- тельных классов для индивидуальных и дифференцированных занятий.

• развитие математической культуры учащихся;

• развитие познавательной деятельности учащихся;

• развитие интереса школьников к предмету.

• расширить представления учащихся по важнейшей теме в курсе алгебры;

• познакомить учащихся с различными методами решения уравнений;

• развивать логическое мышление, умение аргументировать ответы.

• умение учащихся решать уравнения различными методами;

• применение полученных знаний для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ;

• определение склонностей ученика при выборе профильного обучения.

Виды деятельности на занятиях:

• лекция, практикум, беседа.

По окончании курса учащиеся должны выполнить практическую работу: подготовить подборку уравнений рассмотренных видов из дополнительной литературы (с решениями).

Методы решения уравнений высших степеней.

1. Метод разложения на множители.

1)

или

х = − 3. Пусть t ≥ 0.

− посторонний корень

Ответ: −3; .

2)

или

9 + 12 = 21

Ответ: 1; .

2. Метод введения новой переменной.

Это самый распространенный метод.

а) Простейшие случаи. Очевидная замена.

1)

Пусть . Тогда

Получаем: или

х = 1 .

Ответ: ; 1.

2)

Пусть . Тогда . t = − 7, t = 4.

− 7 или 4

+ 7 = 0 − 4 = 0

D = 9 – 28 = − 19 D = 9 + 16 = 25

корней нет ; .

3)

Пусть . Тогда t ( t – 10) = 144. − 144 = 0. t = − 8; t = 18.

Имеем два уравнения:

− 8 или 18

+ 6 = 0 20 = 0

D = 1 – 24 = − 23 ; .

4)

Пусть . Тогда 4 = 0. t = 1; t = 4.

1 или 4

х − 1 = − 1 или х − 1 = 1 х − 1 = − 2 или х − 1 = 2

5)

Пусть . Тогда 2 = 0. t = 1; t = 2.

Имеем два уравнения:

1 или 2

= 0 − 1 = 0

х = 0; х = − 1

Ответ: − 1; 0; .

б) Использование основного свойства дроби

1)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.

Пусть . Получаем уравнение:

. ОДЗ: t ≠ 6; t ≠ 8.

Возвращаемся к переменной х.

или

D = 49 – 60 = − 11 D = 49 – 15 = 34

корней нет

Ответ: .

2)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.

Пусть , тогда ; .

t = 1;

Возвращаемся к переменной х.

или

D = 1 – 24 = − 23 D = 121 – 96 = 25

в) Раскрытие скобок парами

1)

Пусть . Тогда

− 96 = 0

Получаем два квадратных уравнения:

или

х = 2; х = 3; D = 25 + 64 = 89

Ответ: 2; 3; .

2)

Пусть . Тогда ( t + 2)( t − 18) = − 96.

60 = 0

или

6 10

− 6 = 0 − 10 = 0

D = 9 + 24 = 33 х = − 5; х = 2

Ответ: − 5; 2; .

г) Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на .

Пусть . Тогда

+ 8 = 18

− 10 = 0

Получаем два уравнения с переменной х:

или

Ответ: −4; 5; .

д) Выделение квадрата двучлена.

Пусть . Тогда

Имеем два уравнения:

= 1 или = − 5

х = − 1; х = 2; D = 25 – 40 = − 15

е) Возвратные уравнения

Определение. Возвратным уравнением называют уравнение, в котором

равноудаленные от концов уравнения коэффициенты равны.

1)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на .

Пусть = t . Тогда ; значит,

D = 25 + 1200 = 1225

Имеем два уравнения с переменной х:

= или =

х = − 3; ; х = 2; .

Ответ: − 3; ; ; 2.

2)

Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим

на .

Пусть = t . Тогда ; значит,

Имеем два уравнения с переменной х:

= 0 или = 4

х = 1

Ответ: 1; .

ж) Уравнения, сводящиеся к однородному уравнению

1)

Разделим обе части уравнения на .

Пусть . Получаем квадратное уравнение:

; .

Возвращаемся к переменной х:

или

х = 1; ; х = 0; .

Ответ: 0; 1; ; .

Пусть , . Тогда имеем квадратное уравнение

с двумя переменными:

Подставим в эти равенства выражения с переменной х:

или

х = 1; ; х = 0; .

Ответ: 0; 1; ; .

2)

Пусть , . Тогда имеем квадратное уравнение

с двумя переменными:

Ответ: − 1; − 0,5; 2; 4.

з) Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

1)

Пусть , тогда .

Получаем уравнение: ; t = − 2; t = .

или ОДЗ: х ≠ 0.

(х + 1) 2 = 0 D = 1 – 16 = − 15

х = − 1 корней нет

2)

Пусть , тогда .

Получаем уравнение: ; t = 16; t = .

или

или или

3х – 1 = 8х + 20; 3х – 1 = − 8х − 20; 12х – 4 = 2х + 5; 12х – 4 = − 2х − 5;

5х = − 21 11х = − 19 10х = 9 14х = − 1

х = − 4,2 х = х = 0,9 х = .

Ответ: − 4,2; ; ; 0,9.

3. Применение следствия из теоремы Безу.

Если число α является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен делится на

1)

Подбором находим, что число 2 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х – 2. Получаем:

х + 5 = 0 или х 2 – 3 = 0

Ответ: −5; 2; .

2)

Подбором находим, что число 1 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х – 1. Получаем:

Подбором находим, что число −1 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х + 1. Получаем:

Подбором находим, что число −2 является корнем уравнения. Значит, левая

часть уравнения делится на х + 2. Получаем:

Ответ: −2; −1; 1; .

Для самостоятельного решения:

1.

Ответ: 1; ; 2.

2.

Ответ: 1; 0.

3.

Ответ: − 4; .

4.

5.

Ответ: ; .

6.

Ответ: −3; 2; 3; 4; 5.

7.

Ответ: −1; 23; ; .

8.

Ответ: − ; 2; .

9.

Ответ: −2; 3;

10.

1. А.Г. Мордкович. Алгебра – 8 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.

2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра – 8. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год

3. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра – 8. Учебник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.

4. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. Алгебра – 8. Задачник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.

5. А.Г. Мордкович. Алгебра – 9 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.

6. А.Г. Мордкович и др. Алгебра – 9. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год

7. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра – 9. Учебник для классов с

углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.

8. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, П.В. Семёнов. Алгебра – 9. Задачник для

классов с углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.

9. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре. 8 – 9