План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»
Разделы: Математика
Образовательные:
- познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.
Развивающие:
- развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли
Воспитательные:
- воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.
Тип урока: комбинированный.
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.
С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.
2. Актуализация опорных знаний.
Устно:
- Какая функция называется показательной?
- Область значений показательной функции.
- Что называется корнем уравнения?
- Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?
- Сравнить числа 2,7 3 и 1.
- Что является графиком линейной функции?
- Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:
а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3 .
3. Математический диктант.
Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).
1.а) является ли убывающей функция y =2 x .
б) является ли возрастающей функция y = (0,3) x .
2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?
3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?
4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a x = b не имеет корней.
5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2 x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3 x = 0,09.
4. Изложение нового материала.
Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.
Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в >0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.
1.Простейшие уравнения: (устно)
Приведение обеих частей к общему основанию:
Данное уравнение равносильно уравнению:
х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.
Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.
7 х + 7 х+2 = 350
7 х + 7 х 7 2 = 350
7 х (1+ 49) = 350
7 х =350:50
7 х = 7
х = 1
Ответ: х=1.
3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.
16 х – 174 х + 16 = 0
Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид:
t 2 — 17t + 16 = 0
Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:
Если t1 = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х1 = 0.
Если t1 = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х2 = 2
4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.
При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.
15 х + 20 х = 25 х
Корень данного уравнения равен 2.
Действительно, при подстановке получаем верное равенство:
15 2 + 20 2 = 25 2
Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:
+= 1
+= 1
Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.
5. Графический метод.
Решить уравнение: 4 х = 5-х
В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х
Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций
Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)
6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.
2 · 2 3 · 2 5 ·… ·2 2х-1 = 512
Рассмотрим арифметическую прогрессию (аn) из х членов, где аn = 2 n-1, а1 = 1:
Sn =х= х·х = х 2
9
х 2 = 9
х1 = 3
х2 = -3 ( (не удовлетворяет)
7.Однородные показательные уравнения второй степени.
6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0
6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0
Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим
–
6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0
Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0
D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25
t1 = , t2 =.
Если t1 = х = , х = () 1 , х1 = 1.
Если t2 = х = , х = () -1 , х2 = -1.
Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.
5. Закрепление изученного материала
М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).
И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.
На доске написаны 5 уравнений:
2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63
3.3 -х = —
4.64 х – 8 х –56 = 0
5.3 х +4 х = 5 х ( устно)
К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.
Так как 31, то
= 0
По теореме Виета получаем:
2. 3 х-1 — 3 х + 3 х+1 = 63
Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:
3 х 3 -1 – 3 х + 3 х 3 = 63
Выносим общий множитель за скобки:
3 х (
3 х
3 х =
3 х = 27
3 х = 3 3
х = 3
Ответ: х = 3.
3.3 -х = —
Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3 -х и у = –
4.64 х – 8 х – 56 = 0
(8 2 ) х – 8 х – 56 = 0 или
(8 х ) 2 – 8 х – 56 = 0
Введем новую переменную t = 8 х , тогда уравнение примет вид:
По теореме Виета:
t1+ t2 = 1
t1 t2 = – 56
t1 = 8, t2 = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)
Если t1 = 8, то 8 х = 8, 8 х = 8 1 , х = 1.
5.3 х + 4 х = 5 х (устно)
Итог урока. Выставление оценок.
Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.
Домашняя контрольная работа.
I вариант
II вариант
Решите уравнения.
Решите уравнения.
- 5 2-3x = 1/25;
- 6 x+2 – 2•6 x = 34;
- 4•2 2x – 5•2 x +1 = 0;
- 5 2x+5 – 2 2x+10 + 3•5 2x+2 – 2 2x+8 = 0;
- 25 x = 7 2x;
- 3 x = -x-2/3.
- 4 1-2x = 1/16;
- 2 x+3 + 3•2 x+1 = 28;
- 6•3 2x – 3 x – 5 = 0;
- 3 2x+5 – 2 2x+7 + 3 2x+4 – 2 2x+4 = 0.
- 2 2x = 91 x ;
- 5 x = -x + 6.
Кроссворд “И в шутку и всерьез”.
По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.
По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.
Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya
http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva