Урок алгебры 10 класс тригонометрические уравнения

Урок алгебры в 10 — м классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

“Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”.

Цели и задачи урока:

1) повторить основные формулы и методы решения тригонометрических уравнений;

2) закрепить умения и навыки решения тригонометрических уравнений общими и специальными методами;

3) познакомить учащихся с новым методом решения уравнений;

4) развивать у учащихся ключевые компетенции.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, презентация.

I. Организующее начало урока

— Сегодня у нас не совсем обычный урок. У нас присутствуют гости, и я надеюсь, что мы не разочаруем.

И начать урок мне хочется тоже не совсем обычно.

— Французский математик и физик Паскаль говорил: “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его намного занимательным”.

Я решила начать последовать совету Паскаля и предложить вам разгадать такой ребус.

— Как вы думаете, почему я предложила вам расшифровать такое слово? Что оно означает?

“Тригонометрия” происходит от греческого слова τριγουο треугольник и греческого μετρειν измерять, т.е. означает измерение треугольников. Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

— Одной из наиболее важных тем тригонометрии является решение тригонометрических уравнений, с которыми мы познакомились в этом учебном году. Эта тема очень актуальна и важна, т.к. входит в вопросы переводного экзамена в 10 кл. и широко представлена на ЕГЭ в 11 кл.

Итак, тема сегодняшнего урока “Решение тригонометрических уравнений”.

II Актуализация знаний

Слайд 4. “Решение тригонометрических уравнений”.

Восточная мудрость гласит: “Приобретать знания — храбрость, приумножать их — мудрость, а умело применять — великое искусство”

Какие-то знания по теме “Тригонометрические уравнения” мы уже приобрели, приумножать знания — никогда не поздно, поэтому и на сегодняшнем уроке будем мудрыми, и еще раз посмотрим, насколько умело мы применяем наши знания.

Чтобы решить любое тригонометрическое уравнение, что необходимо знать?

— Общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

— Какие простейшие тригонометрические уравнения вы знаете?

— sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

— Вспомните общие формулы их решений.

Простейшие тригонометрические уравнения sin x = a, cos x = a

— Что надо помнить при решении таких уравнений?

— Частные случаи. Слайд 7

Уравнения вида tg x = a и ctg x = a.

— Проверим, насколько хорошо мы умеем решать простейшие тригонометрические уравнения.

Укажите общую формулу, по которой находятся все корни уравнения. Слайд 9. (Для удобства — задания на листах на каждом столе)

1)

А) ,

Б) ,

Г) ,

Д) .

2)

А) ,

Б) ,

В) ,

Д) .

1)

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д)

2)

А) ,

Б)

В)

Г) ,

Д) .

Проверьте себя! (Указаны правильные ответы).

— Поднимите руку, кто не допустил ни одной ошибки.

III. Основная часть урока

— Решение простейших уравнений мы вспомнили, можно приступать к решению более сложных уравнений.

Вспомним, какие методы тригонометрических уравнений мы знаем.

Наверное, надо начать с общих методов:

— разложение на множители,

— метод введения новой переменной,

— функциональный (применение свойств функций).

К специальным методам относятся:

— применение формул тригонометрии,

— метод вспомогательного аргумента,

— метод универсальной подстановки.

Перед каждым учеником лежит лист, на котором записано 15 уравнений.

Будем работать над решением этих уравнений. Некоторые решим устно, более сложные — письменно.

1. .

— Введение новой переменной (у = sin х)

2.

— Сведение к квадратному уравнению относительно cos x.

3.

— Применение формул тригонометрии, разложение на множители.

4.

— Сведение к одноименным функциям, сведение к квадратному уравнению.

5.

— Как называется такое уравнение и как его решить?

— Однородное II степени : cos 2 x 0

Сведение квадратному уравнению относительно tg.

6.

— Как удобно решить такое уравнение?

— С помощью метода вспомогательного аргумента

— Вернемся к нашему уравнению (Слайд 17)

Чему равен ?

7.

— Использование свойства ограниченности функций

I слагаемое 2, II слагаемое 4, следовательно, сумма 6, т.е. корней нет.

8. Укажите число корней уравнения на промежутке [0; 2π]

— Какой метод решения удобно использовать?

— А теперь решим следующие уравнения письменно (сразу 2 человека на боковых досках).

9.

Упростим левую часть уравнения:

,

— посторонний корень

10.

— решений нет, т.к.

.

— Внимательно посмотрите на уравнение №11.

Можете ли вы сейчас предложить метод его решения? В чем заключается проблема его решения?

— В левой и правой частях этого уравнения находятся функции, имеющие различную природу.

— Такие уравнения решаются особым методом — “Методом мажорант”, с которым вас познакомит ваш одноклассник.

Выступление ученика по теме “Метод мажорант”.

— Посмотрите, какие еще уравнения можно решить этим же методом?

— Уравнения№12 и №15.

12. (один ученик решает на доске с полным объяснением).

Подставим найденное число в I уравнение.

=> — корень уравнения.

IV. Постановка домашнего задания

Уравнения №13, 14, 15 — ваше домашнее задание.

13.

14.

15.

При подведении итога урока мне хочется задать вам один вопрос: что бы вы посоветовали ученику, который только начинает учиться решать тригонометрические уравнения?

Начните свои советы со слов: “Помни, что…”.

И в конце нашего урока хочу обратить ваше внимание на такие слова Станислава Коваля “Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

Конспект урока математики в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Систематизация знаний учащихся по теме «Методы решений тригонометрических уравнений», формирование умений классифицировать тригонометрические уравнения по методам решения и применять эти методы в новой ситуации.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

Конспект урока по математике

«Различные способы решения тригонометрических уравнений».

Коротких Эмма Александровна

— систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»;

-углубление знаний по теме;

— формирование умения классифицировать тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

– способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, внимания;

— содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

— развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства;

— способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой «Карусель», интерактивная доска, система опроса и тестирования PrometheanActivExpression, таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрия», «Тригонометрические уравнения», индивидуальный справочный материал,индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), — М.: Мнемозина, 2012.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения: метод постановки проблемы и метод поиска решений.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Педагогические приемы урока: эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная работы.

1. Организационный момент (1 мин).
2. Систематизация теоретического материала.

1.Самостоятельная работа: блиц-опрос — контроль знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям (система опроса и тестирования Promethean ActivExpression,системное голосование) (8 мин).

2.Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин).

1. Проверочная работа (20 мин).
2. Итог урока. Рефлексия (2 мин).
3. Домашнее задание (1 мин).

1. Организационный момент урока.

— Сегодня на уроке мы будем учитьсяприменять различные методыв решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить. Правильное решение по-своему красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут словаМ. И. Калинина:

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

II. Систематизация теоретического материала

— Посмотрите на уравнения (слайд). Каким способом их можно решить? (постановка проблемы).

Пример 2 cos(x/5)=1

Пример 5. Решите уравнение

Пример7. 2sin 2 (x)+3cos(x)=0

Учащиеся дают разные ответы.

— Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений?

— Решение простейших уравнений: примеры 1,2

— Метод разложения на множители:примеры 3, 4.

— Метод замены переменных: примеры 5 ,6.

— Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул:примеры 7, 8

Верно. Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал:

Справочный материал (на рабочем столе учащихся).

Урок «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12

по алгебре и началам анализа

по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Образовательные — повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.

Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

Проверка домашней работы. Устная работа.

Работа в группах.

Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

Домашнее задание. Итог урока.

Сегодня заключительный урок по теме « Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.

Задания легкого уровня.

Задания среднего уровня.

(2 tg x/2) / (1- tg 2 x/2)= 2 cos π /6

Сколько корней имеет уравнение sin x + sin 3 x =0 на отрезке [0; π ]

Задания усложненного уровня.

cos ( x+ π /4)= cos (2 x- π /3)

Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4 cos 2 x + 3 sin x cos x — 2 sin 2 x = 2

Сколько корней имеет уравнение sin x /8 * cos x /8* cos x /4 * cos x /2= 1/16 на отрезке [ π /6; 13 π /6]

Найдите ординаты общих точек графиков функций у = 2 tg x и у= 1+с tg x

Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x = a при | a | > 1 ? [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x = a , cos x = a имеют решения? [Если | a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x = a ,

cos x = a ? при условии | a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x = a ,

5) чему равен ar с co s (- a ) ? [π- ar с co s a ]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2] , чему равен arcctg (- a ) ? ( π — arcctg a )

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x = a ?

8) в каком промежутке находится arc с tg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x = a ? ( x= arcctg a + π n , n Z )

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

arcsin 45= √2/2 ( неопределенно )

arcos (-1/2) = -π/3 (2π/3 )

arcsin 3 = arcsin 1*3= π /4*3= 3 π /4 (не существует)

arctg 1= arctg π /4 (π /4 )

arctg (√3)= — π / 6 ( 3π /4 )

cos x =1/2 , х = ± π/6 + 2π к , к Z

Верно : cos x =1/2 , х = ± π/ 3 + 2π к , к Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + π к , к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1) к π/3 + π к , к Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x = a

3) cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/ 4 + 2 π к ; x = ± 3 π/ 4 + 2 π к /3, к Z

Верно : cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/4 + 2 π к ; x = ± 3π/4 + 6 π к , к Z

Ошибка в выполнении деления

4) sin 2 x =1/3, x = (-1/2) n arcsin1/3 + π n , n Z

Верно : sin 2 x =1/3 , x = (-1) n /2 arcsin1/3 + π n /2, n Z

5) cos x = -1/2, x = ±(- π /3) + 2 π m , m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2 π /3 + 2 π m , m Z

По определению arc с o s ( — π /3) [0 ;π ]

6) cos x =√10/3, x = arc с o s √10/3 + 2 π n , n Z

x — не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

7) tg x = -1, x = — π / 4 + 2 π n , n Z

8) ctg x =-√3/3, x = — π/3 + π m , m Z

По определению arc с o s ( — π /3) [0 ;π ]

Работа в группах

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и решите его.

На экране проецируется задание.

2 cos 2 х + 5 sin х — 4=0

c os 2х + cos х =0

√ 2 sin ( x /2) + 1 = cos х

(-1) k π /6 + πk , k Z

3 sin x — 2 cos 2 x =0

cos 2x + sin x =0

√ 2 cos ( x /2) + 1= cos x

(-1) k π /6 + πk , k Z

(-1) k +1 π /6 + πn , n Z

Проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f ( x )= a , которые решаются сначала относительно f ( x ) , а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin 2 x- 7 cos x -5=0

2 cos 2 3 x+ sin 3 x -1=0

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

4 sin 2 x+2 sin x cos x =3

Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x ( sin x ), cos 2 x ( sin 2 x )

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения вида a cos x + b sin x = c , где a ; b ; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1. Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

В положении стоя положите руки на бедра.

Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз .

Упражнение 2. Цель — укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и пред отвращения болей в области шеи .

Поза : сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой , а не вверх и не вниз .

Надавите указательным пальцем на подбородок .

Сделайте движение шеей назад .

Совет : совершая это движение , продолжайте смотреть прямо перед собой , не см отрите вверх или вниз . Для этого представьте , что кто — то , стоящий позади вас , тянет за нить , проходящую через ваш подбородок . Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд .
Повторите 10 раз .

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D , преобразуем данное уравнение А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D ( sin 2 х + cos 2 х)

или (А – D ) sin 2 х + В sin х cos х + (С- D ) cos 2 х =0.

Уравнение A sin x + B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos 2 (x/2) — sin 2 (x/2) )= С (sin 2 (x/2) + cos 2 (x/2)). А теперь давайте решим следующее уравнение.

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2 x/2- sin 2 x/2= 2 sin 2 x/2+ 2 cos 2 x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2 x/2- sin 2 x/2- 2 sin 2 x/2- 2 cos 2 x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2 x/2- 3 sin 2 x/2= 0

Если cos x /2 =0 , то должно выполняться равенство sin 2 x /2 =0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2 x /2 и получить уравнение, равносильное данному

Пусть tg x /2=у, получим квадратное уравнение

Д =16-12=4, Д >0, уравнение имеет два различных корня

x /2= arctg 1 + π n , n Z x /2= arctg 1/3 + π к , к Z

x /2= π /4 + π n , n Z x = 2 arctg 1/3 +2 π к , к Z

x = π /2 +2 π n , n Z

Ответ: x = π /2 +2 π n , n Z , x = 2 arctg 1/3 +2 π к , к Z

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)

На экране проецируется задание.

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin 2 х — 3 sin х cos х — 2 cos 2 х =0

3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0

5 sin 2 х + 2 sin х cos х — cos 2 х =1

2 sin x — 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos 2 х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0

2 sin 2 x – sin x cosx =0

4 sin 2 х — 2 sin х cos х — 4 cos 2 х =1

2 sin x — 3 cos x = 4

2 sin 2 х — 2sin 2 х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

«3»

— arctg 5/3+ πk , k Z .

π /4 + πk ; — arctg 0,4 + πn , k , n Z .

π /2 + πk ; — arctg 1,5 + πn , k , n Z .

π /4 + πk ; — arctg 0,5 + πn , k , n Z .

arctg ( — 1 ± √5) + πk , k Z .

π /4 + πk ; arctg 7 + πn , k , n Z .

— arctg 2/3+ πk , k Z .

arctg 1/3+ πk ; arctg 0,5 + πn , k , n Z .

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; — arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ± √11 ) + πk, k Z.

π /4 + πk ; arctg 1/3 + πn , k, n Z.

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

— Что нового узнали на уроке?

— Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

— Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

— Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.